作者：教學科-組別1

兒童對全數的概念理解與解題

 

文/游自達(臺中教育大學教育學系副教授)

 

　　兒童植基於日常生活的經驗，自學前階段便透過口頭唱數、點數等活動逐步建立對數詞、數詞序等的認識，並透過一一對應、點數等活動發展對序列、多少、相等（一樣多）的理解，發展出「非正式算術」（informal arithmetic）。

　　基於學前階段的經驗，兒童進入國小後，累積點數活動發展對於基數的認識，並使用數詞的次序關係來標示個體的位置及個體間的先後次序關係，由此發展出序數的認識。接著透過量的比較、合成、分解等各式操作活動，逐步發展對全數（whole number，或稱「非負整數」）的理解。量的比較、合成、分解等活動協助學生的全數概念發展，而對全數的不同認識則使得兒童可以更有效、更有效率地解決所遇到的問題。學生的全數概念因經驗的累積和不斷的重構而逐漸複雜化與抽象化。

　　兒童對於全數概念的理解可說是在「單位與單位化」的活動下逐步發展。在幼兒及國小低年級階段，兒童透過點數的過程發展全數的概念。在此階段，一個全數是多個「一」的合成（亦即12是12個一的合成）。隨著經驗的累積與重構，兒童逐步發展出新的單位（累多個一構成一個異於一的新單位）。以12為例，兒童不只認知到它是12個一，它也是10和2的合成、一個10和2個一的合成等。隨著經驗的增加，兒童也認知到是12是6個二、4個三、3個四、2個六等。再者，兒童更認識到12也可以是個單位，進而形成1個十二、2個十二、3個十二的理解。如此不斷重構單位並再詮釋的歷程可說是一種單位化（unitizing）的歷程，乃是兒童數概念不斷發展的重要心理活動。新單位的形成讓兒童產生新的解題方式，可以用不同於以往的方式詮釋所面對的問題與解題。整數倍的概念由此逐步發展。

　　國小低年級數與計算教材所處理的內容大多在於發展新計數單位，並以新的計數單位解決新的問題。例如：兒童對構成12的單位之掌握不同而有不同的理解，解決相關問題的策略也會有差異。這些不同的結構可摘要如表1。

 

表1：兒童對全數12的不同認識與解題活動

對全數的認識	數的單位	解題活動
	數表示圖像或位置。	無法處理量的合成或分解活動。
	12是12個一的合成。	以具體物全部數（concrete counting all）策略解決量的合成問題。
	12是10又2。	以向上數（counting-on）策略解決量的合成問題。
	12是10和2合起來的。	運用部分和整體關係解決量的合成與分解問題（透過加10和加2解決加12的問題）。
	3、又3、又3、又3合起來是12。	以累加策略解決等群組的合成問題。
	4個三合起來是12。	以倍的語言和乘法解決等群組的合成問題。

　　綜合而言，「單位與單位化」的活動乃是發展數概念理解和形成新的解題工具不可或缺的一環。數與計算相關概念的教學便在於協助學生發展新單位，使其能以更有效、更有效率的策略解決所碰到的問題。國小階段數與計算的教材需要透過循序漸進的安排，引導兒童重組其數概念，形成新的單位與結構，逐步優化其解題思考與策略。這也是翰林版教材努力的目標。

 

提升學童對乘法啟蒙意義理解的策略

 

文/林原宏（國立臺中教育大學數學教育學系教授）

 

　　國小低年級學童學習了加減運算的語意結構和情境意義後，接下來所學習的乘法對學童而言，是另一個新的概念與認知的挑戰。乘法是加法意義轉化後簡記，根據教學實務現場的觀察，總有少部分學童無法將十十乘法熟背，將十十乘法成為事實性知識(fact knowledge)，因而影響後續數學計算的學習。以下簡要提出幾項提升學童對乘法啟蒙意義理解的策略。

 

1.形成等組型意義的表徵(representation)和心像(mental imagery)

　　乘法啟蒙概念是等組型，所謂「等組」是指「同樣的物件有多組」。例如：

圖1：國小數學翰林版二上第7單元

 

