理解乘除互逆關係 從總量連減引入除式

理解乘除互逆關係 從總量連減引入除式

文/鍾靜(國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授)

  國小整數運算,低年級以加減為主,中年級以乘除為主,其中十十乘法的概念從九年一貫課綱開始,就提前至二年級課程;延續前文介紹的加減互逆主題,本文將以乘除互逆為主軸,來談算術思維階段的相關教學。

 

除法問題基本型 等分除與包含除

  二年級下學期的「分裝與平分」單元,為除法概念的前置單元,分裝是「包含除」的前置概念,例如題目1:18顆糖果,每6顆一包,分分看有幾包?經過操作會看到有3包,也就是有36

  平分是「等分除」的前置概念,例如題目2:18顆糖果,平分給6個人,每人可以分到幾顆?經過操作,每人有3顆,也就是有63。這兩個問題的除法算式都是18÷6=3,但從結果來看,分裝的結果是36,可以記做6×3=18;平分結果是63,可記做3×6=18

  三年級首教除法,通常會從整除入手,以題目2為例,學生如何認識「÷」的概念?

  通常等分除的解題操作並不難,但要從總量連減算式中,引入分的摘要記錄「除式」;分的過程需透過「1人一次分1顆」的語意轉換為包含除,產生以顆來連減的算式18-6=1212-6=66-6=0,進而引出除式18÷6=3

  學生在「分裝與平分」單元看到乘法算式3×6=18,首教除法又是整除,誤以為除法算式18÷6=3就是從乘法來互逆;殊不知分的過程是除式18÷6=()中有幾個618÷6=3一人分到3顆,而分的結果是乘式3×6=186336個。

  回到包含除,以題目1為例,過程是18÷6=()中有幾個618÷6=3可以裝成3包,分的結果卻是乘式6×3=18,有3663個;包含除的乘除互逆關係是18÷6=36×3=18,而等分除的乘除互逆關係是18÷6=33×6=18,它們是不一致的。

  誤用乘除互逆關係學除法,遇到除數一位且有餘的除法就會有困難,因為怎麼背十十乘法就是找不到答案。

 

培養學生除法估商 不可只做整除問題

  除法概念不宜在學過「分裝與平分」後,就直接從乘法算式導入乘除互逆概念;應在乘除概念都具備後,才進行乘除互逆的相關教學。

  在「分裝與平分」單元中,分的結果是乘法算式,它只和除法算式18÷6=()的估商有關;估商在找有幾個66×2=12可以再分,6×3=1863個,若針對包含除,就是每包6顆、有3包;若針對等分除,就是分給6人、每人有3顆。

  首教除法不要只做整除問題,最佳的「除數一位」教學從有餘數的問題入手,如20÷6=()(),利用除法直式中先乘再減的思維,試試6×2=1220-12=8,再修正成6×3=1820-18=2,培養學生估商的能力,避免以為除法求答只要背十十乘法就好。

  學生若無除數一位的估商經驗,到了「除數二位」問題,例如85÷23=()(),要透過估商解題就非常困難了。學生解題很難一次到位,可以先將23想成20,在除法直式上很容易看出204倍是80,先試試看23×4=92,超過85了,再修正為23×3=6985-69=16,得出80÷23=3…16

  所以,除法概念建立應從總量連減引入,當學生了解「÷」的意義,會列除法算式時,就可用除數的幾倍估商,在估商的時候就會和除數的倍數有乘除互逆關係。

 

空格算式記錄問題 掌握乘除互逆關係

  乘法問題的基本型是等組型,例如一盒雞蛋有6個,5盒雞蛋有幾個?除法問題的基本型是包含除、等分除;它們也有改變量(乘數、除數)未知、起始量(被乘數、被除數)未知的進階型問題,例如 6×()=30()×5=30()÷6=5()÷5=6,當學生掌握部分量和整體量的乘除互逆關係後,就可分別從30÷6=5,得出雞蛋有5盒;30÷5=6,得出每盒有6個雞蛋、6×5=30,得出共有30個雞蛋。但是30÷()=530÷()=6就不能用乘除互逆解題,而是30÷5=6,每盒有6個雞蛋;30÷6=5,雞蛋有5盒。

  因此,除法的進階問題,例如包含除()÷7=4…230÷()=4…2,它們的算術作法分別是7×4=2828+2=3030-2=2828÷4=7

  因為除法原理a÷b=c…d0≦d<b,以及a÷b=a/b,前者是一般除法算式;所以不論整除或有餘的除法問題,最好能認識標準除式記錄,例如28÷7=()()30÷7=()(),餘0就是整除/沒有剩下。但很多親師會認為整除時,何必那麼麻煩寫餘0?那是因為在列除法算式,尚未求解前,不能從題意判斷是否有餘;不要讓學生未求解就要判斷結果是整除或有餘。

 

(本文原刊載於《國語日報》2021年3月24日13版)

列空格算式記錄問題 理解加減互逆

列空格算式記錄問題 理解加減互逆

文/鍾靜(國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授)

  在國小數學運算的教材中,加減扮演著重要角色,尤其「加減互逆」性質,涉及解題等學習內容。通常,遇到改變量、起始量未知的加減問題,大人很容易想到列代數式,用等量公理、移項法則解題,卻忽略了國小學生尚在以數量直接運算的算術思維階段,無法利用符號運算的代數思維求解。

  本文將從國小涉及的關係/代數與前代數教材中,經驗等量公理(十二年國教課綱已移至七年級)、以符號表示數學公式、加減互逆性質等,來談它們彼此間的相關教學。

 

教學應首重列算式 不可提前學移項法則

  從九年一貫課綱開始,六年級就有「經驗等量公理」的分年細目,想幫助學生在升上國中前,對代數學習有前置經驗;但教學現場往往不經意就提前教「移項法則」,使有 x 的算式解題簡化,不在等號兩邊進行同加、同減、同乘、同除解題。

  然而,這樣的作法會產生許多問題,國小階段代數式中的()或 只是未知定數,並不是變數概念,學生也不認識負數,因此超標學習的移項法則只是皮毛。同時,用 列算式也容易造成教師困擾,學生會認為,簡單的一步驟問題,會解題就好,為什麼要列算式?

