從長條圖開始 理解統計圖差異

從長條圖開始 理解統計圖差異

文/鍾靜(國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授)

  統計圖是統計概念的學習核心,在國小階段從八十二年課綱開始,只教長條圖、折線圖、圓形圖;早年的課程會出現直方圖。要引入統計圖的教學,需要先讓學童有需求感。通常,當統計表的項目較多,數字很大,不易看出各個項目之間的差異或比較,教師就可引入該統計表的長條圖,讓學童感受統計圖的優點,它很容易掌握各項目之間的差距、比例和關係等。

  長條圖的學習可以從圖案累計的長條圖開始,它是以各類別的圖案,按數量堆疊成長條,通常在縱軸對應圖案數量標出1、2、3……,橫軸標出各個類別的名稱。當圖案長條圖的數量變多,就需引入正式的長條圖,特別要引導學童認識數量軸上的間距和刻度,它和數線的概念相似,且間距可能是1、2、5、10、100或1000等。本文著重討論長條圖和其他統計圖的不同之處及教學重點,通常長條圖的數量軸可以放在縱軸或橫軸,但為方便討論一律以縱軸來稱數量軸。

 

直方圖強調連續性資料

  長條圖的特點在長條的高度和數量成比例,很容易看到哪一個項目或類別最多、最少,彼此之間的差距、比例等,而且各項目是類別資料,可以更動順序,不會影響長條圖中各項目之間的關係。長條可以是瘦形、胖形,也可以是柱狀;當長條使用胖形,而且一條接一條,看起來很像直方圖,但它還是長條圖。分辨直方圖、類直方圖(長條圖),不能只看形狀,要從資料的性質來判斷;若是沒有順序性的類別資料,它就是長條圖;若是有連續性的資料,分成數組,例如:0到10、10到20、20到30……90到100,通常會約定0、10、20……90屬於該組,它就是直方圖,因資料的處理方式,讓長條連在一起。直方圖的特點不是在高度,而是當資料很多、組距很小,這相連長條的頂端會形成曲線,就是這組資料的分布狀況,直方圖是討論曲線下面積的密度。所以,直方圖國小不教,到國中才教。

 

折線圖掌握資料變化

  在長條圖上,以長條頂端中點做連線,會形成折線圖;但由它來看資料變化的意義不大,因為類別資料之間不大需要看資料的變動和趨勢。通常當資料有時序性,例如:1月、2月……12月;或順序性,例如:1到9分、10到19分……90到99分、100分,都是適合以折線圖來表現資料的訊息。但類順序的類別資料,例如:四年1班、四年2班……四年6班,它只是標籤數的概念,不論針對什麼資料,都沒有探討不同班別間資料變化或變動的必要。折線圖的特點是掌握資料在不同時間、不同分數上的變化和趨勢,國小階段不以探討未來趨勢為主。雖然可將折線圖轉成長條圖,但長條圖是以資料量的高度來表現,而折線圖適合看資料在不同時序或順序上的變動;通常國小階段會以資料的屬性,指導學童認識長條圖或折線圖的適用狀況。

 

圓形圖分析占比

  長條圖的數量軸,不必然只能用數字和單位表示,也可以用%;而圓形圖中的各扇形,除了標註%外,當然也可只寫數量。圓形圖和長條圖最大的差別,在於整體量和部分量的關係;整個圓代表整體量1,按比例分割出的扇形代表部分量,扇形大小或%就是部分量和整體量的比率。通常,國小階段會先教圓形百分圖或稱百分圓形圖,它是銜接百分率的教材;教師應先提供圓周上有100等分的圓形百分圖,學童可從百分之多少來畫出扇形。初步建立圓形百分圖概念,總量都會是100的倍數或是20、25、50,使%容易處理;隨著%的數值出現要取概數時,有時總和不到或超過100%還是要從最大部分量微調。接著,當學童感覺處理%很複雜,教師就可引入有二分之一、三分之一、六分之一圓的圓形百分圖,讓學童觀察它們和圓心角360度的關連,進而引導學童利用圓心角的比率,來處理部分量資料,形成圓形圖中的扇形。

  學童認識這些統計圖後,首先學習「報讀」,藉由表名、縱軸和橫軸的訊息,及呈現的圖,看見什麼就說什麼,也可做直接的比較和計算;接著「解讀」進行簡單的分析和推論;最後才學習在空白格線製作統計圖,學童要能寫出表名、決定縱軸和橫軸等。通常國小生畢業前,從收集資料開始,到製作適合資料的統計圖,這就是數學素養的統整活動。

(本文原刊載於《國語日報》2023年02月28日13版)

統計表教學 先掌握關鍵概念

統計表教學 先掌握關鍵概念

文/鍾靜(國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授)

  生活中的報章雜誌,常會利用一些圖表來傳達訊息,讓讀者可以清楚的掌握報導內容重點。統計圖、統計表教學在國小相較數與計算,占的分量不多,但都很重要。

  國小統計圖、統計表教學的重點,通常可以分為資料收集、分類與整理、報讀與解讀、製作圖表;因此,國小階段的統計課程,主要包含「統計表」及「統計圖」兩大部分。

  一般而言,國小的統計學習內容,低年級從簡單的分類和呈現分類的結果開始,包括能對於給定的物品或生活中的事件進行初步分類,並做簡單的呈現與說明等;三年級是認識、報讀與製作一維表格與二維表格;中、高年級是認識、報讀與製作長條圖、折線圖、圓形圖,並據以解釋或解讀。本文將以統計表部分,探討教學中較易被忽略的概念。

 

資料先分類再計數

  學童首先遇到的統計概念學習,就是「分類與整理」。這些材料在課本上往往是以靜態呈現,課本通常將一堆混合放置的物件,例如:花瓶裡有六朵紅花、五朵白花、八朵黃花,直接列出統計表,讓學生填數量;如果統計表中的類別是空白較好,因為學童要觀察花有哪幾種顏色。