　　是指「2（個/盤）的壽司有6盤，共有12個壽司」，也就是「2有6個，共有12個」的意義。當沒有圖示時，學童要能自己表徵成如下，並記錄成「2×6=12」。

　　引導學童讀作「二乘以六等於十二」或記誦「二六十二」時，要協助學童形成2×6=12的心像，雖然沒有圖示且沒有畫出○，在腦海中要想像有上述圖1或○，並能默誦累數。等到記誦熟練了而形成事實性知識後，這些表徵和心像也自動內化成為學童的概念，十十乘法也會熟記。

 

2.建立「倍」的語言和概念

　　「倍」是生活語言也是重要的數學語言，對於學童而言卻相當抽象。「2×6=12」的剛開始可以是「2有6個，合起來是6」的用語，慢慢地要協助學童提升至「2的6倍是12」的語言，最後形成「倍就是乘」的意義。

 

3.察覺「個數或倍數」差異與乘法關係

　　透過個數或倍數差異，可以推算乘法的結果。例如：

圖2：國小數學翰林版二上第7單元

 

　　「4×7比4×6多幾個4？是多多少?」，這個布題的提問，是要學童察覺「4有7個比4有6個多幾個4？」，從算式和圖示中都可察覺多了1個4，1個4就是4。所以，已經知道4×6＝24，那麼4×7的結果就會多4，所以4×7=28。

　　能察覺這樣的差異和乘法關係，可以促進十十乘法的熟練。例如：當學童已並瞭解並能背誦8×5＝40、8×6＝48，但8×7卻不熟練，此時可以引導學童比較並察覺「8×7和8×5」或「8×7和8×6」的差異和乘法關係，即可瞭解「8×7比8×5多2個8」，或「8×7比8×6多1個8」，即能推算8×7=56。

 

4.善用十十乘法表與乘法交換律

　　乘法啟蒙概念是等組型，而在陣列型（如圖3）的語意結構中，可以讓學童瞭解「被乘數與乘數交換，積是一樣」的乘法交換律意義。在十十乘法表中（如圖4），學童也可察覺這樣的意義。學童並不需要知道「乘法交換律」這個名詞，但可以引導學童應用此乘法規律來熟練十十乘法。例如：當學童已瞭解並能背誦5×7＝35，但7×5卻不熟練、此時可以引導學童應用前述乘法交換律，即可瞭解「7×5和5×7」的結果相同，所以7×5=35。

圖3：國小數學翰林版二下第5單元

 

圖4：國小數學翰林版二下第5單元

 

　　熟練十十乘法是學童日後乘除計算、估商與估數等基礎，而熟練的活動必需建立在有意義的學習(meaningful learning)的基礎上，才能收到記憶保留之效。所以，本文從心像、表徵、關係和規律等心理層面，說明促進學童對乘法啟蒙意義理解的策略，希冀協助學童有意義地熟練十十乘法。

 

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配合：翰林國小數學4下第6單元「分數」

 

分數的發明

　　萊因德數學紙草書（又稱作林德數學手卷；Rhind Mathematical Papyrus），是古埃及時代（約前1650年）由僧侶在紙草上抄寫的一部數學著作，從紙草書中可知道古埃及人已經會使用分數的記法。有趣的是，古埃及人使用的分數都是分子為1的分數。

　　古埃及的分數表示法類似現在分數寫法，如下面的圖示。形狀像開口的符號表示分數的分子1，開口下的符號表示分數的分母。

 

認識古埃及分數

　　古埃及人會將一個真分數，記錄成單位分數相加的形式，例如：會記錄成。可以看成是「2個麵包等分給5人，每人會分到幾個麵包？」古埃及人是怎麼分的？

1. 先將每個麵包各分成3塊，分給每人1塊，就是每人分到個，還剩下個。　　

 

2. 將剩下的個麵包，再等分給5人，這次每人分到個麵包。

 

3. 每人1次分到個，第2次分到個，所以每人共分到個麵包。

 

利用古埃及分數分分看

　　小朋友，想想看「3條緞帶等分給4人，每人會分到幾條緞帶呢？」利用古埃及人的方法分分看。

 

