作者：教學科-組別1

錢幣的由來

配合：翰林國小數學3上第2單元「10000以內的數」

 

　　我們幾乎每天都需要用到「錢幣」購買物品，它是我們生活上不可或缺的工具。小朋友，你知道「錢幣」是怎麼發明的嗎？還沒發明「錢幣」的時候，人們要怎麼買東西呢？讓我們來看看「錢幣」的發明故事。

 

沒有錢怎麼買東西？

　　在人們還沒發明「錢幣」之前，不是「買」東西，而是「換」東西。人們會用以物易物的方式，交換自己所需要的物品，例如：拿一隻羊換一簍魚、拿米換油等。

　　後來，為了方便交易買賣，人們開始利用大家公認有價值，且可以接受的東西，當作買賣的交易工具。早期被拿來當作貨幣的物品，包括：貝殼、鹽、礦石、皮草、牲畜、珍貴金屬（如黃金、白銀）等，這些不容易大量獲取的物品，都曾經作為「錢幣」使用過。

 

各種材質的錢幣

　　隨著人們交易活動變多和活動範圍變大，但可當作錢幣的物品中，常有不能切割（如貝殼、牲畜）與不方便攜帶（如礦石）等問題，所以作為錢幣使用的物品逐漸被金屬所取代。

　　使用金屬錢幣的好處是它的製造需要人工，無法從自然界大量獲取，同時還易儲存。於是，人們發明了標準化的金屬貨幣，並由政府規定作為貨幣的金屬重量、顏色與每個單位的價值，例如：中國古代所使用的元寶、銀錠、銅幣等。標準化的錢幣讓大家可以方便且放心的交易。

 

攜帶方便的紙幣

　　隨著經濟的進一步發展，金屬錢幣也出現使用上的不便，加上印刷技術發達，人們進一步發明了「紙幣」。西元十世紀北宋初期時，四川商人共同發行一種紙券「交子」，就是人類最早的紙幣紀錄。

　　直到十八世紀，英國英格蘭銀行（就是英國的中央銀行）發行了標準化面額的銀行券，現代的紙幣才開始流通。

　　小朋友，我們每天都會使用到的錢幣，是經過幾千年才誕生的呵！

 

臺灣通用的錢幣有哪些？

　　小朋友，下面哪些錢幣是臺灣現在所使用的錢幣？這些臺灣的錢幣合起來是多少元呢？

 

永遠的1089

配合：翰林國小數學3上第3單元「10000以內的加減」

 

　　小朋友，在加減計算和數字排列的過程中，可以發現數學有很多神奇的數，今天要介紹的是永遠的「1089」，讓我們一起探索這個有趣的數！

 

怎麼算出1089？

選一個三位數：
任意寫出一個三位數，這個三位數的個位數字不是0，而且百位和個位數字不可以相同。

先相減：
將原來三位數的百位數字和個位數字互換得新三位數，並將原三位數和新三位數相減（大數減小數），得一個差。

再相加：
將這個差的百位數字和個位數字互換又得新三位數，再將差和新三位數相加，奇妙的事發生，兩數相加都會是1089，不管你一開始寫的是什麼三位數，都會計算出1089。

 

舉例算算看

例1

選一個三位數：
選一個三位數「527」，開始計算。

先相減：
將527的百位數字和個位數字互換得新三位數725，原三位數527和新三位數725相減（大數減小數），725－527＝198。

再相加：
將198的百位數字和個位數字互換得新三位數891，原三位數198加上新三位數891，198＋891＝1089，得到的結果是1089。

 

例2

選一個三位數：
選一個三位數「685」，開始計算。

先相減：
將685的百位數字和個位數字互換得新三位數586，原三位數685和新三位數586相減，

685－586＝99。

再相加：
將99的百位數字（0）和個位數字互換得新三位數990，原數99加上新三位數990，99+990=1089，得到的結果也是1089。

小朋友，選一個三位數，按照上面的規則算算看，可以得到1089嗎？

 