  親師應指導學生先進行分類活動,再按分類點數。因為學童是初次學習,課本可能會做示例,將已分類的名稱寫在統計表中;若直接請學童按類別點數,例如:紅花有幾朵?白花有幾朵?黃花有幾朵?沒有先就混合放置的物件討論如何分類,這只是「數數」教學,不是「統計」概念的教學。

  花瓶例的分類屬性只有顏色,教師可在學童已有分類與整理的經驗後,再提供顏色、形狀、大小不同的花片,讓學童自己決定用什麼屬性來分類並數數,體驗不同且多元的解題結果。

 

動態情境才需畫記

  學習統計的概念中,計數資料的「畫記」,在某些情況下是必要出現的,所以學童要學習「正」、「四豎一橫」的畫記方式。學童最常見的就是選舉時的唱票和計票,國小的畫記教學以「正」為主。

  如以本文第一小節的花瓶例、花片例來看,都沒有畫記需求的情境,因為它們是靜態、總量一起呈現的。

  在教室中的選舉,若將學童喜歡的運動項目寫在黑板,然後讓學童按項目選擇一項舉手,這就沒有畫記的必要;若用投票來處理,先將選票按分類整理,再分別計數,這也沒有畫記的需求;除非在動態的情境下逐一開票,才有畫記的需要。

  下課十分鐘的教室門口,對經過的戴眼鏡男生、女生,還有不戴眼鏡男生、女生進行畫記,就是很不錯的教學情境,它不但是動態的,總量也不知道。如果學童在有項目、有數量的統計表上,只按數量畫記,其實是數字符號和圖像表徵的對應,它只是「數數」教學,不是「統計」教學。

 

學習製作二維表格

  十二年國教數學領域課綱,統計學習內容「D-3-1一維表格和二維表格:以操作活動為主。報讀、說明與製作生活中的表格。二維表格含列聯表。」這是學童正式學習統計表的指標,有關「列聯表」則是新增的內容。學童在生活中,常有機會看到一維表格,例如:某電視臺節目表、飲料店價目表,它只需依序報讀即可;而二維表格,例如:日課表、火車時刻表,它必須從橫軸和縱軸項目交叉來看資訊。

  若將本文下課十分鐘畫記結果做成統計表,它就會是男女性別、戴眼鏡是否的二維表格;再進一步在橫向小計戴眼鏡、不戴眼鏡的人數,在縱向小計男生、女生的人數,最後做出總計就是全部的人數——這個二維表格就是列聯表。

  列聯表一定是二維表格,但二維表格不一定是列聯表;通常,同一集合的資料,用兩種屬性來分類,就會形成2×2、2×3、3×2……的二維表格,再從縱向、橫向小計,最後總計到相同數字,它就是列聯表的特點。

  統計表和統計圖,都是將需要分類才易掌握群體內容的資料做彙整。統計表是以數字呈現,只能看出不同項目的數量,它一般是一到三年級的教材,因為學生較年幼,通常著重在資料的分類、整理、報讀。

  統計圖則是以圖像呈現,從視覺上掌握資料,但不同的統計圖有不同的特性,筆者將於下篇文章做深入的探討。

(本文原刊載於《國語日報》2023年02月21日13版)

數學核心的校訂課程設計〈高年級篇〉

數學核心的校訂課程設計〈高年級篇〉

學生為中心 營造思考與討論空間

文/鍾靜(國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授)

  校訂課程是「一○八課綱」針對彈性學習課程所規範的,它的節數,低年級是二至四節,中年級是三至六節,高年級是四至七節。因為很多縣市有資訊課程、英語文課程的考量,導致學校研發校訂課程的空間變小,使得大多數學校高年級才有稍多彈性學習的節數,可用來研發以數學為核心的校訂課程。

  高年級校訂課程從一一二學年度開始實施,基於高年級的數學領域部定課程只有四節,若能增加延伸、擴展相關課程一節,必定能對學生的數學概念或應用的學習大有助益。本文是全校篇的續篇,作者藉指導兩校的經驗,分享高年級以數學為核心的校訂課程設計,並談談數學素養導向的統整性校訂課程。

 

案例1 北市西湖國小 西湖得來速課程

  西湖國小高年級的「得來速」課程,以一單元一建構反應題為數學校訂課程的主軸,實施「先評量、後討論」活動,再增加每學期兩本數學繪本的二至三節閱讀和討論教學。建構反應題是參考臺北市、新北市學力檢測的非選題,這些試題以五年級適用較多,六年級甚少,所以除了有一些直接引用外,不少試題是修編或自編;現階段以每單元研發一題,未來可逐步增加每單元的試題,供教師選用。數學繪本則以學校圖書館的書籍先選用,因高年級配合單元內容適用的繪本有限,未來可調整。

  建構反應題「先評量、後討論」,在教師引導下,透過同儕間的分享和討論,可將錯誤例(0分或1分類型)的概念穩固或修補,正確例(2分類型)的不同做法進行多元分享,以及從正確例評析中,感受到優良例解題的推理和思考。經過這過程和內容,可提升學生數學的思維和生活的應用等能力。教師不宜將評量題直接教學或當作回家作業,以免錯失了解學生學習後的確實表現;若有評量試題外流,爾後再使用可能會不客觀。

 

案例2 北市國語實小 玩轉生活家課程

  國語實小高年級的「玩轉生活家」課程,以探究數學、動手數學、生活數學三股,分別強調概念穩固、心像建立、跨域統整,以形成數學為主軸的校訂課程。每股課程有三個內容,每個內容安排兩節課,所以每學期實施十八節課。探究數學是以Chapman四階段探究模式設計,需緊扣單元教學實施,它可能是單元的第一節、中間節或最後一節;每學期有五個教學活動,教師可以選三個實施。動手數學有兩類,一類是桌遊,一類是教具操作,每學期配合教學內容各設計兩個教學活動,教師可以選三個實施;這些活動都有建議的教學時機。生活數學則採跨領域主題式,每個主題有三個相關的小主題,利用校園及校園四周情境,進行生活中數學的實作和探討。