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文/胡仁慈

圖1：在中國的甲骨文中發現的數字系統。（約4500年前）

 

　　傳說古代波斯王打仗時常用繩子打結來計算天數。用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地上計數也都是古人常用的辦法。

　　古代的中國人和南美洲的馬雅人甚至只用兩種符號來記數。它們雖然是不同的文明，但卻不約而同的發展出類似的數字系統。小朋友你說這是不是巧合呢？

 

中國的算籌

　　中國古代的算籌實際上是一根根同樣長短和粗細的小棍子，一般長為13～14公分，徑粗0.2～0.3公分，多用竹子製成，也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料製成的，大約二百七十幾枚為一束，放在一個布袋裏，繫在腰部隨身攜帶。需要記數和計算的時候，就把它們取出來，放在桌上、炕上或地上都能擺弄。籌算直到十五世紀元朝末年才逐漸為珠算所取代，中國古代數學就是在籌算的基礎上取得其輝煌成就的。

 

記數規則

　　記數時，「個位」用縱式，其餘縱橫相間，空一格表示「零」。

例如：

　　由於縱橫相間而且個位又必須是縱式，所以數字的位值不會弄錯。

 

自己做做看

 

失落的馬雅文明

圖２：馬雅文明代表每日的符號（馬雅文明每個月只有20天，分別用20個符號來代替。）

 

　　在3000年前，由簡樸的農漁社區發展出輝煌的文化，馬雅人以幾近零誤差和令人驚異的正確度來設計，建設太陽和月亮等神殿。古代馬雅人的數學和天文學的優越令人非常驚訝，世界上最早發明「零」的民族是馬雅人，比阿拉伯商隊橫越中東的沙漠把這個概念從印度帶到歐洲的時候早一千年。希臘人擅於發明，但他們必須用字母來寫數目；羅馬人雖然會使用數位，但只能用笨拙的圖解方式以四個數位來代表（Ⅷ）；而馬雅人卻能夠發明一種僅使用三個符號：一點、一橫、一個代表零的貝形符號，來表示任何數位的計算法，實在是不可思議！

 

馬雅文明的數字系統

　　馬雅在數學上十分先進卻也十分獨特，最為人樂道的是他們是世界上最先有「0」的概念的文明。

　　馬雅人不知為什麼選擇了20進制的運算，也許是覺得計數時只用十根手指有點浪費資源。馬雅數字中0以一個貝殼模樣的象形符號代表，1至19則以不同數目的圓點和橫線組成的符號代表，記數法跟今天的阿拉伯數字差不多。

 

記數規則

 

自己做做看

 

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文/胡仁慈

 

　　小朋友，你是否看過電視上的新聞報導「小狗做算術」呢？當記者出一題加法題，例如「2＋5」，由記者寫到黑板上。小狗看到後就會「汪汪汪……」叫7聲。當你看到時一定會感到驚歎和懷疑狗怎麼會這麼聰明？因為在一般人看來狗是不會有數量概念的。

　　人類在最初也完全沒有數量的概念。但人類發達的大腦對客觀世界的認識已經達到更加理性和抽象的地步。這樣，在漫長的生活經驗中，由於記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產生了數的概念。例如捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭，就放3塊石子。這些辦法用得多了，就逐漸形成數的概念和記數的符號。

　　數的概念最初不論在哪個地區都是1、2、3、4……這樣的自然數開始的，但是記數的符號卻是大大的不同呵！

 

古希臘人的記數方法

　　古希臘人共用了27個符號來計算數字（你可以從下面的表中看出）

α	β	γ	δ	ε	ς	ζ	η	θ
1	2	3	4	5	6	7	8	9

 

ι	κ	λ	μ	ν	ξ	ο	π	ϙ
10	20	30	40	50	60	70	80	90

 