  要先學會列算式,才能進行等量公理等代數的學習。若學生未有用空格算式記錄問題的經驗,例如在教()+15=23、23-()=15時,直接進入23-15=8解題的話,將來面對兩步驟或多步驟問題,要依題意寫出有x的算式,如100-(18+x)×3=10,學生就會有困難,也不利國中階段的代數學習。

 

觀察部分與整體量 從空格算式直譯開始

  加法問題的基本型是併加和添加,進階型就是加數、被加數未知;減法問題的基本型是拿走,進階型就是減數、被減數未知。整體而言,結果量未知的問題是基本型,而改變量、起始量未知的問題就是進階型;這些問題不能從成人觀點出發,例如認為16+()=35、()+16=35、35-()=16的題目,都可用35-16=19的減法來解,因此混在一起教學。這些不同層次的問題,對學生而言有很大的差異,例如兩個數量合起來是16+()=35()+16=35的加法問題,並沒有拿走型的語意,為何要用減法解題?

  另外,比多、比少也是造成學生學習困難的問題,求差量是基本型,如小平有16元、小安有19元,小平比小安少幾元?它必須透過語意轉換「小安比小平多3元,小平比小安少3元」,並和拿走型做聯絡,學生才能理解算式19-16=3的意義。

  而比較量未知,例如「小安有19元,小平比小安少3元,小平有幾元?」或基準量未知,例如「小安有19元,小安比小平多3元,小平有幾元?」等,就是對學生較難的進階型問題,絕對不宜和基本型混在一起教學。這兩個問題題透過語意轉換就是同樣的問題,它們的問題記錄是19-3=()19-()=3

  當學生會用空格算式依題意直接記錄問題(簡稱直譯)時,例如()+15=3215+()=3232-()=15()-32=15,觀察這些空格算式的部分量和整體量,並從線段圖了解兩量關係,我們會發現前三式的答案都可由32-15=17求得,第四式的答案可由15+32=47求得;兩個算式間15+17=3232-15=1747-32=1515+32=47就有加減互逆關係。

  所以,先從有空格的算式來觀察部分和整體量關係,藉由加減互逆的算術運算求解,這就是算術思維的國小階段解法;而且,有空格的算式是代數式的前置經驗,課綱學習內容N-2-3就提及空格算式的必要性。

 

解題不設固定格式 彈性評量有助於學習

  加減互逆關係應該在加法和減法問題分別學會後,再進行兩個算式部分量和整體量關係的觀察和建立;所以,加法、減法問題的基本型要先學好,才可能有後續的學習。

  教加減問題的進階型時,可把「空格算式」當作學習鷹架或解題工具,引導學生用空格算式,依題意直接記錄問題,當學生理解加減互逆關係,就能用加或減計算解題。在這之後,有些學生的記錄問題會融入解題想法(簡稱轉譯),例如32-15=()15+32=()

  教師教學從直譯入手,有助學生未來的代數學習;評量時,學生只要正確求解,用直譯和轉譯記錄問題都可以。學習成就較高的學生會脫離鷹架,直接用轉譯記錄新問題求解;而學習成就較低的學生看到新問題,會從直譯入手再求解。學習內容N-2-3也提到,解題不要有固定格式,評量多點彈性,對學習是有幫助的。

 

(本文原刊載於《國語日報》2021年3月17日13版)

談數學素養評量

談數學素養評量

文/鍾靜(國北教大數資系退休教授)

  十二年國教課程自108學年開始實施之際,國小數學教學者除關心素養教學外,更關心數學素養評量的問題。筆者認為一份數學試卷,20%~30%是素養評量題就好,還有70%~80%可以是傳統的選擇題、填充題、計算題、應用題等。因此,本文將從三方面來談談數學素養評量的一些想法和實務。

 

素養評量題不等於生活情境題

  一些有關數學素養評量的說法,認為只要將評量題跟生活真實情境結合即可!這種擬PISA強調從生活情境中解決數學問題固然重要,但在國小端有其限制或不足之處;PISA是針對15足歲的學童,他們已有豐富的生活經驗、基本的數學知能,但國小6至12歲學童尚在充實數學知能階段,不能忽略基本概念的評量。基於,數學素養有「數學的思維」、「生活的應用」二個要素,基本概念的評量不能只是傳統紙筆測驗,也應有數學素養評量。好的數學素養題是在命題的內涵,不是在形式,例如「以某縣市真實人數取概數到十萬位」,雖有真實生活情境,但沒有數學概念的思考、推理、分析、溝通、應用等。

 