  該校的數學領域小組透過探究教學的專業成長過程,並在一些班級實作後修正教案,使得這次研發數學相關校訂課程有很好的基礎。生活數學跨領域的內容,有校園路線通(含中正紀念堂)、圓柱魔術師、寸土寸金、校園安全小偵探四個學期的主題;今年具體研發每學期三個小主題,各兩節課的教學內容。動手數學今年才開始設計,不論桌遊或教具操作除考慮和教學相關外,還同步準備一個班級使用的分量;特別是校訂課程的教具操作,不宜和數學單元教學應操作的內容重複,必須設計相關且延伸的內容。這套校訂課程會在一一一學年試行,並進行滾動式修正。

 

數學素養導向 統整性校訂課程

  我曾在本專欄,撰寫〈素養導向教學,如何落實於國小數學?〉(2020.10.02)一文,指出數學素養有「數學的思維」、「生活的應用」兩類重要成分,探究教學對前者、數學繪本對後者有最佳的養成功效,且因生活選材、數學內容使得兩類成分都會觸及。在〈建構反應題有效評量國小數學素養〉(2020.10.09)一文,說明建構反應題在臺北市、新北市基本學力檢測現身多年,可將其視為小型任務進行形成性評量,實施「先評量、後討論」活動,這也是數學素養導向評量和教學的整合。

  綜觀北市劍潭國小、新竹私校、北市武功國小的全校性課程,以及北市西湖國小、北市國語實小高年級的數學核心校訂課程,大家都考慮和生活關聯的數學來設計,除探究教學、數學繪本、建構反應題外,各校設計的數學步道、生活數學、動手數學等,也是培養數學素養的好素材。這些校訂課程的實施,要營造學生有思考、分享、討論的空間,落實以學生為中心的數學教學。

(本文原刊載於《國語日報》2022年09月28日13版)

數學核心的校訂課程設計〈全校推動篇〉

數學核心的校訂課程設計〈全校推動篇〉

文/鍾靜(國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授)

  十二年國民基本教育課程總綱與各領綱,於一○八年八月上路,因此又稱「一○八課綱」,課程類型分為部定課程、校訂課程兩類,校訂課程由學校安排,以形塑學校教育願景及強化學生適性發展,並落實學校本位及特色課程。校訂課程是彈性學習課程,它是以跨領域/科目或結合各項議題,發展「統整性主題/專題/議題探究課程」,強化知能整合與生活運用能力;也可以社團活動與技藝課程、特殊需求領域課程、其他類課程等設計。

  本文將針對「統整性的探究型課程」此項,來談談以數學為核心的全校性校訂課程。我藉多年參與指導的三校,分享它們以數學為軸線的校訂課程設計;校訂課程能研發成功的重要成分:研發團隊、領頭羊、行政支持,這三者缺一不可外,還需有明確的課程目標,教授的指導只有畫龍點睛之效。

 

案例1 北市劍潭國小 邏輯推理課程

  劍潭國小的「邏輯推理」課程包括數量推理、幾何推理、關係推理、統計推理四種內容,課程節數:低年級、中年級每兩週一節,高年級每週一節。這些教材以遊戲任務、繪本情境、建構反應題、引概活動、校園步道、生活情境六類來設計;前兩類是情境問題化,中間兩類是問題概念化,後兩類是概念應用化。除建構反應題是全校均有外,遊戲任務是低年級,繪本情境是低、中年級,引概活動是中、高年級,校園步道也是中、高年級,生活情境只有高年級使用。每個年段只設計適用的三或四類教材,低、中年級每學期約七個、高年級約十四個教學活動。

  劍潭國小的校訂課程是透過遊戲任務加強學生數學概念的熟練,繪本情境選用不同概念的數學繪本進行討論,建構反應題採引用或修編,並實施「先評量、後討論」活動;引概活動是自編或修編的類奠基活動,校園步道是利用校園環境進行數學解題策略探討,生活情境是生活中的數學解題應用探討。該校以「邏輯推理讓學習更SMART」,曾獲教育部一○九年教學卓越銀質獎。

 

案例2 新竹私校 一單元一探究課程

  新竹私校的「一單元一探究」課程是將數學為核心的校訂課程,融入數學領域部定課程中實施;低年級數學課每週排四節,中高年級五節,校訂課程配合單元教學實施。探究和實作是十二年國教課程很重視的素養能力,學生為中心的探究教學是以Chapman四階段探究模式,設計一個有生活情境的主探究問題,在一節課中透過引入階段、探索與討論階段、分享階段、結論階段來進行。探究教學可以是概念型、程序型、推理型探究,在一個單元中可能是在第一節、中間節或最後一節實施;通常在第一節是新概念的探索,在中間節是某概念的深究,在最後一節是某概念的延伸應用,它也可以從實作中入手。

  此探究教學與課本題進行解題、發表和討論的一般探究有很大差別,它除有一內涵厚實的主探究問題外,在每一階段都需有教師的關鍵提問,該關鍵提問不是引導學生解題,而是促使學生在解題中加深、加廣相關數學概念的主動發現和產出;在透過個生獨思、小組討論、全班討論中,培養學生自主學習和溝通辯證的能力。

 

案例3 北市武功國小 生活思維課程

  武功國小的「生活思維」課程以數學繪本、數學步道為主要內容,每學期低、中、高年級分別使用數學繪本四本、四本、兩本,設計數學步道各兩個,還有高年級增加生活數學兩個,也就是每學期各年級有六個校訂課程內容,每個教學活動實施二至三節課。課程節數:低年級每兩週一節、中年級採融入部定課程節數、高年級每週一節。數學繪本和生活數學教學是在室內,數學步道教學是在室外進行的活動,三者都非常強調學生同儕間的發表和討論。

