旋轉摩天輪

文/房昔梅(臺北市國小數學輔導團榮譽輔導員)

 

  遊樂園裡有各種吸引小朋友們的遊樂設施,巨大的摩天輪雖然不如雲霄飛車刺激,但當它旋轉到高處時,卻能讓乘客享受居高臨下的感覺,以及俯瞰城市的樂趣,因此成為很受歡迎的遊樂設施。小朋友,你知道摩天輪的由來嗎?

 

摩天輪的由來

  全球第一座摩天輪是由美國人喬治·法利士(George Washington Ferris)在1893年為芝加哥的「哥倫布紀念博覽會」所設計,目的是與巴黎在1889年博覽會建造的艾菲爾鐵塔(高324公尺)一較高下。相傳法利士看到橫向的旋轉木馬時,就想到何不將旋轉木馬豎立起來轉呢?摩天輪的構想由此而生。法利士建造的摩天輪直徑75公尺、高80公尺,相當於26層樓高。為了紀念法利士的成就,人們便以Ferris Wheel來稱呼這種設施,從此以後,摩天輪就和雲霄飛車、旋轉木馬合稱為「樂園三寶」。

 

全球知名的摩天輪

  英國在千禧年(西元2000年)架設完成的倫敦眼(London Eye)是歐洲最大的摩天輪,直徑120公尺、高135公尺,共有32個車廂,總計可載客800人,繞行一周約30分鐘。

圖1:英國倫敦眼

 

  美國拉斯維加斯在2014年完成高168公尺的豪客摩天輪(High Roller),是目前世界上最高的摩天輪,直徑約158公尺,每座車廂可容納40人,最多可搭載1120人,繞行一周約30分鐘。

圖2:美國拉斯維加斯豪客摩天輪

 

  臺北的美麗華摩天輪是由日本製造,高度為100公尺,直徑70公尺,共有48個車廂,每個車廂可乘坐6人,環繞一圈大約是17分鐘。

圖3:臺北美麗華摩天輪

 

摩天輪的數學

  摩天輪有大有小,直徑愈大的摩天輪,繞行一圈的時間就越長。摩天輪繞行的速率大約是多少呢?不同大小的摩天輪,繞行的速率相差多少呢?讓我們來算算看。

 

摩天輪名稱

英國倫敦眼

美國豪客摩天輪

美麗華摩天輪

直徑 (m)

120

158

70

繞行一圈的距離 (m)

376.8

496.12

219.8

繞行一圈的時間 (min)

30

30

17

速率 (m /min)

12.56

16.54

12.93

速率 (km /h)

0.75

1

0.78

 

 

  三座摩天輪中,美國豪客摩天輪的速率最快,倫敦眼和美麗華摩天輪的速率差不多。騎腳踏車的速率大約是15km /h,因為搭乘摩天輪的乘客進出車廂的時候,摩天輪仍然在運轉中,並不會停下來,考慮乘客的安全,所以摩天輪繞行的速率比騎腳踏車的速率慢很多。

  目前爬行最快的烏龜是豹紋陸龜(圖4),爬行速率大約是1km /h,蝸牛爬行的速率大約是0.005km /h,所以摩天輪繞行的速率比豹紋陸龜慢一點,比蝸牛快很多。

圖4:豹紋陸龜

 

關於「ISBN」

什麼是ISBN?

  在課堂上會用到的教科書或在書店看到的書籍,你是不是在它們的封面或封底,發現條碼的圖案上方有一行以ISBN開頭並加上13個數字一組文字呢?

 

 

  這個其實就是「國際標準書碼」(International Standard Book Number,簡稱ISBN),它是為了因應圖書出版、管理的需要,並便於國際間出版品的交流與統計所發展的一套國際統一的編號制度,由「ISBN+13個數字」所組成,用以識別出版品所屬國別、地區語言、出版機構、書名、版本及裝訂方式。所以ISBN就好像是書的身分證,表示許多關於書的資料。

 

ISBN怎麼看?

  ISBN一共有13個數字,這13個數字又分成5組,各表示不同的意義。

  以ISBN 978-986-333-061-5為例:

 

商品類型碼

國際EAN 商品碼規定 978 為圖書商品碼。(注:國際標準書碼原本是由「ISBN+10個數字」組成,為了配合國際貨品編碼(EAN-13)的13個數字,國際標準書碼於2007年1月1日起增至13個數字。)

群體識別號Group Identifier)。

由國際標準書號總部根據ISO-2108規定分配給各國或各地區的書號中心,用以區別出版者的國別地區、語文或其他相關群體(組織)。最短的是1個數字,最長的可達5個數字。0表示英文書籍;986和957表示臺灣出版。

出版者識別號Publisher Identifier)。

各出版機構的代號,由其隸屬的國家或地區ISBN中心分配,允許取值範圍為2~5個數字。出版社的出版量越多,其號碼就越短。123和333代表翰林出版事業股份有限公司。

書名識別號Title Identifier)。

用以區別各種不同內容、不同版本、不同裝訂的圖書,由書號中心編配,每個出版社的書序號是固定的長度。最短的1個數字,最長的6個數字。出版社的出版量越多,則序號越長。

檢查碼Check Digit)。

為1個數字,用以核對國際標準書號的正確與否。

 

這本書的ISBN正確嗎?