建構反應題是素養評量的利器

  台北市從96學年度、新北市從102學年度起的國小基本學力檢測,都有加考建構反應題(非選題),基隆市國小數學輔導團也從106學年度進行研發及抽測分析;這些試題以小型且貼近教學內容的親民題為主,不以資優題、大型題等為訴求。教師要認識建構反應題,可從北北基考過的試題入手,這些試題的適用範圍包括三到六年級,且有評閱規準、解題分析、教學建議等可參考。建構反應題的評量目的,是為瞭解學生數學概念理解情形、解題思考歷程、解題推理能力、情境應用能力、數學表徵能力等;它不是課本的例行題,而是要求學生運用數學知能,進行理解和解題,學生無法使用模仿或熟記的解法,必須發揮並創造他們的回應,它是一種很不錯的素養評量題型。

 

先評量後討論是最佳評量模式

  教師們可配合單元教學內容,選用北北基或自行研發的建構反應題(數學素養題),切勿將其以教學題來引導學童解題,而應以評量題來了解學童學習的狀況;教師將其作為總結性評量,它只是學習結果的評量,並不是促進學習的評量。若數學課室要進行促進學習的評量,則須有引發高階思維的挑戰性任務,且是持續性的過程與教學整合;此時,建構反應題可視為評量單式的小型任務。透過建構反應題的「先評量、後討論」活動,學生可以從錯誤例討論中修補概念和澄清迷思,從正確例分享中看到多元的解法,也可學習優良例的解題思維。這樣有評量且有豐富討論的素養評量與教學整合活動,不但是一種到位的形成性評量,也是數學課室中的高層次數學任務。

繪本教學 增添數學趣味與實用性

繪本教學 增添數學趣味與實用性

文/鍾靜(國立台北教育大學數學暨資訊教育學系教授)

  數學是許多中高年級學生不喜歡的科目,但當數學與受歡迎的讀物「繪本」結合,成為兒童數學讀物「數學繪本」,就可透過豐富且簡明的圖文脈絡,呈現數學概念。數學繪本除了能讓學生感受到數學與生活的關聯,更能體會數學是有趣且實用的。

  數學繪本的教學,可滿足數學素養中「數學的思維」和「生活的應用」兩種要素,尤其展現數學外部連結、水平數學化的部分。本文將從直接選用、關鍵圖文、教學安排,來談數學繪本教學的考量。

 

繪本當補充教材 須有閱讀與數學討論

  就我所知,臺灣市面上能找到的數學繪本就超過兩百本,從學齡前到國小低、中、高年級都有適用的,基於「學以讀、讀以學」的重要性,數學繪本教學不能沒有閱讀成分。

 

  數學繪本不只是文學作品,也是藝術作品,只是它在情境脈絡中,出現了數學概念、數學表徵、數學符號、數學問題、數學討論等,教師以數學繪本作為數學教學的補充材料,須兼顧繪本閱讀和數學討論。所以,教師要配合單元教學,選擇適用的繪本,但不必藉繪本情境大幅修編數學問題,小幅微調數字則無妨。

  教師選用數學繪本,可以先了解該繪本所呈現的主要數學概念,與單元內容的相關性,相關性越高越適用。如《綠豆村的綠豆》故事中,兩位老爹比較誰買的綠豆多,由於綠豆不易數,因此用不同容器盛裝綠豆來比較;這雖是學前的繪本,但很適合國小容量單元。

  《門鈴又響了》的故事中,由於客人一直來,招待客人的餅乾被平分給越來越多人。這個故事呈現的是平分概念,不是除的概念,教師可將該繪本連結平分單元,作為除法單元的前置經驗。

 

藉繪本關鍵圖文 探討和應用數學概念

  數學繪本教學須有繪本閱讀,更要有數學探究,如果作為數學單元的補充教材,建議數學討論的時間要多一些,故事閱讀可以少一些。

  教師想進行有效的數學學習,須先掌握繪本關鍵圖文,才能幫助學童探討和應用數學概念。教師如果能配合關鍵圖文,提出關鍵問話,則可引導學生數學思考和討論,藉以培養推理、辯證等能力,並增進數學知能和生活的關聯。

  此外,當教師掌握數學繪本的關鍵圖文,就能依據學習內容,決定要引發的討論重點。如《灰熊特報》一書,有三人要競選營隊的發言人,而營隊剛好有一百人,繪本中共出現四個圓形統計圖,這些圖的呈現內容雖然不同,但都出現人數和百分比。透過這些關鍵圖文的變化和比較,配合故事內容進行關鍵提問,可以引導尚未學圓形百分圖和圓形圖的學生,認識這種統計圖的特性,並建立初步概念。相同的數學繪本,可能因年級不同,而有不同的教學設計。

 

就教學時機不同 數學討論重點有差異

  數學繪本以補充的方式和課程接軌,教師只要選定某繪本為核心,進行一節課的繪本閱讀和數學討論,就是閱讀課的概念了。這樣的方式也可為學童的數學學習增添色彩,繪本往往能減少教學時間,增加學習效果,使數學單元進行更順暢。

  在數學單元中,數學繪本可以擔任許多不同的角色,包括引起動機配合的準備活動,概念教學配合的發展活動,彙整延伸配合的綜合活動等,只要教學時機不同,數學討論就會不同,教師可配合關鍵圖文和數學概念,決定最佳的教學安排。