  數學繪本教學以坊間不同情境和主題的繪本,作為素材;數學步道教學以校園中不同場景設計,讓學生從一至六年級都有探索數學的新鮮感;生活數學是利用生活情境中的數學,進行解題應用的探討。

 

總結

  這三所學校以數學為核心的校訂課程,都是該校校訂課程中的一條軸線,不同的學校從不同的角度設計課程,因為選材以生活情境出發,很容易達成跨領域或議題的學習,但都能在部定課程學習外,提供更豐富的數學內容和探索。

  從這些全校性校訂課程來看,高年級都能每週安排一節課,所以很多學校就以此考慮數學相關校訂課程,下回將介紹下篇〈高年級篇〉。

(本文原刊載於《國語日報》2022年09月21日13版)

兩步驟問題 須從理解題意入手

兩步驟問題 須從理解題意入手

文/鍾靜(國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授)

  國小學生從一年級開始學習單步驟的加、減問題,到二年級學乘法問題,三年級學除法問題,就會開始慢慢接觸不併式的兩步驟問題。

  兩步驟問題是指用到兩個「+、-、×、÷」運算符號來列式或解題,可以分成加與減、乘與加減、除與加減、乘與除四大類型;學生到四年級上學期學習兩步驟問題解題記錄的併式,都不會涉及四則運算的三個重要規則:

一、有括號的先算;二、先乘除,後加減;三、由左算到右。

  學生學習將解題記錄併式時,教師會以「先算的加括號」來教學,很多學生會說口訣,但仍不會併式。通常,教學會從有文字的情境題入手,讓學生了解運算符號和順序;若學生在一步驟問題沒有習慣好好閱讀題意,只用關鍵字解題,例如共就是「+」,剩下就是「-」,分就是「÷」等;或學到一些解題撇步,例如:減就是大減小,兩個數單位不一樣又問共就是「×」,除是大除以小等,會不利於兩步驟問題的學習。

  本篇將談學生學習不併式兩步驟問題的三個階段,以及從不併式到併式的教學重點;但不全以時間序來探討。

 

加減類型兩步驟問題

  加減類型兩步驟問題有連加、連減、先加再減、先減再加;用例子來說明同類型還有差異。

  例題一:小美收集了13個空寶特瓶,拿了10個去資源回收,哥哥又給他2個,小美現在有幾個空寶特瓶?

  例題二:操場上有13個小朋友在跳繩,其中有10個男生,後來有2個女生也來跳繩,現在有幾個女生在跳繩?

  這兩個例題都可以先算13-10=3,再算3+2=5,但例題一從語意上很明顯看出事件發生的先後順序,例題二對學生而言就困難不少。例題二的先算部分,是隱藏在加法的進階題型10+( )=13中,學生要了解「其中」有部分——整體的關係,才會用13-10=3來算。

  這兩題,若有學生先算13+2=15,再算15-10=5也是可以,他們是想先知道總量,再算剩下或其餘的量。

  尚未併式的兩步驟教學,不論學生先算什麼、再算什麼,教師不宜只關心列式和答案,應該要讓學生多從「理解題意」中,來說明算式和題意的關連,以及其代表的意義。

  到兩步驟併式教學,學生可從舊經驗列出:先算13-10=3,再算3+2=5,教師確認學生都能溝通算式代表的意義後,接著要問學生題目中沒有33代表什麼?3怎麼來的?教師再引導可以用算式13-10取代3,並配合「先算的加括號」,所以3+2=5就會變成(13-10)+2=5;教師教併式以「誰取代誰」外,還要讓學生在併式記錄上,能配合題意說明先算什麼,再算什麼。

  隨著這類題目的教學與練習,學生應可掌握連加、連減、加減混合兩步驟問題的不併式的解題,以及解題記錄的併式學習。

 

乘法類型兩步驟問題

  當學生學過乘法後,就會進入乘與加減類型的教學,它們的題型相較加與減類型複雜很多,併式前的解題與併式的舉例,整體可分成兩大類。

  例一~例三是「先算乘再算加/減」。

  例一:先算14×6=84,再算84+5=89,併式是(14×6)+5=89

  例二:先算14×6=84,再算84-5=79,併式是(14×6)-5=79

  例三:先算14×6=84,再算100-84=16,併式是100-(14×6)=16

  例四、例五是「先算加/減再算乘」。

  例四:先算3+7=10,再算10×6=60,併式是(3+7)×6=60

  例五:先算10-3=7,再算7×6=42,併式是(10-3)×6=42

  學生要先「理解題意」,才能充分掌握先算的是+、-或×,再算的是×或+、-,學生無法只憑藉關鍵字來解題;再觀察題目中沒有的數是怎麼來的,進行「誰取代誰」,才能完成併式。

 

除法類型兩步驟問題

  學生學過除法後,就會進入除與加減類型的教學,一樣是「先算除再算加/減」,或是「先算加/減再算除」的兩大類;也會學習乘和除類型,這類型通常有連乘、連除、乘除混合的題型。

  這些除與加減、乘與除的兩步驟問題教學,未涉及併式時,須同加與減、乘與加減類型的教學一樣,從「理解題意」入手,從重要訊息決定先算什麼,再算什麼。

  涉及併式的教學,還是須從先算、後算的算式中,找到題目中沒有的數,這數也是先算的結果,會在後算的算式中出現;透過「誰取代誰」的動態歷程及「先算的加括號」就能完成併式。

  一般教材設計會靜態呈現「誰取代誰」的表徵,但教學可以更動態呈現「替換」的歷程,加上教師引導題意和算式中每個數的關連,可助學生減少併式學習困難。

多步驟問題 考量運算規則列式與求解

多步驟問題 考量運算規則列式與求解

文/鍾靜(國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授)

  學生在四年級下學期就會進到兩步驟問題的列式和求解,五年級則學習三步驟問題的列式和求解。

  四則運算有三重要規則:

  一、有括號的先算;二、先乘除後加減;三、由左算到右。學生須依題意列出一個有兩到三個運算符號的算式,考慮運算規則,將不必要的括號去除;再透過逐次減項求解。

  學生在掌握題意、列出算式、併成一式、併式或列式符合運算規則、按運算規則逐次減項求解中,任何一個環節不理解,都可能產生學習差錯。涉及三個運算規則的兩步驟、三步驟問題,如何列式和求解學生才能順利學習?