還有像1089的數嗎？

　　小朋友，選一個四位數，按照上面的規則算算看（千位數字要和個位數字互換），可以得到哪一個數？

 

多才多藝阿基米德

文／林原宏（國立臺中教育大學數學教育學系教授）、

李英（數學教育文教工作專任老師）

 

　　小朋友，你最喜歡做什麼事？喜歡到會讓你廢寢忘食，喜歡到無時無刻都想與它為伴！今天要講一個瘋狂喜愛數學、喜愛思考的數學大師—阿基米德（Archimedes，西元前287年～西元前212年），古希臘時期成就最高的數學家、物理學家、天文學家、工程師及大發明家。

 

生平

　　阿基米德出生於希臘西西里島東南端的敘拉古城，家境富裕。父親是一位天文學家，從小非常重視他的教育，在阿基米德11歲時，即帶著他到當時的經濟與文化中心—埃及的亞歷山大城去學習，其中一位老師是著有《幾何原本》的有名數學家歐幾里德，這奠定了他往後從事科學研究的基礎。

 

鑑定偷工減料的皇冠

　　學成歸國回到敘拉古的阿基米德，除了每天沉醉於研究各種數學及科學問題，還非常受到當時幾任國王的重用，常常找他來解決各種疑難雜症，其中最有名的就是「真假皇冠」事件。

　　國王指派工匠製作純金皇冠，雖然送回來的皇冠重量與當初給的黃金重量一樣，但是國王懷疑工匠私藏部分黃金，而將比較便宜的金屬（例如：銀或銅）混入皇冠內部。所以，國王請阿基米德在不破壞皇冠的情況下，鑑定出皇冠是不是純金的？他為此想破頭，好幾天廢寢忘食，最後終於在泡澡的時候想出方法，興奮得沒穿衣服就直接跑到皇宮找國王，一路大叫「我想出來了！我想出來了！」。

 

 

　　小朋友，你知道他的方法是什麼嗎？

　　因為他坐進裝滿水的澡盆，溢出來的水讓他想到：「重量相同的黃金，雖然外觀改變，但體積是不會改變的。而且重量相同的不同種類金屬（例如：金、銀、銅、鐵），它們的體積是不一樣的。」

　　所以，阿基米德拿了與皇冠一樣重的金塊、銀塊及皇冠，分別放入三個相同大小、有刻度並裝有等量水的容器內。結果，三個容器的水位上升高度不同！上升最高的是裝銀塊的容器，第二高是裝皇冠的，上升最少的則是裝金塊的。工匠立刻被抓進大牢，聰明的阿基米德當然又獲得獎賞囉！

 

數學幾何成就

　　另外，小朋友，你知道全世界第一位算出圓周率（以π表示）的近似值是誰嗎？就是阿基米德。

　　他非常擅長使用「窮盡法」，去計算各種幾何形體的體積、面積以及它們之間的關係。利用畫出「圓內接正九十六邊形的周長」及「圓外切正九十六邊形的周長」他算出π的近似值介於＜π＜，也就是3.140845＜π＜3.142857。這個「窮盡法」對歐洲的數學發展幫助很大。同時，他還算出「球的表面積＝最大內接圓面積的4倍（也就是4πr2）」以及推導出「圓柱內切球的體積＝圓柱體體積」（這是阿基米德最喜愛的定理，被刻在他的墓碑上呢！）

　　小朋友，你們最喜歡玩的七巧板拼圖遊戲，他也很會玩！利用14片小幾何圖形拼出一個大正方形，總共有17152種不同的方法，厲害吧？

 

 

其他卓越成就

　　厲害的事跡還有幾個，年少求學時為解決埃及農夫取水不易，他發明了「阿基米德螺旋提水器」，直到相隔2200多年的現在，埃及當地還有人在使用這種機器喔！

 

 

　　阿基米德因為非常熟悉「槓桿原理」及「力矩」的觀念，說出：「給我一個支點，我可以舉起整個地球」。

 