  要如何檢查ISBN是否正確呢?

 

  可按照以下的方法:

  1. 選取中的12個數字。
  2. 由左至右,奇數位乘以1,偶數位乘以3,加總其和。
  3. 將總和除以10,若整除,則檢查碼應為0;若不能整除,則10減去餘數所得的值,應為檢查碼。

 

 

ISBN

9

7

8

9

8

6

3

3

3

0

6

1

5

乘以

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

 

小計

9

21

8

27

8

18

3

9

3

0

6

3

 

總計

9+21+8+27+8+18+3+9+3+0+6+3=115

10-5=5

除以10

115÷10=11…5(餘數為5)

 

  最後得到的結果為5,與檢查碼相同,所以此ISBN是正確的。

 

博學多才祖沖之

文/林原宏(國立臺中教育大學數學教育學系教授)、

李英(數學教育文教工作專任老師)

 

  小朋友,你知道哪種人物可以出現在中國、香港及幾內亞共和國的郵票上?嗯,一定是位有重要貢獻,受到世人肯定與推崇的大人物。沒錯!你知道每年3月14日是什麼日子嗎?是一年一度全球數學界慶祝某個「數」的節日。許多大學的數學系所還會在這天舉辦派對慶祝呢!它就是「國際圓周率日」。那你知道有位人物因為圓周率而出名,而且重要到郵票上及紀念幣上都有他的人像嗎?他就是中國古代的優秀數學家祖沖之。

 

生平

  祖沖之(西元429~500年)是南北朝時代的南宋數學家及天文學家。在數學、天文與機械製造三個領域均有卓越成就。因為祖父、父親都是官員,非常注重晚輩的教育,所以祖沖之從小就閱讀大量數學及天文方面的書籍。他最為人知的是將圓周率(以π表示)算出小數點後第7位的精確值,3.1415926π3.1415927(意思就是圓周率比3.1415926大,但是比3.1415927小),這個精確值的紀錄,一直等到一千多年以後才有其他數學家突破。(今日是3.141592653589793…)

 

圓周率

  關於祖沖之是如何算出圓周率的詳細方法,據說記載在他的著作《綴術》中,只可惜此書已經失傳,所以沒有人能知道確實的方法。後人猜測祖沖之是利用劉徽的「割圓術」,將圓繼續分割到正二萬四千五百七十六邊形(正24576邊形)後,所算出來的。想必這個過程一定非常辛苦!因為當時還沒有發明計算機來當工具,要計算這麼大的位值,只能利用一根一根的算籌(小竹棍、細木棍)慢慢擺放;當時印度阿拉伯數字還沒有傳入中國,無法方便做紀錄,只能用毛筆沾墨慢慢寫;就這樣,一邊畫、一邊擺、一邊算、一邊記錄,可以想像那是一個多麼浩大的工程啊!除了數學好,還要很細心呢!

  他也將圓周率以分數表示,其中一個為「約率」,另一個為「密率」。因為這個「密率」的表示方式,比歐洲人整整早了一千年提出,所以日本及西方數學界均將,這個代表圓周率的分數稱為「祖率」。還有一個關於數學方面的重要貢獻是,祖沖之與他的兒子祖暅共同算出了球的體積為(其中d為球的直徑),後人為紀念他們父子,稱此為「祖暅原理」。

  祖沖之三十歲時,為改善舊曆(元嘉曆)的誤差,創製了「大明曆」,是中國曆法史上第一次將「歲差」引進曆法。定出一個「回歸年」(從一個冬至到下一個冬至所經歷的時間,也就是地球繞太陽一周的時間)是365.24281481日),今天測得的是365.2421988日,竟然已經準確到小數點後第3位。這個新曆法也更能精準的預測出日蝕及月蝕的日期。是不是很厲害啊!西方的天文學界為了紀念他,還將月球上其中一個環形山,命名為祖沖之環形山。還有一個小行星叫做祖沖之小行星。

 

其他卓越成就

  祖沖之晚年,花許多時間在機械設計及製作上,著名的有「指南車」(圖1),是一輛行進間不論如何轉彎,小銅人永遠指著南方的車;「千里船」,是一天可航行一百多里的船;以及「水碓磨」,是種利用水車帶動杵臼將穀殼去除的機械。小朋友,你說祖沖之是不是一位非常博學多才的數學家呢?