 

兩步驟問題

  學生要將兩步驟問題依題意列成一個算式,他們心中須有解題計畫,先算什麼,再算什麼,才能將先算的加括號,併入後算的列式記錄問題;若不考量三個運算規則,學生有括號列式的狀況比較好,但學生未來處理三步驟和多步驟問題恐受影響,所以教師仍須引入。因此,學生按題意列出一個算式後,還要考慮運算規則,將「先算的加括號」中不必要的括號去除。

  加與減類型如:

    例一:(16-9)+2=?

    例二:16-(9+2)=?

  加減與乘類型如:

    例三:100-(13×6)=?

    例四:(100+13)×6=?

  加減與除類型如:

    例五:6-(24÷6)=?

    例六:(6+24)÷6=?

  乘與除類型如:

    例七:(72÷8)×3=?

    例八:72÷(8×3)=?

  這八例中先算的部分,例一的(16-9)是由左算到右,例三的(13×6)是先乘除再加減,例五的(24÷6)也是先乘除再加減,例七的(72÷8)也是由左算到右,所以這四例可去除括號;但例二、例四、例六、例八都是有括號的須先算,所以不能去除括號。

  兩步驟問題列式後的求解,不但跟題意的先算和後算有關,也跟三個運算規則有關,「逐次減項」就是每一步驟只處理一個運算符號,還要保持等號兩邊的等價。以前面的例子來說明,例八:72÷(8×3)=72÷24=3,題目的括號不能去除,求解是「有括號的先算」;例三:100-13×6=100-78=22,題目的括號可以去除,求解就是「先乘除後加減」;例一:16-9+2=7+2=9題目的括號可以去除,求解就是「由左算到右」。

 

三步驟問題

  初學三步驟問題不容易,因題目語意不一定有明顯的運算順序,例如:小明到文具店買文具,1枝鉛筆賣12元,1枝原子筆賣16元,小明買了2枝鉛筆和3枝原子筆,他要付給老闆多少元?學生除了要了解題意、掌握資訊,還要心中有解題策略或計畫。

  學生須看出要付的錢包含鉛筆和原子筆,所以分別先算鉛筆12×2=24元、原子筆16×3=48元後,兩者相加24+48=72就是要付的錢。

  前述問題,學生大多能列成三個算式來解題,但要依題意列成一個算式,難度就升高,這時心中要想兩者的錢是24+48=?24、48不一定要算出),24可用12×2取代、48可用16×3取代,若學生能掌握本題是乘的要先算,並熟知先乘除後加減的運算規則,就可直接列出算式12×2+16×3=?

  但大部分學生無法一次到位,教師可引導學生以先算的有兩部分,可以分別都加括號來列式(12×2)+(16×2)=?因本題是乘的部分要先算,再按「先乘除後加減」的運算規則去除括號,列式就是12×2+16×3=?

  若學生剛學時能正確列式和解題,但出現多餘的括號,教師不要算錯,給學生多一點學習空間,讓他們假以時日熟稔較妥。

  三步驟問題都可列成三個算式後再併式,例如小美帶100元去買文具,買了18元的橡皮擦和15元的原子筆3枝,她還剩下多少元?解題的三個算式是15×3=45元、18+45=63元、100-63=37元。

  學生心中若有此解題規畫,不必真的解出,只要了解題中資訊的關係,記錄問題的列式就可先將6318+45取代,寫成100-(18+45)=? 其中(18+45)的括號要先算不能刪去,再將4515×3取代,寫成100-(18+15×3)=?因為先乘除後加減15×3不須括號;這樣列式的過程都須考量運算規則,對學生而言是有複雜度的。

  若教師請學生先算小美買文具花了多少元?學生已有兩步驟列式的經驗,他們可以寫出18+15×3=?再按題意加一步驟就是100-(18+15×3)=?對學生而言,比從三個算式再列成一個算式簡單;能列出三步驟或多步驟的一個算式,有助於國中階段的代數式的學習。

  國小不引入中括號,但在併式或列式出現兩次括號60-((15-3)×4)=?((9+6)×4)÷5=?時,考量運算規則就是60-(15-3)×4=?(9+6)×4÷5=?

  再透過「逐次減項」求解,60-(15-3)×4=60-12×4=60-48=12,每次依運算規則處理一個運算符號。

運用數線概念 學習計算時間量

運用數線概念 學習計算時間量

文/鍾靜(國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授)

  時間問題的計算和應用,對學童而言是比較困難的,尤其時刻和時間(量)都需要學會使用「數學用語」表示,例如上午940分出發,路程花了630分,到達時間是幾時幾分?他們需以語意判斷「幾時幾分」是代表時刻,還是時間(量)。

  若學童只能用幾時幾分區分時刻,幾小時幾分鐘區分時間(量),那麼「當某時刻開始,經過某時間是什麼時刻?」或「兩時刻間有多少時間?」的問題出現,學童加法或減法算式的單位是「時、分」,還是「小時、分鐘」呢?