 

　　因此被國王授命建造一艘巨無霸船（類似近代的鐵達尼號），作為送給埃及王的禮物，他成功達成任務。後來羅馬軍隊常常從海上攻擊他們的國家，相傳阿基米德發明幾種大型武器，例如「石砲彈弓」每次可發射500磅的石頭砲彈，攻擊靠近岸邊的船艦。「巨大起重機」可以將羅馬的戰船高高舉起再重重摔下。以及利用多面鏡子將太陽光反射聚焦在敵船上使其著火。當時敵方的將軍才會說：「這是一場羅馬艦隊與阿基米德一人的戰爭！」

　　這位大師一輩子都在做研究及解決問題，你知道他是怎麼離開人間的嗎？某天，羅馬大軍攻進城了，當時他正在地上畫幾何圖形並沉思中，一個羅馬兵進門踩到他的圖形，他大喊：「不要踩我的圖！」，結果，羅馬兵一劍刺向他，熱愛數學到生命最後一刻的偉大阿基米德，就此跟世界說再見了。

 

小故事大哉問

　　小朋友，聽完以上故事，我們一起來討論看看下列問題：

  1. 有一個容量是50毫升的容器，此容器已裝30毫升的水，接著放入一個不規則形狀的鐵塊，水位上升後溢出了15毫升的水。請問這個鐵塊的體積是多少立方公分？
  2. 你最喜歡阿基米德的哪個事蹟？為什麼？
  3. 你最想向阿基米德學習的地方是什麼？

​

數學王子高斯

文／林原宏（國立臺中教育大學數學教育學系教授）、

李英（數學教育文教工作專任老師）

 

　　小朋友，你有聽過「白馬王子」（在白雪公主故事中）、「英國王子」（在英國王室）……，你知道有位「數學王子」嗎？他是誰？哪國人？誰給的封號？為什麼他可以被稱為「王子」？而且還是「數學」王子呢？他就是數學王子高斯（Carl Friedrich Gauss,1777～1855）。

 

生平

　　高斯出身平凡家庭，爸爸是位水泥工工頭，媽媽是位家庭主婦。這位出生在德國布倫瑞克（Brunswick）城的高斯，從小就顯現出數學天份。3歲時，某天，爸爸在計算其他工人的工資，小小高斯趴在旁邊看，告訴爸爸算錯了。爸爸心想：「你怎麼可能知道我有沒有算錯？你才三歲，又沒有上過學。」但高斯爸爸重新計算一次，發現真的有錯誤，驚奇覺得這孩子怎麼可能會算？

 

快速求出和

　　9歲時，某天上數學課，小學老師在黑板上出了一個計算題：

　　老師預期學生們一定是1＋2＝3，再算3＋3＝6，再算6＋4＝10，……，依此類推，一定要算很久。

　　沒想到，一會時間，高斯直接將「5050」這個答案寫在小黑板上交給老師。老師問他怎麼算的？

　　他說：「我將題目倒過來列一遍，

　　這樣上下加起來都是101。

　　會有100組101，因為加了兩遍，所以還要再除以2。

　　因此答案是5050。」

　　老師聽了高斯的解法非常的驚訝！還問：「是誰教你的？」

　　高斯說：「是我自己想的啊！」

　　小朋友，高斯的這個方法是不是很簡單又很厲害呀！

 

其他卓越成就

　　之後，老師交給高斯幾本高深的數學書讓他閱讀，並推薦高斯進入更高學府學習，同時也幫他找到費迪南公爵出錢資助他念書及生活上的費用。如果沒有公爵的幫忙，高斯可是無法心無旁鶩的專心做數學研究，他很有可能需要接手父親的工作，用勞力賺錢過生活。