ρ	σ	τ	υ	ϕ	χ	φ	ω	ϡ
100	200	300	400	500	600	700	800	900

記數規則

 規則 1 

大的數擺左邊；小的數擺右邊。
例如：αβ →（✘）。βα →（✔）。

 規則 2  

把所有符號所代表的數加起來。
例如：μθ＝40＋9＝49。

　　我們知道用太多的符號來記數是一件既麻煩又不好記的方法。所以我們應該用最少的符號來記數。

　　那麼15根羽毛應該怎麼記？你覺得下面哪一種記法比較好呢？

符號	ιε	θς	ηζ
計算	10＋5＝15

古羅馬人的計數方法

　　古羅馬的數字相當進步，現在許多鐘錶上還常常使用。

　　實際上，羅馬數字的符號一共只有7個：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C（代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。這7個符號位置上不論怎樣變化，它所代表的數位都是不變的。它們按照下列規則組合起來，就能表示任何數。

 

記數規則

 規則 1 

重複次數：一個羅馬數字符號重複幾次，就表示這個數的幾倍。
例如：「Ⅲ」表示「3」；「ⅩⅩⅩ」表示「30」。

 規則 2  

右加左減：一個代表大數位的符號右邊附一個代表小數位的符號，就表示大數位加小數位，如「Ⅵ」表示6，「DC」表示600。一個代表大數位的符號左邊附一個代表小數位的符號，就表示大數位減去小數位的數目。
例如：「IV」表示4，「XL」表示40，「VD」表示495。

 規則 3  

上加橫線：在羅馬數字上加一橫線，表示這個數位的一千倍。
例如：「XV」表示 15,000，「CLXV」表示165,000。

 

古羅馬數字（蘊含了左減右加的法則）

Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ	Ⅳ	Ⅴ	Ⅵ	Ⅶ	Ⅷ	Ⅸ	Ⅹ	ⅩⅩ	L	C	D	M
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	20	50	100	500	1000

 

　　我們知道用太多的符號來記數是一件既麻煩又不好記的方法。所以我們應該用最少的符號來記數。

　　那麼15根羽毛應該怎麼記？你覺得下面哪一種記法比較好呢？

符號	ⅩⅤ	ⅤⅩⅩ	ⅤⅤⅤ
計算	10＋5＝15

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配合：翰林國小數學3上第3單元「10000以內的加減」

 

　　在加減計算和數字排列的過程中，會發現許多有趣的數字，今天介紹的是黑洞數「6174」，讓我們一起來認識這個數吧！

 

6174為什麼是黑洞數？

　　任意寫一個四位數，這個四位數的數字不能都相同（例：2222、3333等），將這個四位數重新排列後，最大的數減最小的數，得到的差再用同樣規則計算，在8個步驟內，一定會得到6174這個數，從此就好像走進黑洞一樣，再也走不出這個數了，因此6174被稱為「黑洞數」。

 

舉例算算看

　　我們選一個四位數「8075」，開始進行計算。

第1步：

8075重新排列最大的數是8750，最小的數578，

最大的數減最小的數是8750－578＝8172。

第2步：

8172重新排列最大的數是8721，最小的數1278，

最大的數減最小的數是8721－1278＝7443。

第3步：

7443重新排列最大的數是7443，最小的數3447，

最大的數減最小的數是7443－3447＝3996。

第4步：

3996重新排列最大的數是9963，最小的數3699，

最大的數減最小的數是9963－3699＝6264。

第5步：

6264重新排列最大的數是6642，最小的數2466，

最大的數減最小的數是6642－2466＝4176。

第6步：

4176重新排列最大的數是7641，最小的數1467，

最大的數減最小的數是7641－1467＝6174。

第7步：

6174重新排列最大的數是7641，最小的數1467，

最大的數減最小的數是7641－1467＝6174。

　　再算下去都還是6174，難怪6174是黑洞數。

 

還有其他的黑洞數嗎？

　　黑洞數是在1955年，由印度數學家卡布雷卡(D.R.Kaprekar)所提出，又稱為「卡布雷卡數」，像這樣的黑洞數不只有6174呵！

　　小朋友，找一個三位數試試看，將這個三位數重新排列後，最大的數減最小的數，得到的差再用同樣規則計算，最後會得到哪一個數呢？五位數、六位數……利用相同的規則，可以找到其他的黑洞數嗎？