  以《慌張先生》一書為例,書中描述主角參加什麼活動都遲到,藉此引導學生了解守時的重要,並認識鐘面上幾時幾分的時刻概念。

  教師如果用在「幾點鐘、幾點半」的教學前,可當作學習報讀時刻引起動機,但繪本中的時刻要略調為整點和整點半;如果教師用在教完幾時幾分的報讀之後,可當作學完鐘面時刻報讀的彙整延伸,讓學童了解會看時鐘的重要,並檢驗他們是否能正確報讀繪本中出現的鐘面。

  總之,選用適合的數學繪本,不但能和部定數學課程銜接,也能做為學習輔助的補救教材;數學繪本有些數學概念超越課程,或是課程相關的補充,可作為課後或社團活動的材料。

數學繪本選用 須考量概念與教學時機

數學繪本選用須考量概念與教學時機

文/鍾靜(臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授)

  數學繪本是數學讀物的一種,它具有豐富、簡明的圖和文,通常以故事情境和數學概念來呈現;它不是透過故事敘述的數學題目集,也不是有圖示的數學小百科。這種有情境和概念脈絡的圖畫書,更容易親近學生,感受數學和生活事件的關聯,體認數學不是用來考試而已。

  這些數學繪本以九年一貫數學領綱的分年細目,或十二年國教數學領綱的學習內容,對應繪本中呈現的數學概念,可將數學繪本分成「數學概念點」、「數學概念串」、「數學小主題」三類。

  本文將從這三種分類來談數、量、形,以及其他主題相關的繪本與教學。

 

以數學概念點為主 有利於課程接軌

  學生的數學學習都是在某個主題下,由不同概念累積而成的,而這類數學繪本則是以故事脈絡和某個數學概念點呈現。

  例如《小熊去爬山》一書,闡述十以內數的基數和序數概念;《螞蟻女王的冬被》是長度測量的個別單位概念;《我的比較好》是量與實測的面積概念;《檸檬汁大拍賣》是統計長條圖的概念。

  這些繪本深入數學概念進行探討,只會對應一個學習內容或分年細目,有利於數學課程的接軌,很適合教師選用。

  教師可以和學生一起閱讀繪本、討論數學,讓學生認識生活中可運用的數學,並從關鍵提問去思考。

圖1:《小熊去爬山》繪本封面

圖2:《螞蟻女王的冬被》繪本封面

  再以《蜘蛛小姐的襪子鋪》來談,這是一本以十十乘法概念為核心的繪本,它不同於教科書,都按照被乘數2、5、4、……、10、1、0的順序發展教材,而是整合性的協助學生,了解「×」的意義,這些都是從「幾的幾倍」原型建立的。這本數學繪本以有趣的圖文,引導師生從故事脈絡中,思考乘法概念與生活問題的關聯。

圖3:蜘蛛小姐的襪子舖繪本封面

 

以數學概念串為主 可彈性討論概念

  這類數學繪本在故事脈絡中,出現不止一個數學概念點,而是相關的數學概念串。

  例如《我要當好爸爸》是時間概念中,日期、星期、月分、季節、年的概念串;《分數是分出來的》是分數概念中,單位分數、簡單同分母分數的概念串;《嘿,圖表真好用》是統計的正字表、實物(畫圈、打勾)圖表、長條圖的概念串;《魔法學校發生的事》則是幾何的線對稱、面對稱、鏡面反射的概念串。

  這些數學繪本會對應兩個以上的學習內容或分年細目,也可能有一些延伸或擴展的數學概念,但都是配合故事情境自然出現的;教師可配合不同年級的課程選用,進行關鍵圖文討論,超過課程的部分帶過即可。

  再以《貪心的三角形》來談,這本繪本中的數學概念,是平面圖形的三角形、四邊形、五邊形、六邊形、會滾的多邊形等。教師可利用繪本中呈現的各種形體,引起學童學習基本圖形、多邊形的動機,或彙整延伸,並以「多一個邊、一個角」的關鍵圖文,探討這些平面圖形間的關係。

 

以數學小主題為主 從活動帶入概念

  這類數學繪本不全以故事脈絡貫穿全文,有時會加上生活情境、操作活動、遊戲活動等,介紹某項數學小主題的概念。

  例如《摺紙的幾何》是介紹平面圖形的直角、正方形、長方形、四邊形概念;《奇妙的三角形》是透過操作活動,認識三角形,以及三個角平分線相交、中垂線相交、中線相交的特性。

  這些數學繪本呈現某一個小主題的相關數學概念,它會對應兩個以上的學習內容或分年細目,也可能有一些延伸或擴展的數學概念,甚至從國小端體驗相關的國中數學概念。教師可配合該年級課程,選用部分繪本內容,進行關鍵圖文的深入討論即可,其餘部分可鼓勵學童自我閱讀或小組共讀。

  以《什麼是對稱》來談,它的數學概念有線對稱、點對稱、面對稱,教師可配合國小線對稱課程,進行前半段的閱讀和討論,從生活情境中,有系統的認識、製作、設計線對稱圖形,以及自然科學中有哪些對稱現象。至於後半段,生活情境中的點對稱、面對稱圖形,學童可自行閱讀認識就好。

  本文是從配合單元教學的角度來討論,數學繪本的選用有其限制性,須同時考量數學概念和教學時機。要透過「讀以學」擴展學童的數學知能,還有補救教學、資優教學的話,數學繪本都是不錯的材料。

數學試題設計 反映學童學習狀態

數學試題設計 反映學童學習狀態

 文/鍾靜(國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授)

