數數學問大

小學第一本數學繪本《小熊去爬山》

文/房昔梅(臺北市國小數學輔導團榮譽輔導員)

  進入小學,是孩子們成長的重要里程碑。小學不同於幼兒園,雖然多數是半天的課程,但每堂課的時間拉長了,課堂中不能任意走動,沒有點心吃,每天還有回家功課。孩子們對課業的惶恐,如果沒有獲得安撫或化解,久而久之,很可能轉為對學習的抗拒。因此,如何使小一新鮮人對學習保持高度興趣,是師長們一致的期望與努力的目標。

  一年級上學期的數學內容很簡單,數到30。事實上多數學生在幼兒園已經能夠數到100,但幼兒園比較偏重「唱數」的活動,搭配少許書寫;小學課程則兼顧數的「說、讀、聽、寫、做」活動,學習的負擔比較大,若能搭配繪本教學,必然能夠大大提高孩子們的學習興趣和學習效果。

  推薦一本非常適合小一新鮮人使用的數學繪本「小熊上學去」。故事情境很貼近孩子們的生活經驗,字數不多,場景豐富,很適合與孩子們討論。

圖1:《小熊去爬山》繪本封面

 

一、多樣的點數練習

  故事的主角是10隻小熊,雖然內文的字數不多,但對於還在學習注音符號的小朋友來說,閱讀國字可能有困難,建議教師可就圖畫進行提問,引導孩子們閱讀和思考。例如:一共有幾隻小熊要去爬山呢?

圖2:《小熊去爬山》繪本P.1~P.2

 

  孩子們可以用各種不同的方式進行點數,只要能夠數出10隻就好,同時還可以和孩子們討論,怎麼數才不容易數漏了呢?引導孩子提出「做記號」的解決策略。

 

二、分類初體驗

  接下來,可以和孩子們討論小熊們的裝扮,訓練孩子們的觀察力。有幾隻小熊戴了帽子?有幾隻小熊穿了背心?

圖3:《小熊去爬山》繪本P.3~P.4

 

  部份已經學會簡單加法的孩子可能會發現:有5隻小熊戴了帽子,6隻小熊穿了背心,5+6=11,可是一共只有10隻小熊啊!怎麼會這樣呢?因為戴帽子和穿背心並不是互斥的選項,和男生、女生不一樣,教師只要引導孩子發現:有些小熊戴了帽子又穿了背心,有些小熊沒有戴帽子也沒有穿背心,這兩件事並不衝突就可以,不需要在這裡進行加減法的教學。

 

三、認識「第幾個」

  走著走著,從前面數過來第二隻小熊提醒走在牠後面的第三隻小熊要小心,倒數第二隻小熊也提醒走在最後面的小熊要跟上。

圖4:《小熊去爬山》繪本P.5~P.6

 

  這頁刻意凸顯2隻小熊都是「第二隻」,但一隻是從前面數,一隻是倒數。這是孩子們第一次正次接觸「倒數」這個詞,課本上大多是「從右邊數」和「從左邊數」,教師可以透過圖畫,讓孩子們了解「倒數」的意思就是從最後面開始數。

  除了2隻說話的小熊外,教師可以透過頁面的圖示做更多的引導提問練習。例如:第幾隻小熊是黃色的呢?讓孩子們理解每一個位置都可以有至少兩種的表示方式。例如:從前面數第六隻是黃色小熊,從後面數第五隻也是黃色小熊。又如:從前面數第三隻小熊有沒有戴帽子?如果有,戴了什麼顏色的帽子?從前面數第三隻也可以說是倒數第幾隻?讓孩子們在自然的情形下練習使用「倒數」這個詞表示位置。

  延續上頁「第幾個」的練習,在這頁,老師可以提問:哪一隻小熊跌倒了?哪一隻小熊準備去幫忙?讓孩子們練習分別從前面數和倒數兩種表示方式。

圖5:《小熊去爬山》繪本P.7~P.8

 

四、不同的五隻

  到了橋邊,教師可以就指示牌的文字「每次只能通過五隻」進行提問:為什麼每次只能通過五隻呢?

圖6:《小熊去爬山》繪本P.9~P.10

 

  很可能是基於安全的考量,超過了橋的負重限制,橋可能就要垮了。這是很好的安全教育,許多景點的吊橋,也有類似的重量或人數限制。並且詢問孩子們:每次只能通過五隻,那麼小熊們該怎麼過橋呢?

