列空格算式記錄問題 理解加減互逆
文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）
在國小數學運算的教材中，加減扮演著重要角色，尤其「加減互逆」性質，涉及解題等學習內容。通常，遇到改變量、起始量未知的加減問題，大人很容易想到列代數式，用等量公理、移項法則解題，卻忽略了國小學生尚在以數量直接運算的算術思維階段，無法利用符號運算的代數思維求解。
本文將從國小涉及的關係／代數與前代數教材中，經驗等量公理（十二年國教課綱已移至七年級）、以符號表示數學公式、加減互逆性質等，來談它們彼此間的相關教學。
教學應首重列算式 不可提前學移項法則
從九年一貫課綱開始，六年級就有「經驗等量公理」的分年細目，想幫助學生在升上國中前，對代數學習有前置經驗；但教學現場往往不經意就提前教「移項法則」，使有 x 的算式解題簡化，不在等號兩邊進行同加、同減、同乘、同除解題。
然而，這樣的作法會產生許多問題，國小階段代數式中的（）或 x 只是未知定數，並不是變數概念，學生也不認識負數，因此超標學習的移項法則只是皮毛。同時，用 x 列算式也容易造成教師困擾，學生會認為，簡單的一步驟問題，會解題就好，為什麼要列算式？
要先學會列算式，才能進行等量公理等代數的學習。若學生未有用空格算式記錄問題的經驗，例如在教（）＋15＝23、23－（）＝15時，直接進入23－15＝8解題的話，將來面對兩步驟或多步驟問題，要依題意寫出有x的算式，如100－（18＋x）×3＝10，學生就會有困難，也不利國中階段的代數學習。
觀察部分與整體量 從空格算式直譯開始
加法問題的基本型是併加和添加，進階型就是加數、被加數未知；減法問題的基本型是拿走，進階型就是減數、被減數未知。整體而言，結果量未知的問題是基本型，而改變量、起始量未知的問題就是進階型；這些問題不能從成人觀點出發，例如認為16＋（）＝35、（）＋16＝35、35－（）＝16的題目，都可用35－16＝19的減法來解，因此混在一起教學。這些不同層次的問題，對學生而言有很大的差異，例如兩個數量合起來是16＋（）＝35、（）＋16＝35的加法問題，並沒有拿走型的語意，為何要用減法解題？
另外，比多、比少也是造成學生學習困難的問題，求差量是基本型，如小平有16元、小安有19元，小平比小安少幾元？它必須透過語意轉換「小安比小平多3元，小平比小安少3元」，並和拿走型做聯絡，學生才能理解算式19－16＝3的意義。
而比較量未知，例如「小安有19元，小平比小安少3元，小平有幾元？」或基準量未知，例如「小安有19元，小安比小平多3元，小平有幾元？」等，就是對學生較難的進階型問題，絕對不宜和基本型混在一起教學。這兩個問題題透過語意轉換就是同樣的問題，它們的問題記錄是19－3＝（）或19－（）＝3。
當學生會用空格算式依題意直接記錄問題（簡稱直譯）時，例如（）＋15＝32、15＋（）＝32、32－（）＝15、（）－32＝15，觀察這些空格算式的部分量和整體量，並從線段圖了解兩量關係，我們會發現前三式的答案都可由32－15＝17求得，第四式的答案可由15＋32＝47求得；兩個算式間15＋17＝32和32－15＝17、47－32＝15和15＋32＝47就有加減互逆關係。
所以，先從有空格的算式來觀察部分和整體量關係，藉由加減互逆的算術運算求解，這就是算術思維的國小階段解法；而且，有空格的算式是代數式的前置經驗，課綱學習內容N－2－3就提及空格算式的必要性。
解題不設固定格式 彈性評量有助於學習
加減互逆關係應該在加法和減法問題分別學會後，再進行兩個算式部分量和整體量關係的觀察和建立；所以，加法、減法問題的基本型要先學好，才可能有後續的學習。
教加減問題的進階型時，可把「空格算式」當作學習鷹架或解題工具，引導學生用空格算式，依題意直接記錄問題，當學生理解加減互逆關係，就能用加或減計算解題。在這之後，有些學生的記錄問題會融入解題想法（簡稱轉譯），例如32－15＝（）、15＋32＝（）。
教師教學從直譯入手，有助學生未來的代數學習；評量時，學生只要正確求解，用直譯和轉譯記錄問題都可以。學習成就較高的學生會脫離鷹架，直接用轉譯記錄新問題求解；而學習成就較低的學生看到新問題，會從直譯入手再求解。學習內容N－2－3也提到，解題不要有固定格式，評量多點彈性，對學習是有幫助的。
（本文原刊載於《國語日報》2021年3月17日13版）