        一份好的總結性評量,要能測出學童真正的學習結果,並反映出學童的學習狀態;評量得分不宜偏高或偏低,可能七十分到一百分,對一般國小學童是不錯的分布。如果試題偏難、分數偏低,會使低成就的學童喪失學習的信心;如果試題偏易、分數偏高,會使高成就的學童降低學習動力。

       怎麼樣處理一份難易適中的試卷,且能考量學習的進程、學童的程度?建議在低年段學童的數學評量上,可介於九十到一百分,中年段介於八十到一百分,高年段介於七十到一百分。本文擬從五方面,來談在評量中關注學童數學學習的作法。

 

設計評量題數時 應考量時間和內容   

  很多數學試卷會忽略試題數量與考試時間的合理性,這兩者和試題的難易度也有關聯。例如一份試卷有選擇題十三題、每題兩分;計算題八題、每題三分;應用題十題、每題五分。題目有公噸和公斤,公斤和公克,公頃和公畝,甚至還有平方公里、公頃、公畝和平方公尺等,很多超過相鄰二階單位的換算範圍;這些換算的題數不少,甚至許多選擇題的四個選項都須要換算。這份試卷看起來題量尚可,但應用題甚少例行題,也甚少基本題;如果考試時間不足,更是雪上加霜。  

 

評量對應學習時 勿忽略基本題題數        

  試題品質都會用雙向細目表來控制和提升,而雙向細目表其中之一的向度為內容,主要在呈現評量內容,其範圍須能反映學童所學。

        往往相關的單元或小節,都會逐漸加強其概念的深度及應用,相較學習初期的基本題,題目也會越來越複雜。這些綜合性、擴展性題目,往往是教師青睞的試題,例如:有一座邊長二十公尺的正方形公園,小明跑了六圈,共跑了多少公尺?

        同樣的乘法,連乘兩步驟的基本題是:一包餅乾有二十片,一盒有四包,媽媽一次買了六盒,共有多少片餅乾?那麼基本題的題數或配分考量,應就「相關教學時數」占「這次評量內容(單元)總時數」的百分比來分配。

 

評量具認知向度 不可全都是例行題        

  我國的國中會考、大學指考等檢測,在試題雙向細目表的認知向度,都採概念理解、程序知識、應用解題,這三部分的命題,都可以用選擇題、填充題、應用(文字)題等來呈現。計算題應該都屬於程序知識,但是應用(文字)題不一定屬於應用解題,例如:一盒雞蛋有八顆,媽媽買了三盒,媽媽共買了幾顆雞蛋?

        這題是例行題,雖然用乘法概念來解題,但是學童要自己列式和求解,屬於程序知識的成分較多。但題目若修改成:雞蛋有一盒六顆的,也有一盒八顆的,媽媽買了三盒相同顆數的雞蛋,如果媽媽想買多一點雞蛋,她總共會買到幾顆?這題學童需要思考才能解題,不能看到數字就進行乘法運算,可屬於應用解題;且這也不是難題,屬於不錯的非例行題。

        一份試卷不應該全部都是課本、習作上常見的題目,也不宜出現太多教材曾出現的複雜題或難題。最好有一成到兩成需要思考,又不會太難的非例行題。

 

評量有實作題時 容許誤差但須合理        

  當評量的內容涉及量長度、畫角度等測量或實作題時,教師在檢核上,應基於學童會有工具的誤差、被測量物的誤差、報讀的誤差等,所以答案可能與預期的有所差異。例如:實測一條八點六公分的紙條,學童的答案是八點五公分或八點七公分,只要答案在合理的範圍內,都可算是正確的。

 

有建構反應題時 評量初期採加分題        

  有些學校或教師會在定期評量時考建構反應題,而建構反應題是以非例行性、解題思維等為訴求的評量題,它可從答案、作法或理由中,了解學童解題的兩分、一分、零分類型。

        建構反應題不重分數、強調類型,主要是重在學童解題想法的分類。如果在建構題評量後只進行一般檢討,沒有針對錯誤例、正確例、優良例深入討論,修正學童錯誤的想法,分享多元解法,則對數學概念優化的助益不大。

        因為數學課不常對建構題進行「先評量、後討論」的形成性評量,以促進學童學習;單靠建構題的幾分評定,未實施教學和評量的整合活動,其效果有限。

        所以,基於建構題的特性和功能,我建議在定期評量時,先以加分題出現,了解學童的學習狀況,不要造成學童評量時的壓力;等學校各班教學有此氛圍,才適合進行正式評量。

 

(本文原刊載於《國語日報》2020年8月19日教育版)

評閱數學題重理解 促進概念學習

評閱數學題重理解 促進概念學習

 文/鍾靜(國立台北教育大學數學暨資訊教育學系教授)

  數學的教學與評量雖是一體兩面,但要考慮學童學習的個別差異,以及評量內容的重點和方式,怎麼樣才是最適當的評閱處置。通常小考、段考等都是總結性評量,屬於「學習結果的評量」;而現今的評量趨勢重在「促進學習的評量」,要能掌握學生評量結果,並進行即時回饋的形成性評量。

  本文將探討在總結性評量時,教師的命題或評閱,如何關注學生數學學習,也在促進概念學習上略為著力。

 

評量重解題時 首重正確而非格式

  教師在教多位數直式乘法算則時,常會感到困惑,明明教學強調用個位、十位、百位等,去乘以幾倍、幾十倍等有效率的作法,但有些學童在乘以二位數時,直式不是寫出兩層,而是多層,還會將該省略的0寫出。以178×24的計算為例,但只討論20倍的部份,4倍的部份暫不討論,詳見算式1。