  有些小朋友可能會說:五隻排一排,第一隻到第五隻是第一排,第六隻到第十隻是第二排,第一排先過橋後,第二排再過橋。當然這是一種方法,很像小朋友們排路隊,一隊走完再換另一隊。但也有更節省時間的走法:第一隻下橋後,第六隻就補上,讓橋上隨時保時五隻小熊。

  這些過程用說的可能沒這麼清楚,教師可以請10位小朋友上臺角色扮演:在10位小朋友的胸前分別貼上1到10的號碼,用兩張椅子當成橋的兩端,請10位小朋友按照號碼排成一排,從1號開始走,當前5人到達橋面時,請5位小朋友面向全班,讓大家看清楚橋上的小朋友身上是1號到5號;接著繼續往前走,當1號小朋友下橋後,教師問:現在橋上有幾位小朋友?引導學生回答:4位。那可不可以再上去一位呢?接著請6號小朋友上橋,教師再請橋上的小朋友轉身面向全班,讓大家看清楚橋上小朋友身上的號碼是2、3、4、5、6。再數一數,是不是5位小朋友?接著以同樣的方式進行活動,直到所有小朋友都過了橋。透過這個活動,孩子們可以認識1到5是5隻、2到6也是5隻、3到7也是5隻……,這個練習可以銜接未來的長度單元,尺上的0到3是3公分,2到5也是3公分……。


五、練習分與合

  休息時間到,因為涼亭裡的位置不夠,所以有2隻小熊坐在外面用餐。這是「分與合」的練習,也是「一對一對應」和「合十」的好例子,因為涼亭裡有8個座位,所以剛好可以坐8隻小熊,8隻小熊和外面的2隻小熊合起來是10隻小熊。

圖7:《小熊去爬山》繪本P.11~P.12

 

  到達目的地前,突然有小熊走丟了!透過頁面圖示,老師可以問問小朋友,是第幾隻小熊沒跟上呢?(第八、九、十隻,或倒數第一、第二和第三隻)一共有幾隻小熊沒跟上?引導孩子練習基數和序數的不同描述。

圖8:《小熊去爬山》繪本P.13~P.14

 

  獲得同伴們的幫忙後,小熊們終於順序到達目的地。

圖9:《小熊去爬山》繪本P.15~P.16

 

  這是一個有趣的繪本,故事的情節很簡單,孩子們幾乎可以不用看頁面的文字,事實上,頁面的文字對於能讀懂國字的孩子來說,也許提早破梗了,比較適合教師作為引導提問的內容。因此,頁面文字是否呈現,教師們需要多思考。

  雖然這是一本數學知識很豐富的繪本,但也很適合用來進行生活教育。從出遊前的準備、出發的時間、守時的重要、同伴跌倒時的協助及過橋和用餐的秩序,到最後,隨時關注脫隊的同伴,都是很好的生活教育素材,值得和小朋友們討論。雖然只有少少的16頁,卻藏了大大的學問,非常適合小一新生進行圖像閱讀。

旋轉摩天輪

文/房昔梅(臺北市國小數學輔導團榮譽輔導員)

 

  遊樂園裡有各種吸引小朋友們的遊樂設施,巨大的摩天輪雖然不如雲霄飛車刺激,但當它旋轉到高處時,卻能讓乘客享受居高臨下的感覺,以及俯瞰城市的樂趣,因此成為很受歡迎的遊樂設施。小朋友,你知道摩天輪的由來嗎?

 

摩天輪的由來

  全球第一座摩天輪是由美國人喬治·法利士(George Washington Ferris)在1893年為芝加哥的「哥倫布紀念博覽會」所設計,目的是與巴黎在1889年博覽會建造的艾菲爾鐵塔(高324公尺)一較高下。相傳法利士看到橫向的旋轉木馬時,就想到何不將旋轉木馬豎立起來轉呢?摩天輪的構想由此而生。法利士建造的摩天輪直徑75公尺、高80公尺,相當於26層樓高。為了紀念法利士的成就,人們便以Ferris Wheel來稱呼這種設施,從此以後,摩天輪就和雲霄飛車、旋轉木馬合稱為「樂園三寶」。

 

全球知名的摩天輪

  英國在千禧年(西元2000年)架設完成的倫敦眼(London Eye)是歐洲最大的摩天輪,直徑120公尺、高135公尺,共有32個車廂,總計可載客800人,繞行一周約30分鐘。

圖1:英國倫敦眼

 

  美國拉斯維加斯在2014年完成高168公尺的豪客摩天輪(High Roller),是目前世界上最高的摩天輪,直徑約158公尺,每座車廂可容納40人,最多可搭載1120人,繞行一周約30分鐘。

圖2:美國拉斯維加斯豪客摩天輪

 

  臺北的美麗華摩天輪是由日本製造,高度為100公尺,直徑70公尺,共有48個車廂,每個車廂可乘坐6人,環繞一圈大約是17分鐘。

圖3:臺北美麗華摩天輪

 