　　高斯真的是位名符其實的數學王子，很年輕的時候就有很高的成就。11歲時，高斯就發現了二項式定理(x＋y)n的一般展開式（小朋友，你們未來在國中會學到）。18歲時，他以尺規作圖法（沒有刻度的直尺＋圓規），畫出了「圓內接正十七邊形」。這可是數學史上一個驚天動地的大事，怎麼說呢？因為從古希臘時期開始，歷經了二千多年，許多數學家都想用尺規做出此圖，但沒有一人成功。竟然被一位年輕人給做出來了，從此高斯就名滿天下了。

　　高斯不僅在數學領域有卓越成就，他還能利用天文學家三次觀察到的彗星數據，就計算出彗星的橢圓軌道，並預估下次彗星再次現身的位置，天文學家們按照高斯算出的位置觀察，還真的看到那顆彗星。一位沒有天文望遠鏡的數學家，純粹只用數學計算就能精準預測彗星出現的位置，你說強不強？為此德國為了避免高斯被俄國挖角，特地為他在哥廷根建立一座天文台，還聘高斯為第一任天文台台長呢！

　　高斯一生對數論、代數、統計、分析、微分幾何、矩陣理論、大地測量學、地磁學、天文學以及光學均有貢獻，以他名字「高斯」來命名的成果高達110個。1855年的2月23日清晨，高斯在睡夢中安詳過世，享年77歲。後人為了表彰高斯的對數學的偉大貢獻，特別鑄造了一個直徑7公分的紀念金章給高斯家族，紀念章的邊緣還用拉丁文刻著「Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi」 （「Hanover君主喬治五世向數學家王子致敬」），從此，後人就尊稱高斯為「數學王子」了。

 

小故事大哉問

　　小朋友，聽完以上故事，我們一起來討論看看下列問題：

  1.  小朋友，你覺得高斯是個天才兒童嗎？為什麼你這樣覺得？
  2.  高斯計算1＋2＋3＋……＋98＋99＋100＝5050的方法你學會了嗎？請你用同樣的方法算出1＋2＋3＋……＋148＋149＋150＝？
  3.  高斯是哪一國人？他為何被稱為「數學王子」？
  4.  你最喜歡高斯的哪個事蹟？為什麼？

桌遊教學應用─用數學桌遊教質因數

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桌遊教學應用─用數學桌遊教質因數

　　在進入到六年級後，學生馬上需要學習最大公因數、最小公倍數的單元，在此單元裡，學生是否能了解質因數是十分重要的概念。在翰林課本裡，每冊次每位學生皆有一套桌遊，透過翰林數學桌遊，以遊戲趣味性又具有教學性的方式為學生做來質因數的概念統整。

 

 

　　在該概念教學結束後或單元教學的最後，可以利用一堂課的時間，透過數學桌遊「質因數對對碰」進行複習活動，使桌遊主要針對六年級的質因數做教學應用，學習合數與質因數的分辨，規則如同一般常見的撿紅點遊戲進行配對活動，簡單的講解向學生說明規則後，同學們皆興致勃勃的準備開始遊戲，針對同樣的合數、同樣的質因數分解、合數與對應的質因數分解進行配對，另外一種遊戲玩法，也可以使用抽鬼牌的方式，配對相同的合數與質因數，簡單容易了解的遊戲規則與內容，讓學生一玩就愛不釋手。

　　桌遊不只在課堂上能讓學生操作及做教學活動，在課餘之時，學生也會自己拿出自己的桌遊，三三兩兩的各自玩遊戲，更能在遊戲過程中對概念做複習，看著學生在下課時間拿出遊戲自己玩，慢慢的，在改習作、考卷能發現錯誤率有稍稍的變少，很開心能看到學生的進步。因翰林數學課本每冊次皆有數學桌遊，更可以蒐集每冊次的桌遊，選擇教室一角擺放，不僅是班級經營的方式、學生的遊戲區，也能讓學生透過遊戲去複習以前所學過的概念。

　　透過數學桌遊，讓原本對於數學興趣、學習成就較低落的學生，因為遊戲式的方式，讓原本對數學感到害怕的學生啟發學習興趣，也透過遊戲的過程中去學習數學概念，學數學也可以很有趣呵！