 

  此題有效率的作答方式,是心中有清楚的位值概念,詳見算式2。

  如果教師未從位值概念來說明,只有從計算來演示,會讓很多不理解的學童,碰到多次進位,或數字有0時錯誤百出;但學童剛理解算則時,可能會為安全計算,寫出多層或多個0,例如算式3。其實這樣的計算是正確的,教師不宜扣分,除非學童已練習一個月到兩個月,為鼓勵學童用簡潔有效的作法,才可斟酌扣一點分數。

  學童在解多步驟問題時亦然,當學童在學併式時,常常先算部分加括號,所以此時容易會有多餘的括號,例如:100-(12×7)、(52+43)-22,此時,教師評量上也不宜視為錯,當學童熟稔四則運算規則,自然會省略括號。

 

評量須圖示時 側重概念而非精準

  很多教師不喜歡評閱作圖題,認為學童圖示不易精準,例如右下方這種提供圖片的題目。此題為TIMSS試題,目的在了解學童的百分比概念,該題在周界上沒有任何畫圖的參考點,作答重在概念的呈現。

  圖中兩名學童雖然畫的不精準(詳見反應1與反應2),但可以看出50%約是長方形的一半,在剩下一半中,一半是25%,最後的四分之一中15%比10%大。

  從這題的學童作答可知,若要求太過精確,會妨礙學童的思維,反而過於從面積、邊長的等分去解題。

  此外,當學童要利用線段圖來表示文字題中一些數量的關係時,若要求學童畫出的線段圖長度,須和文中數量呈比例,會讓學童解題失去重點;學童要耗費更多心力,也不易畫出完美的線段圖,這會讓他們放棄解題。

 

評量涉定義時 更重理解容許彈性

  學童解題若以概念取代定義,評量也不宜算錯。例如當評量題目為畫出三角形的高時,若學童未按照高的定義,畫出從頂點到底邊的垂線,而是從頂點先畫了和底邊平行的延長線,再從此延長線上任一點,畫出到底邊的垂線,這垂線當然也是此三角形的高。

  總之,設計數學評量要減少限制、增加彈性(詳見《國語日報》一百零九年五月二十日、六月三日的十三版)外,在評閱時應以概念為重點,才能鼓勵學童勇於解題,不喪失學習的動力。

(本文原刊載於《國語日報》2020年8月12日教育版)

增加彈性 提升學童解題興趣與信心

增加彈性 提升學童解題興趣與信心

 文/鍾靜(國立臺北教育大學數資系教授)

  數學教學和評量雖是一體兩面,但怎麼教、怎麼評是很有學問的。教學講求目的性,希望充實學童數學概念,提升解題思維和策略;評量則講求確認性,了解學童學會什麼、理解多少,但是不可輕忽學童的學習有時間差和路徑差。不適當的評量,會抹煞學童學習的興趣和信心,教師只要小小的調整,在評量上增加彈性,就可令大多數學童受惠,在學習路上順暢不少。

  本文擬從教學現場的實際和可行面,提出數學教學中常有的現象,並與讀者分享我的經驗和想法。

 

教學是逐步發展時 評量暫不強求

  數學學習不是教師教完,學童就能熟記,完全進入自動化階段;尤其是概念的學習,希望兼顧理解和熟練,學童的概念需要逐步深化,要允許他們從解題中熟稔。

  以二年級很重要的乘法學習為例,通常教材會安排成三個單元,在二上後半是2、5和4、8的九九乘法,以及3、6和7、9的九九乘法,到二下前半才是0、10的十十乘法。

  這三個乘法單元背後的數學模型都是「幾的幾倍」,例如從4+4+4+4+4=20中,察覺「4有5個」或「有5個4」,進而再次轉換語意為「4的5倍」,才引入乘法算式4×5=20。

  第一個單元重在學童從情境中,將自發性解題的加法算式,經過兩次語意轉換引出乘法算式。第二個單元,教師可以嘗試讓學童記錄問題,學童此時已有乘法算式的經驗,他們是有能力將新情境寫成有括號的算式,例如7×6=( ),但學童尚不知答案,教師可鼓勵學童用已會的加法或乘法算式:7+7+7+7+7+7=42或7+7=14、14+14=28、28+14=42或是7×5=35、35+7=42或7×3=21、21+21=42找出答案;如此一來,學童更能掌握乘法概念,也適合進階教學7的6倍是42,再多1個7就是7的7倍,也就是49。

  至此,親師一定在想,那麼早些讓學童背九九乘法不就好了?其實,學童在不理解乘法的概念下死背,反而會影響學童的學習態度,因為他看見算式就知道答案,以為自己懂了,對教師講解乘法模型,以及被乘數、乘數固定時積的變化等都可能忽略,沒學到重要內涵。

  乘法單元的學習一般都採分布學習,不會連著安排,教師教過後會要求學童熟背,但要到自動化的反應需假以時日;所以不論是哪一單元的內容,學生在解題或評量時,親師暫時不用要求學童一定要直接背出九九乘法的答案,而是允許學童尚不熟記時,可以用自己有把握的方法找出答案。透過遊戲、解題、乘法表等方式,幫助學童有思考的背誦九九乘法,絕對比死背口訣好。

 