摩天輪的數學

  摩天輪有大有小,直徑愈大的摩天輪,繞行一圈的時間就越長。摩天輪繞行的速率大約是多少呢?不同大小的摩天輪,繞行的速率相差多少呢?讓我們來算算看。

 

摩天輪名稱

英國倫敦眼

美國豪客摩天輪

美麗華摩天輪

直徑 (m)

120

158

70

繞行一圈的距離 (m)

376.8

496.12

219.8

繞行一圈的時間 (min)

30

30

17

速率 (m /min)

12.56

16.54

12.93

速率 (km /h)

0.75

1

0.78

 

 

  三座摩天輪中,美國豪客摩天輪的速率最快,倫敦眼和美麗華摩天輪的速率差不多。騎腳踏車的速率大約是15km /h,因為搭乘摩天輪的乘客進出車廂的時候,摩天輪仍然在運轉中,並不會停下來,考慮乘客的安全,所以摩天輪繞行的速率比騎腳踏車的速率慢很多。

  目前爬行最快的烏龜是豹紋陸龜(圖4),爬行速率大約是1km /h,蝸牛爬行的速率大約是0.005km /h,所以摩天輪繞行的速率比豹紋陸龜慢一點,比蝸牛快很多。

圖4:豹紋陸龜

 

關於「ISBN」

什麼是ISBN?

  在課堂上會用到的教科書或在書店看到的書籍,你是不是在它們的封面或封底,發現條碼的圖案上方有一行以ISBN開頭並加上13個數字一組文字呢?

 

 

  這個其實就是「國際標準書碼」(International Standard Book Number,簡稱ISBN),它是為了因應圖書出版、管理的需要,並便於國際間出版品的交流與統計所發展的一套國際統一的編號制度,由「ISBN+13個數字」所組成,用以識別出版品所屬國別、地區語言、出版機構、書名、版本及裝訂方式。所以ISBN就好像是書的身分證,表示許多關於書的資料。

 

ISBN怎麼看?

  ISBN一共有13個數字,這13個數字又分成5組,各表示不同的意義。

  以ISBN 978-986-333-061-5為例:

 

商品類型碼

國際EAN 商品碼規定 978 為圖書商品碼。(注:國際標準書碼原本是由「ISBN+10個數字」組成,為了配合國際貨品編碼(EAN-13)的13個數字,國際標準書碼於2007年1月1日起增至13個數字。)

群體識別號Group Identifier)。

由國際標準書號總部根據ISO-2108規定分配給各國或各地區的書號中心,用以區別出版者的國別地區、語文或其他相關群體(組織)。最短的是1個數字,最長的可達5個數字。0表示英文書籍;986和957表示臺灣出版。

出版者識別號Publisher Identifier)。

各出版機構的代號,由其隸屬的國家或地區ISBN中心分配,允許取值範圍為2~5個數字。出版社的出版量越多,其號碼就越短。123和333代表翰林出版事業股份有限公司。

書名識別號Title Identifier)。

用以區別各種不同內容、不同版本、不同裝訂的圖書,由書號中心編配,每個出版社的書序號是固定的長度。最短的1個數字,最長的6個數字。出版社的出版量越多,則序號越長。

檢查碼Check Digit)。

為1個數字,用以核對國際標準書號的正確與否。

 

這本書的ISBN正確嗎?

  要如何檢查ISBN是否正確呢?

 

  可按照以下的方法:

  1. 選取中的12個數字。
  2. 由左至右,奇數位乘以1,偶數位乘以3,加總其和。
  3. 將總和除以10,若整除,則檢查碼應為0;若不能整除,則10減去餘數所得的值,應為檢查碼。

 

 

ISBN

9

7

8

9

8

6

3

3

3

0

6

1

5

乘以

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

 

小計

9

21

8

27

8

18

3

9

3

0

6

3

 

總計

9+21+8+27+8+18+3+9+3+0+6+3=115

10-5=5

除以10

115÷10=11…5(餘數為5)

 

  最後得到的結果為5,與檢查碼相同,所以此ISBN是正確的。

 

博學多才祖沖之

文/林原宏(國立臺中教育大學數學教育學系教授)、

李英(數學教育文教工作專任老師)

 

  小朋友,你知道哪種人物可以出現在中國、香港及幾內亞共和國的郵票上?嗯,一定是位有重要貢獻,受到世人肯定與推崇的大人物。沒錯!你知道每年3月14日是什麼日子嗎?是一年一度全球數學界慶祝某個「數」的節日。許多大學的數學系所還會在這天舉辦派對慶祝呢!它就是「國際圓周率日」。那你知道有位人物因為圓周率而出名,而且重要到郵票上及紀念幣上都有他的人像嗎?他就是中國古代的優秀數學家祖沖之。