  通常,時間計算是用正式單位「時、分」。此外,教師應指導學童,時刻只是「時間數線」上的一個刻度或位置,是無法進行計算的,只有時間(量)才能計算,所以「時刻+時間(量)=時刻」和「時刻-時刻=時間(量)」的口訣是不恰當的。

  本文將介紹「時間數線」對學童學習的重要性,以及如何利用它解決時間的計算和應用問題困難。

 

認識時間數線構成要素 其間距可計算時間量

  時間數線是以整數數線為基礎,學童最早接觸到的數線概念是「公分尺」;教師教導以公分為單位的測量活動前,需讓學童認知公分尺上數字0、1、2、3……,相鄰兩者間的間距都是1公分,了解刻度0102,……49等,間距分別是1公分,2公分,……5公分等。

  「整數數線」的構成要素是座標,以及座標與座標的距離。國小階段可將座標稱為刻度或位置,相鄰兩座標的距離稱為間距;間距代表一個單位長,從原點0到刻度/位置6,共有6個單位長。

  通常「時間數線」是從某日的0時開始,在刻度上只出現數字,其刻度/位置就是整時(整點)的時刻,間距就是1時(1小時)的時間(量)。

  雖然時間具有連續性,但是受到12時制或24時制,以及每月可能有28、29、3031天、每年有12個月影響,在時間數線上「午接午、日接日、月接月」處的數字無法連續,教師需引導學童了解上午的結束就是下午的開始,一天的結束就是下一天的開始,一個月的結束就是下一個月的開始。

 

依情境靈活辨識題意

  教師可先利用「時間數線」,讓學童明白「幾時」的數學用語有兩種意義,一是代表某時刻,二是代表0時到此時刻的時間(量)。例如下午3時就是15時,也是從0時開始經過了15時;若出現跨日的時間數線,例如某日上午8時出發去旅行,就是從0時開始經過了8時,第二天下午6時返家,就是從第一天的0時開始經過了24+18=42(時),出門一共花了42-8=34(時)。

  此外,可讓學童在時間數線上,標示能溝通即可(不求精準)的「幾時幾分」刻度/位置,了解從0時開始經過了「幾時幾分」的時間長度。

  當學童在時間數線上,會用「數學用語」同時報讀時刻,描述時間(量),就能依題意靈活轉換;更能依情境中的語意判斷「幾時幾分」是時刻還是時間(量),例如小明1030分陪奶奶拜訪朋友,下午520分返家,她們在外花了多少時間?這時學童對減法算式的單位「時、分」代表的意義,就能明白它是代表時間(量),不是時刻。

 

釐清時刻與時間量關係

  教師可利用「時間數線」上的刻度(時刻)和間距(時間量),讓中年級學童透過點數來解決兩「整時」間有幾小時,以及某「整時」經過幾小時是某時的問題;此時通常不會要求學童列式求解,因為這些計算的單位是什麼?他們熟悉的時刻是幾時幾分,時間(量)是幾小時幾分鐘。

  當高年級學童能辨識問題情境中「數學用語」幾日幾時、幾時幾分、幾分幾秒,代表時刻還是時間(量)後,接著需了解這些時刻或時間(量)之間的關係。

  教師可引導學童再利用「時間數線」標出題目中的時刻或時間(量),他們就容易理解用兩時刻代表的時間(量)相減,得到的答案就是兩時刻間的時間(量);也能明白用開始時刻代表的時間(量),加上經過的時間(量),得到的時間(量)總和就是0時開始到所求答案的結束時刻。

  因此,這些時間應用問題的橫式列式、直式計算就清楚明確多了,求解使用的時間正式單位日、時、分、秒等「數學用語」,學童就能在腦袋中靈活轉換是時刻或時間(量),進行時間問題的解題就變得相對簡單。

(本文原刊載於《國語日報》2021年 10月 13日)

建立學童時間用語 須分三階段學習

建立學童時間用語 須分三階段學習

文/鍾靜(國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授)

  時間看不見、摸不到,不似長度、重量等感官量,它是透過鐘錶、月曆等方式呈現的工具量,且與生活習習相關。不少幼童還沒上小學前,就會模仿大人說幾點、幾分鐘的「生活用語」,但不一定能正確理解其中概念。例如有些幼童會模仿大人說:「九點鐘要出發,搭火車要一小時。」卻又一直問:九點鐘到了嗎?火車還要搭多久?

  因為時間的正式單位是日、時、分、秒等「數學用語」,配合工具量的時間認知發展共有三個階段,本文將從這三個階段談國小學童時間用語的學習發展。

 

時刻報讀階段

  在這個階段,學童是利用圓型鐘面上兩指針所指的數字,學習生活用語「幾點鐘」、「幾點半」的報讀。當長針指向數字12、短針指向數字7,就是7點鐘;長針轉一圈,再次指向數字12,短針指向數字8,就8點鐘。

  親師應該讓學童多觀察兩指針的轉動與鐘面數字之間的關聯,當長針從數字12開始,走了半圈指向數字6,短針從數字8開始,走到89的中間,就是8點半。

  在圓形鐘面上,112的數字,對應12個大刻度;在大刻度間分成5等分,有4個小刻度線,整個鐘面有60個小刻度,教學時要在小刻度上標出12……5960(0),介紹學童認識「幾分」刻度,再配合兩針的轉動,以及短針指向大刻度的數字,長針指向小刻度的數字,報讀「幾點幾分」。

  接著,教師應進一步指導學童找出鐘面上數字與「幾分」的規律,數字1對應5分,數字2對應10分……數字12對應60分,也等同於0分;這規律可和乘法教學5×1=5、5×2=10、5×3=15……5×12=60結合,讓學童面對沒有小刻度數字的鐘面,也能順利報讀「幾點幾分」。

  面對尚無時間量感的學童,教學不宜使用:「從8點半開始,再經過1小時是什麼時刻?」但可以問:「從8點半開始,長針再轉一圈是什麼時刻?」

  另外,應配合生活情境介紹上午9點和下午9點的鐘面,讓學童知道鐘面雖然長得一樣,但代表的時刻不一樣。上午、下午是數學用語,它們會在介紹12時制和24時制時,有明確的界定,因此教師須確認學童能正確使用。