教學有不同層次時 評量不可忽略

  有時候我們會看到類似的數學問題在不同年級出現,親師往往會以自己認同的解法去指導,可是學童的數學學習有系統性和脈絡性,如果沒注意他們的學習內容,評量超前要求,會造成他們的挫折感與不理解。

  例如今天是11月23日,再過8天就是媽媽生日,媽媽是幾月幾日過生日?這題是跨月的時刻和時間量問題。這題如果出現在低年級的解題或評量活動,親師一定要提供月曆,讓學童透過點數日子來解題,此時也不宜要求學童熟背每個月有幾天。此題學童要先從語意確定23日要不要算?還有跨月會比不跨月難。

  如果這題出現在中、高年級,學童須學過時間線段圖(數線),從線段圖上認識時刻、時間量的表徵和關聯,並了解只有時間量才能進行加減、乘除運算。最後,用算式23+8=31、31-30=1表示解法,知道媽媽生日是12月1日。

  再舉有關周長和面積的問題,例如有一正方形花圃的面積是36平方公尺,這個正方形花圃的周長是多少?大人看到這題會覺得很容易,就是6×4=24(公尺)。但是由面積求周長對學童而言是逆推的問題,學童如何得知正方形的邊長是6公尺?中年級學童可以透過方格紙操作、嘗試錯誤,並配合九九乘法的事實,找出正方形的邊長。

  而高年級學童可以利用學過的因數分解,並配合正方形邊長的性質,找出36=6×6,得知正方形的邊長是6公尺。學童到國中學過開方根,就可直接√36=6,再算6×4=24(公尺)。

  所以,評量的重點必須符合學童當下學習的內容,並根據學童理解的概念,指導他們解題及進行評量。

(本文原刊載於《國語日報》109年6月 3日教育版)

 

減少限制 提升解題動力與靈活度

減少限制 提升解題動力與靈活度

 文/鍾靜(國立臺北教育大學數資系教授)

 

  親師通常會認為「教什麼就考什麼」是天經地義的事;可是,親師如果能從學童學習的角度來思考,再從各種大型測驗,例如會考、學測、PISATIMMES 等評閱標準來觀察,就會發現評量和教學雖然是一體兩面,但仍有不同的考量之處。

  本文將分別從教學有高階解法時,或以鷹架提升時,這兩類具有特殊目的的評量觀點,來談我的想法和實務經驗。

 

教學有高階解法時 評量不宜規範

  教師在提升學童數學概念或解法時,經常會出現高階解法的教材,最具代表性的例子就是:學童學過多步驟問題後,教師引用一個算式記錄解題,例如「同樂會有8名男生和16名女生參加,每人繳了100元,共花了1680元,每人可退回多少元?」這項費用問題的解題步驟如解法:引導學童將8+16=24(人)、1680÷24=70(元)、100-70=30(元)這三個算式寫成一個算式時,要和學童約定運算順序,先算8+16加括號外,並用(8+16)替換1680÷24中的24人,記成1680÷(8+16)=70(元),再將1680÷(8+16)來替換100-70中的70元,形成併式100-1680÷(8+16)=30(元)。

  最後,教師還須讓學童認識括號先算、先乘除後加減、由左到右三種運算規則,並配合題意,指導學童檢查算式中是否有可省略的括號。但學童在面對新的應用題時,要先掌握解法,才可能以「一個算式」解題,再用逐次減項及四則運算求答案,如算式:100-1680÷(8+16)=100-1680÷24=100-70=30(元)。

  通常,國際性或國內大型評量很少規範解法,只分析學童能否成功解題;「解題」是數學教育重視的核心能力之一,所以從評量觀點來看,成功解題比規範解法重要。

  從國小教育現場的實務考量,教師以教「一個算式」提升學童用高階解法;我的建議是,段考時,酌量一、兩題要求即可,而且剛學時有多的括號也無妨,這樣可鼓勵大多數的學童勇於解題,也區分成就稍高者。因為讓學童評量成績有成就感,絕對比讓學童害怕和排斥數學更重要。

 

教學以鷹架提升時 評量不宜限制

  重視以學生為中心的教學,就會關注學習的近側發展區,以鷹架教學來提升學童的知能。學童學習加法、減法、乘法、除法算式時,都是從結果量未知的問題開始;當面對起始量或改變量未知的問題,大多數的學童是無法直接求解的,例如加數未知問題:「小明存了17元,還要存多少元,才有25元可以得到一張獎卡?」這雖與典型的拿走型問題解法一樣,都是25-17=8,但是大多數學童心中的減法算式,對應結果量未知的拿走型問題,就是從整體量中取走、用掉、吃掉等部分量。

  現因追加型問題的總量是抽象的,須從依題意記錄問題17+( )=25入手,讓部分量17和整體量25在有括號的算式(算式填充題)中呈現,這時才能協助學童從兩量之間的部分和整體關係,明白為什麼是25-17=8,明白還要存8元。

  除此之外,17+( )=25和25-17=( )這兩個有括號的算式之間,還有「加減互逆」的關係,這對多數學童而言是抽象的;所以親師不能認為追加型問題,學童不需引導就能直接用減法算式來求解。

  碰到起始量或改變量未知的問題,教師引入「先記錄問題,再算算看」,就是要透過依題意記錄的有括號算式,來察覺兩量關係進行解題,這是鷹架教學的作法。

  因為部分學童經過學習,已能看到題目中的加減互逆關係,所以這些學童的記錄問題,可能會按解法寫出有括號的算式,如前述追加型問題25-17=( );但大多數學童還是要依題意將問題寫成17+( )=25,再從兩量關係中進行解題。