 

生平

  祖沖之(西元429~500年)是南北朝時代的南宋數學家及天文學家。在數學、天文與機械製造三個領域均有卓越成就。因為祖父、父親都是官員,非常注重晚輩的教育,所以祖沖之從小就閱讀大量數學及天文方面的書籍。他最為人知的是將圓周率(以π表示)算出小數點後第7位的精確值,3.1415926π3.1415927(意思就是圓周率比3.1415926大,但是比3.1415927小),這個精確值的紀錄,一直等到一千多年以後才有其他數學家突破。(今日是3.141592653589793…)

 

圓周率

  關於祖沖之是如何算出圓周率的詳細方法,據說記載在他的著作《綴術》中,只可惜此書已經失傳,所以沒有人能知道確實的方法。後人猜測祖沖之是利用劉徽的「割圓術」,將圓繼續分割到正二萬四千五百七十六邊形(正24576邊形)後,所算出來的。想必這個過程一定非常辛苦!因為當時還沒有發明計算機來當工具,要計算這麼大的位值,只能利用一根一根的算籌(小竹棍、細木棍)慢慢擺放;當時印度阿拉伯數字還沒有傳入中國,無法方便做紀錄,只能用毛筆沾墨慢慢寫;就這樣,一邊畫、一邊擺、一邊算、一邊記錄,可以想像那是一個多麼浩大的工程啊!除了數學好,還要很細心呢!

  他也將圓周率以分數表示,其中一個為「約率」,另一個為「密率」。因為這個「密率」的表示方式,比歐洲人整整早了一千年提出,所以日本及西方數學界均將,這個代表圓周率的分數稱為「祖率」。還有一個關於數學方面的重要貢獻是,祖沖之與他的兒子祖暅共同算出了球的體積為(其中d為球的直徑),後人為紀念他們父子,稱此為「祖暅原理」。

  祖沖之三十歲時,為改善舊曆(元嘉曆)的誤差,創製了「大明曆」,是中國曆法史上第一次將「歲差」引進曆法。定出一個「回歸年」(從一個冬至到下一個冬至所經歷的時間,也就是地球繞太陽一周的時間)是365.24281481日),今天測得的是365.2421988日,竟然已經準確到小數點後第3位。這個新曆法也更能精準的預測出日蝕及月蝕的日期。是不是很厲害啊!西方的天文學界為了紀念他,還將月球上其中一個環形山,命名為祖沖之環形山。還有一個小行星叫做祖沖之小行星。

 

其他卓越成就

  祖沖之晚年,花許多時間在機械設計及製作上,著名的有「指南車」(圖1),是一輛行進間不論如何轉彎,小銅人永遠指著南方的車;「千里船」,是一天可航行一百多里的船;以及「水碓磨」,是種利用水車帶動杵臼將穀殼去除的機械。小朋友,你說祖沖之是不是一位非常博學多才的數學家呢?

圖1:指南車

 

小故事大哉問

  小朋友,聽完以上故事,我們一起來討論看看下列問題:

  1. 小朋友,請你將「約率」及「密率」兩個分數,以計算機各自分別換算成小數。(以四捨五入法取至小數點後第7位)
  2. 請問為什麼祖沖之算出3.1415926π3.1415927,我們就說他已經算出圓周率(π)的小數點後第7位的精確值?(而不是小數點後第6位的精確值)

 

有趣的古埃及分數

配合:翰林國小數學4下第6單元「分數」

 

分數的發明

  萊因德數學紙草書(又稱作林德數學手卷;Rhind Mathematical Papyrus),是古埃及時代(約前1650年)由僧侶在紙草上抄寫的一部數學著作,從紙草書中可知道古埃及人已經會使用分數的記法。有趣的是,古埃及人使用的分數都是分子為1的分數。

  古埃及的分數表示法類似現在分數寫法,如下面的圖示。形狀像開口的符號表示分數的分子1,開口下的符號表示分數的分母。

 

認識古埃及分數

  古埃及人會將一個真分數,記錄成單位分數相加的形式,例如:會記錄成可以看成是「2個麵包等分給5人,每人會分到幾個麵包?」古埃及人是怎麼分的?

1. 先將每個麵包各分成3塊,分給每人1塊,就是每人分到個,還剩下個。  

 

2. 將剩下的個麵包,再等分給5人,這次每人分到個麵包。

 

3. 每人1次分到個,第2次分到個,所以每人共分到個麵包。

 

利用古埃及分數分分看

  小朋友,想想看「3條緞帶等分給4人,每人會分到幾條緞帶呢?」利用古埃及人的方法分分看。