圖1:指南車

 

小故事大哉問

  小朋友,聽完以上故事,我們一起來討論看看下列問題:

  1. 小朋友,請你將「約率」及「密率」兩個分數,以計算機各自分別換算成小數。(以四捨五入法取至小數點後第7位)
  2. 請問為什麼祖沖之算出3.1415926π3.1415927,我們就說他已經算出圓周率(π)的小數點後第7位的精確值?(而不是小數點後第6位的精確值)

 

有趣的古埃及分數

配合:翰林國小數學4下第6單元「分數」

 

分數的發明

  萊因德數學紙草書(又稱作林德數學手卷;Rhind Mathematical Papyrus),是古埃及時代(約前1650年)由僧侶在紙草上抄寫的一部數學著作,從紙草書中可知道古埃及人已經會使用分數的記法。有趣的是,古埃及人使用的分數都是分子為1的分數。

  古埃及的分數表示法類似現在分數寫法,如下面的圖示。形狀像開口的符號表示分數的分子1,開口下的符號表示分數的分母。

 

認識古埃及分數

  古埃及人會將一個真分數,記錄成單位分數相加的形式,例如:會記錄成可以看成是「2個麵包等分給5人,每人會分到幾個麵包?」古埃及人是怎麼分的?

1. 先將每個麵包各分成3塊,分給每人1塊,就是每人分到個,還剩下個。  

 

2. 將剩下的個麵包,再等分給5人,這次每人分到個麵包。

 

3. 每人1次分到個,第2次分到個,所以每人共分到個麵包。

 

利用古埃及分數分分看

  小朋友,想想看「3條緞帶等分給4人,每人會分到幾條緞帶呢?」利用古埃及人的方法分分看。

 

中國算籌和馬雅數字

文/胡仁慈

圖1:在中國的甲骨文中發現的數字系統。(約4500年前)

 

  傳說古代波斯王打仗時常用繩子打結來計算天數。用利器在樹皮上或獸皮上刻痕,或用小棍擺在地上計數也都是古人常用的辦法。

  古代的中國人和南美洲的馬雅人甚至只用兩種符號來記數。它們雖然是不同的文明,但卻不約而同的發展出類似的數字系統。小朋友你說這是不是巧合呢?

 

中國的算籌

  中國古代的算籌實際上是一根根同樣長短和粗細的小棍子,一般長為13~14公分,徑粗0.2~0.3公分,多用竹子製成,也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料製成的,大約二百七十幾枚為一束,放在一個布袋裏,繫在腰部隨身攜帶。需要記數和計算的時候,就把它們取出來,放在桌上、炕上或地上都能擺弄。籌算直到十五世紀元朝末年才逐漸為珠算所取代,中國古代數學就是在籌算的基礎上取得其輝煌成就的。

 

記數規則

  記數時,「個位」用縱式,其餘縱橫相間,空一格表示「零」。

例如:

  由於縱橫相間而且個位又必須是縱式,所以數字的位值不會弄錯。

 

自己做做看

 

失落的馬雅文明

圖2:馬雅文明代表每日的符號(馬雅文明每個月只有20天,分別用20個符號來代替。)

 

  在3000年前,由簡樸的農漁社區發展出輝煌的文化,馬雅人以幾近零誤差和令人驚異的正確度來設計,建設太陽和月亮等神殿。古代馬雅人的數學和天文學的優越令人非常驚訝,世界上最早發明「零」的民族是馬雅人,比阿拉伯商隊橫越中東的沙漠把這個概念從印度帶到歐洲的時候早一千年。希臘人擅於發明,但他們必須用字母來寫數目;羅馬人雖然會使用數位,但只能用笨拙的圖解方式以四個數位來代表();而馬雅人卻能夠發明一種僅使用三個符號:一點、一橫、一個代表零的貝形符號,來表示任何數位的計算法,實在是不可思議!

 

馬雅文明的數字系統

  馬雅在數學上十分先進卻也十分獨特,最為人樂道的是他們是世界上最先有「0」的概念的文明。

  馬雅人不知為什麼選擇了20進制的運算,也許是覺得計數時只用十根手指有點浪費資源。馬雅數字中0以一個貝殼模樣的象形符號代表,1至19則以不同數目的圓點和橫線組成的符號代表,記數法跟今天的阿拉伯數字差不多。

 

記數規則

 

自己做做看