  因此「記錄問題」從嚴的說法是依題意記錄,從寬的說是融入解題想法也可以,學童能掌握問題且正確解題最重要。所以評量時,教師對「先記錄問題,再解題」不宜限制作法,但教學時須確定,學童都會依題意記錄問題,以利未來代數列式和解題的學習。

  總之,學童在評量時受到不當的規範和限制,往往會讓他們學習受挫、喪失信心;以本文討論的案例來看,如果過於強調「先用一個算式解題,再求答」,這會讓成就較低的學童失去主動解題的動力;如果過於強調「先依題意記錄問題,再解題」,則會讓成就稍高的學童喪失解題的靈活。

  親師要了解學童的數學學習有路徑差和時間差,教師雖有教學的目的,但學童會以較有把握的解法處理,別讓評量變成學習的絆腳石。

 

(本文原刊載於《國語日報》2020年5月27日教育版)

親近數學 可從閱讀繪本開始

親近數學 可從閱讀繪本開始

 

文/鍾靜(國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授)

 

  你對數學的印象是什麼?大部分的人都認為,學數學必須要背很多公式,做很多計算練習,總之,就是為了考試才學習。其實,生活中處處可發現數學的美,例如高鐵、電影院的坐位號碼都有規律可循;用一個公式(底×高÷2=面積)就可以算出大小不同的三角形面積;1×1=1、2×2=4、3×3=9、4×4=16、25、36、49……這些數都稱為正方形數;數學例子還有很多。

  數學可以培養邏輯思考、推理探究、問題解決等能力。不過,數學真的只能透過課本、習作、參考書來學習嗎?事實上,在圖文繪本中,也能看到與數學有關的故事和想法。

 

圖文繪本 充滿數學元素

  很多圖畫故事書含有數學元素,目前坊間出版社已經出版了不同主題的數學繪本。舉例來說:兩個老爹要比誰買的綠豆多,一顆一顆數要花費許多時間,就算村民提供了大大小小的木桶,還是無法解決,那麼,最後他們要怎麼比出來?你收到朋友生日派對的邀請卡,但是門牌號碼其中一個數字不見了,你要怎麼找到派對地點?有隻厲害的小蜘蛛,牠可以猜出客人要買哪種糖果,牠是如何辦到的?企鵝裴利想要一輛滑板車,牠必須花九個蛤蜊才能買到,在籌措的過程,牠經歷到自己賺來的、花掉的、找到的、遺失的、借來的蛤蜊,並從中認識了什麼是負數。生活中有很多用點和線組成的網路圖,從奇線點和偶線點的介紹,可學會一筆畫問題,同時也破解古老的七橋問題。

  讀了這些故事簡介,是不是讓人覺得數學有趣又有用?這類的繪本,很適合從幼兒園到小學高年級的學生逐年閱讀。

 

多重功能 解決數學問題

  在學習數學的過程中,學童會接收到許多抽象的觀念,如果能透過兒童文學把數學的觀念或想法,以故事脈絡及圖片呈現,用更多學童熟知的語言來表達,就更能讓學童感受到數學真實存在生活裡。

  數學繪本能有效提升、擴展抽象的數學概念,從閱讀中增進學童的觀察、預測、應用、表達及評斷等能力,同時提供有意義的學習脈絡,有助了解數學概念,加強數學溝通能力,並鼓勵他們成為數學問題的解決者,提升解題的自信心。

  數學繪本透過不同的生活事件來引導學習某個數學概念,也可將數學概念連結兒童的生活經驗。數學繪本充分展現生活的應用和關聯,提供數學的思維和視野,它可用來培養學童的數學素養。因此,數學繪本是:

1. 具有親和力且輕鬆的數學教材;

2. 加強數學概念溝通討論的工具;

3. 連結數學概念和生活情境的教材;

4. 提供傾聽、寫作及討論數學概念的機會;

5. 在有意義的情境中運用數學知識;

6. 改變學童對數學的看法;

7. 擴展學童的數學知識。

 

故事情境 探索數學內涵

  相較於一般數學文字題,數學繪本的故事情境更易於操作,使親師改變數學的難度及傳達方式。

  對年幼的孩子可採大聲朗讀的方式,從故事的人、事、時、地、物來討論;對中年級的學童可用共讀或輪讀的方式,討論故事中發現的數學概念,故事能怎麼繼續發展,並確認數學的概念、過程與類型。

 

 

  至於高年級的學童,可鼓勵他們獨自或在小團體中閱讀,說明從故事裡學到哪些數學概念,並反思故事的目的、結果與過程,將所學應用於專題報告與創意活動中。故事的結局也可以是開放的,允許學生繼續建構故事線,以便發展符合他們自身情境的數學問題。甚至可假想情境改變,故事的走向又會如何轉變等。

  根據筆者的研究,親師在指導學童閱讀數學繪本時,最常用的閱讀理解策略是「解釋閱讀材料提出理由支持」,其次是「比較自己的經驗」,以及「歸納和推論」。而數學解題策略的分布較平均,前三者是「模擬與操作」、「歸納或演繹」和「猜測與嘗試」,低年級也重「尋找樣式或規律」。不管使用哪種策略,學童透過閱讀數學繪本,都能慢慢親近、理解數學。

 

(本文原刊載於《國語日報》2018年10月17日13版)