 

時間量感階段

  學童進入時間量感階段後,認識長針在鐘面走一小格是1分鐘,轉一圈是60分鐘,也是1小時;短針走一大格是1小時,轉一圈是12小時。

  學童也開始配合生活事件,以及兩指針在鐘面數字和大小刻度間的轉動,察覺鐘面現象和時間(量)的關聯。

  學童銜接原有生活經驗中的說法,用幾小時、幾分鐘、幾秒鐘的「生活用語」來敘述時間(量);但他們已認識長針就是分針,短針就是時針,所以開始會用幾時幾分的「數學用語」來報讀時刻,例如:7時、830分、937分。

  學童雖建立「1日=24時」、「1時=60分」、「1分=60秒」的時間量感,但仍然使用幾時幾分、幾分幾秒的「數學用語」來描述時間(量)。

  簡而言之,學童開始學時刻報讀,是從生活用語開始;開始學時間(量)描述,也是從生活用語開始。

 

計算與應用階段

  這個階段學童會學到很多時間單名數、複名數的換算,以及時間的計算與應用;典型的錯誤是在計算時,將135分誤認為135分;28時誤認為28時;3115分誤認為415分等,這是受到十進位制的影響。

  教師需協助學童多操作鐘面指針,釐清日、時、分、秒的關係,建立「1日=24時」、「1時=60分」、「1分=60秒」的心理圖像,並假以時日去熟記。

  學童到了高年級,需要認識幾日幾時、幾時幾分等「數學用語」,除了可以同時代表時刻和時間(量)外,還需要理解時刻和時間量的關係,例如上午1038分是時刻,但它表示從0時開始,經過了1038分的時間(量);也可以說從0時開始經過1038分,就是1038分。

  當學童學會時間(量)的概念,才能進行加、減等運算,並理解數學用語「日、時、分、秒」是算式的單位,在計算時代表時間(量),而不是時刻。

(本文原刊載於《國語日報》2021年 10月 06日)

理解乘除互逆關係 從總量連減引入除式

理解乘除互逆關係 從總量連減引入除式

文/鍾靜(國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授)

  國小整數運算,低年級以加減為主,中年級以乘除為主,其中十十乘法的概念從九年一貫課綱開始,就提前至二年級課程;延續前文介紹的加減互逆主題,本文將以乘除互逆為主軸,來談算術思維階段的相關教學。

 

除法問題基本型 等分除與包含除

  二年級下學期的「分裝與平分」單元,為除法概念的前置單元,分裝是「包含除」的前置概念,例如題目1:18顆糖果,每6顆一包,分分看有幾包?經過操作會看到有3包,也就是有36

  平分是「等分除」的前置概念,例如題目2:18顆糖果,平分給6個人,每人可以分到幾顆?經過操作,每人有3顆,也就是有63。這兩個問題的除法算式都是18÷6=3,但從結果來看,分裝的結果是36,可以記做6×3=18;平分結果是63,可記做3×6=18

  三年級首教除法,通常會從整除入手,以題目2為例,學生如何認識「÷」的概念?

  通常等分除的解題操作並不難,但要從總量連減算式中,引入分的摘要記錄「除式」;分的過程需透過「1人一次分1顆」的語意轉換為包含除,產生以顆來連減的算式18-6=1212-6=66-6=0,進而引出除式18÷6=3

  學生在「分裝與平分」單元看到乘法算式3×6=18,首教除法又是整除,誤以為除法算式18÷6=3就是從乘法來互逆;殊不知分的過程是除式18÷6=()中有幾個618÷6=3一人分到3顆,而分的結果是乘式3×6=186336個。

  回到包含除,以題目1為例,過程是18÷6=()中有幾個618÷6=3可以裝成3包,分的結果卻是乘式6×3=18,有3663個;包含除的乘除互逆關係是18÷6=36×3=18,而等分除的乘除互逆關係是18÷6=33×6=18,它們是不一致的。

  誤用乘除互逆關係學除法,遇到除數一位且有餘的除法就會有困難,因為怎麼背十十乘法就是找不到答案。

 

培養學生除法估商 不可只做整除問題

  除法概念不宜在學過「分裝與平分」後,就直接從乘法算式導入乘除互逆概念;應在乘除概念都具備後,才進行乘除互逆的相關教學。

  在「分裝與平分」單元中,分的結果是乘法算式,它只和除法算式18÷6=()的估商有關;估商在找有幾個66×2=12可以再分,6×3=1863個,若針對包含除,就是每包6顆、有3包;若針對等分除,就是分給6人、每人有3顆。

  首教除法不要只做整除問題,最佳的「除數一位」教學從有餘數的問題入手,如20÷6=()(),利用除法直式中先乘再減的思維,試試6×2=1220-12=8,再修正成6×3=1820-18=2,培養學生估商的能力,避免以為除法求答只要背十十乘法就好。

  學生若無除數一位的估商經驗,到了「除數二位」問題,例如85÷23=()(),要透過估商解題就非常困難了。學生解題很難一次到位,可以先將23想成20,在除法直式上很容易看出204倍是80,先試試看23×4=92,超過85了,再修正為23×3=6985-69=16,得出80÷23=3…16

  所以,除法概念建立應從總量連減引入,當學生了解「÷」的意義,會列除法算式時,就可用除數的幾倍估商,在估商的時候就會和除數的倍數有乘除互逆關係。

 

