月份：九月 2022

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回數/課數/單元：第二篇　第1章　商周至隋唐時期的國家與社會
頁數：59
行數：課後統整站─選才制度的演變─漢代

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太學

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幾何學之父歐幾里得

文／林原宏（國立臺中教育大學數學教育學系教授）、李英（數學教育文教工作專任老師）

 

　　小朋友，還記得你小時候最早接觸到的數學是什麼嗎？不是數字，不是數量，是形狀！想想看，從出生睜眼看到的所有物品是不是都與形狀有關呢？後來你開始玩玩具，拼積木，爸媽教你認識形狀的名稱。等到上小學，學習到什麼是頂點、直線、平面、直角、圓心、半徑等等，學會分辨各種幾何形狀，也學會了計算周長與面積。

　　而早期的人們，為了丈量土地、劃分地界、建造宏偉的建築物，或透過天文觀測等，累積許多實務經驗與幾何知識，幫助後人成功解決許多生活上的問題，因此這些流傳下來的幾何知識大部分都著重在應用層面。

 

一本幾何書的發想

　　西元前300年左右，有一位希臘的數學家歐幾里得（Euclid, 西元前330年～西元前275年），遠赴當時的經濟文化中心亞歷山卓城。他在擁有大量藏書的圖書館中閱讀各種數學書籍，花費許多時間邊整理邊思考，要如何寫出一本完整且具系統性的幾何書籍，好讓未來有興趣學習幾何的人能有一本經典書籍可以閱讀。

　　歐幾里得希望這本書籍除了可以讓人節省尋找散落各地幾何知識的時間外，透過各個證明的推演，還可以培養紮實的邏輯思考推理能力。

 

曠世巨作

　　歐幾里得的心願達成了！他的這本幾何鉅著名為《Elements》，中文翻譯為《幾何原本》。這本書從此成為影響人類文明以至於科學發展最重要的一本書！在西方世界流傳之廣僅次於《聖經》。

　　小朋友，你知道嗎？有許多人因為學習此書，受到其邏輯的訓練與啟發，而成為偉大的數學家、科學家、律師、……，如牛頓、愛因斯坦、林肯等，或許也包含未來的你！

　　直到今日，世界各國的中小學甚至大學的數學教科書中，均有《幾何原本》相關的內容。例如國小學到的因數、倍數、質數、比與比例、……，以及未來國中會學到更多的幾何性質與幾何證明。此鉅著是不是影響深遠呢？所以，歐幾里得也就被後人稱為「幾何學之父」。

 

沒有特權的學習

　　最後講兩個關於歐幾里得的小故事。

　　其一是當時的國王請歐幾里得當老師，教國王幾何學。學習過程中，國王覺得太難了，因此國王問歐幾里得有沒有簡單的方法可以學會？結果得到的回答卻是：「沒有王者之路！」國王心想：「整個國家我最大，我應該有立即學會幾何的特權啊！」但是歐幾里得告訴國王，學習幾何是沒有捷徑的，也就是沒有給國王的專用快速道路。

　　另一個故事是有一位學生才上第一堂課，就問歐幾里得：「我學習幾何可以得到什麼好處？」歐幾里得很不高興，指示身邊的人立即給那學生3個錢幣。歐幾里得認為這種只要短線利益的人，是學不好幾何的。

　　《幾何原本》是學習幾何與邏輯推理的寶典，裡面不僅有豐富的數學知識，更重要的是，它教你如何思考！有興趣的小朋友可以到圖書館借閱或上網查詢，希望你也能享受到其中的奧祕之處！

 

體驗尺規作圖

　　小朋友，聽完以上故事，我們一起來體驗希臘人學習幾何作圖時的情境。

　　首先，古希臘人在「尺規作圖」時所使用的尺，是沒有刻度的。所以，請準備一把直尺並將上面的刻度線遮蓋掉，及一個圓規。接著，我們開始體驗吧！

　　給你一個線段AB（如圖1），請利用尺規，畫出一個正三角形。（也就是三邊等長的三角形）

做法：

1. 畫出第1個圓：
   以A為圓心，以 長為半徑畫圓，此圓是左邊的圓。
   
2. 畫出第2個圓：
   以B為圓心，以 長為半徑畫圓，此圓是右邊的圓。
   
3. 從兩圓的交點C，連線至A點，畫出。
   
4. 從交點C，連線至B點，畫出，此三角形是一個正三角形。
   

我們現在來看看，如何知道這個「三角形CAB」一定是正三角形呢？

　　以下為說明過程：

　　在第1個圓中，因為和都是半徑，所以＝。

　　在第2個圓中，因為和都是半徑，所以＝。

　　所以＝＝。

　　所以這是一個正三角形！