空格算式記錄問題 掌握乘除互逆關係

  乘法問題的基本型是等組型,例如一盒雞蛋有6個,5盒雞蛋有幾個?除法問題的基本型是包含除、等分除;它們也有改變量(乘數、除數)未知、起始量(被乘數、被除數)未知的進階型問題,例如 6×()=30()×5=30()÷6=5()÷5=6,當學生掌握部分量和整體量的乘除互逆關係後,就可分別從30÷6=5,得出雞蛋有5盒;30÷5=6,得出每盒有6個雞蛋、6×5=30,得出共有30個雞蛋。但是30÷()=530÷()=6就不能用乘除互逆解題,而是30÷5=6,每盒有6個雞蛋;30÷6=5,雞蛋有5盒。

  因此,除法的進階問題,例如包含除()÷7=4…230÷()=4…2,它們的算術作法分別是7×4=2828+2=3030-2=2828÷4=7

  因為除法原理a÷b=c…d0≦d<b,以及a÷b=a/b,前者是一般除法算式;所以不論整除或有餘的除法問題,最好能認識標準除式記錄,例如28÷7=()()30÷7=()(),餘0就是整除/沒有剩下。但很多親師會認為整除時,何必那麼麻煩寫餘0?那是因為在列除法算式,尚未求解前,不能從題意判斷是否有餘;不要讓學生未求解就要判斷結果是整除或有餘。

 

(本文原刊載於《國語日報》2021年3月24日13版)

列空格算式記錄問題 理解加減互逆

列空格算式記錄問題 理解加減互逆

文/鍾靜(國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授)

  在國小數學運算的教材中,加減扮演著重要角色,尤其「加減互逆」性質,涉及解題等學習內容。通常,遇到改變量、起始量未知的加減問題,大人很容易想到列代數式,用等量公理、移項法則解題,卻忽略了國小學生尚在以數量直接運算的算術思維階段,無法利用符號運算的代數思維求解。

  本文將從國小涉及的關係/代數與前代數教材中,經驗等量公理(十二年國教課綱已移至七年級)、以符號表示數學公式、加減互逆性質等,來談它們彼此間的相關教學。

 

教學應首重列算式 不可提前學移項法則

  從九年一貫課綱開始,六年級就有「經驗等量公理」的分年細目,想幫助學生在升上國中前,對代數學習有前置經驗;但教學現場往往不經意就提前教「移項法則」,使有 x 的算式解題簡化,不在等號兩邊進行同加、同減、同乘、同除解題。

  然而,這樣的作法會產生許多問題,國小階段代數式中的()或 只是未知定數,並不是變數概念,學生也不認識負數,因此超標學習的移項法則只是皮毛。同時,用 列算式也容易造成教師困擾,學生會認為,簡單的一步驟問題,會解題就好,為什麼要列算式?

  要先學會列算式,才能進行等量公理等代數的學習。若學生未有用空格算式記錄問題的經驗,例如在教()+15=23、23-()=15時,直接進入23-15=8解題的話,將來面對兩步驟或多步驟問題,要依題意寫出有x的算式,如100-(18+x)×3=10,學生就會有困難,也不利國中階段的代數學習。

 

觀察部分與整體量 從空格算式直譯開始

  加法問題的基本型是併加和添加,進階型就是加數、被加數未知;減法問題的基本型是拿走,進階型就是減數、被減數未知。整體而言,結果量未知的問題是基本型,而改變量、起始量未知的問題就是進階型;這些問題不能從成人觀點出發,例如認為16+()=35、()+16=35、35-()=16的題目,都可用35-16=19的減法來解,因此混在一起教學。這些不同層次的問題,對學生而言有很大的差異,例如兩個數量合起來是16+()=35()+16=35的加法問題,並沒有拿走型的語意,為何要用減法解題?

  另外,比多、比少也是造成學生學習困難的問題,求差量是基本型,如小平有16元、小安有19元,小平比小安少幾元?它必須透過語意轉換「小安比小平多3元,小平比小安少3元」,並和拿走型做聯絡,學生才能理解算式19-16=3的意義。

  而比較量未知,例如「小安有19元,小平比小安少3元,小平有幾元?」或基準量未知,例如「小安有19元,小安比小平多3元,小平有幾元?」等,就是對學生較難的進階型問題,絕對不宜和基本型混在一起教學。這兩個問題題透過語意轉換就是同樣的問題,它們的問題記錄是19-3=()19-()=3

  當學生會用空格算式依題意直接記錄問題(簡稱直譯)時,例如()+15=3215+()=3232-()=15()-32=15,觀察這些空格算式的部分量和整體量,並從線段圖了解兩量關係,我們會發現前三式的答案都可由32-15=17求得,第四式的答案可由15+32=47求得;兩個算式間15+17=3232-15=1747-32=1515+32=47就有加減互逆關係。

  所以,先從有空格的算式來觀察部分和整體量關係,藉由加減互逆的算術運算求解,這就是算術思維的國小階段解法;而且,有空格的算式是代數式的前置經驗,課綱學習內容N-2-3就提及空格算式的必要性。

 

解題不設固定格式 彈性評量有助於學習

  加減互逆關係應該在加法和減法問題分別學會後,再進行兩個算式部分量和整體量關係的觀察和建立;所以,加法、減法問題的基本型要先學好,才可能有後續的學習。

  教加減問題的進階型時,可把「空格算式」當作學習鷹架或解題工具,引導學生用空格算式,依題意直接記錄問題,當學生理解加減互逆關係,就能用加或減計算解題。在這之後,有些學生的記錄問題會融入解題想法(簡稱轉譯),例如32-15=()15+32=()

  教師教學從直譯入手,有助學生未來的代數學習;評量時,學生只要正確求解,用直譯和轉譯記錄問題都可以。學習成就較高的學生會脫離鷹架,直接用轉譯記錄新問題求解;而學習成就較低的學生看到新問題,會從直譯入手再求解。學習內容N-2-3也提到,解題不要有固定格式,評量多點彈性,對學習是有幫助的。

 

(本文原刊載於《國語日報》2021年3月17日13版)