一年級長度教材結構與重點

一年級長度教材結構與重點

 

文/葉啟村(國立臺南大學應用數學系教授)

 

  長度是國小最早學習的量,而量的教學有一套系統性的順序可遵循,以下說明一年級長度教材的結構以及教材的重點。

 

量與實測教材結構

  量與實測所處理的測度量從知覺上可分為感官量與工具量。感官量是指可以用身體的感官器官去發覺此量的存在,例如:長度、面積、體積、重量、角度、容量、速度等都是。工具量則是指須利用工具測量才可得知此量,例如:時間、密度等。一般而言,感官測度量有一套系統性的教學順序可遵循,如下:

(1)某量初步概念。

(2)某量的間接比較。

(3)某量普遍單位比較。

(4)某量的測量單位制度概念。

(5)某量的測量公式概念。

  由於長度量為感官量中最易察覺,也是學生最常接觸的測度量。因此,其教學結構也最完整的依循上述的教學順序。

 

長度與距離

  長度是指物體的長,距離則為兩點的直線連線段的長。因此,學生必須先具備長度的概念才能去了解距離的意義。例如:教師在介紹「鉛筆的長在哪裡」時,教師須用手指頭從鉛筆的一端連續移動到另一端(如圖1)。切忌以兩指靜放在鉛筆的兩端,以距離呈現「鉛筆的長」。

圖1:國小數學翰林版一上第2單元

 

  試想一想,倘若為彎曲的物體,將兩指靜放在此物的兩端表達其長度概念,此為錯誤的教學模式。

 

長短、高矮與厚薄

  長度用於日常生活中術語,有長短、高矮與厚薄。長短是學生最易看到的且經常使用的長度量,高矮其次,最後是厚薄。有些學生會將身高誤解成頭頂端離地面距離,因此教師應運用「長度的初步概念」,用手指頭從人體的腳底一端連續移動到頭頂一端,以讓學生知道身高的意義(如圖2)。

圖2:國小數學翰林版一上第2單元

 

  同理,厚薄的比較也應將其長度量以線段呈現(如圖3),使學生了解厚薄的意義。

圖3:國小數學翰林版一上第2單元

 

直觀比較、直接比較與間接比較

  直觀比較是指只要透過感官且不需要其他工具或策略就能比較出兩量的大小。通常兩物測度量的差距很大,教學上通常用來檢查學生是否了解此測度量的初步概念。

  直接比較是運用策略與推理比較出兩物的長。通常兩物測度量的差距很小,必須透過比對才能發現大小。比對方式採用的策略有兩種:

(1)對齊一端再觀察另一端距離對齊一端的遠近(運用距離概念)。

(2)將一物內嵌於另一物,有可能兩端都沒有對齊(運用長度的初步概念)。

  間接比較是指兩物無法運用直接比較策略比較出兩物的長,因此必須先複製其中一物的長(有時必須兩物的長都複製),再與另一物做直接比較(如圖4)。也就是說,間接比較運用了遞移律:abbcac

圖4:國小數學翰林版一上第2單元

 

  所以在教學上的安排是:直觀比較→直接比較→間接比較。

 

長度的保留概念與間接比較

  所謂量的保留概念是指「物體的該測度量不會因時間、地點或形變而改變」,長度的保留概念可分為三種:

(1)物體移動時,移動前與移動後之長度不變。

(2)物體改變形狀時,形變前與形變後之長度不變。

(3)物體細分成幾個小單位長時,細分前之長度等於細分後小單位之長度總和。

  依據上述保留概念,「長度的間接比較」可分為兩個層次:

(1)利用繩子複製其中一物的長(有時必須兩物的長都複製),再將繩子拉直後做直接比較。

圖5:國小數學翰林版一下第2單元

 

(2)將兩物的長分別細分成數個相同單位,再比較其單位的數量。

圖6:國小數學翰林版一下習作綜合練習(一)

 

  前者可稱為「狹義的長度間接比較」,後者則統稱為「長度的個別單位比較」。

 

長度的合成和分解活動

  在國小數學第一冊中,學生學會了使用「加法算式」與「減法算式」記錄數量的併加型、添加型和拿走型,在國小數學第二冊將延伸至記錄「長度的合成和分解活動」。這是學生使用算式記錄「測度量的合成和分解活動」的啟蒙活動,因此務必仔細與審慎處理。

  進行長度的合成與分解活動前,要先建立學生「能將物體細分成幾個個別單位的長」之保留概念,成功地將物體的長轉移到個別單位的數量個數。接著,進行長度的合成的計算,如:「兩條魚接起來的長」,就等同計算「兩組數量的總和」。學生自然理解「加法算式」記錄「長度合成」的意義,勿須盲目背誦。

圖7:國小數學翰林版一下第2單元

 

  「拿走型問題」為學生學習「減法算式記錄」的基本題型。因此先利用「將物體細分成幾個個別單位的長」的保留概念,將「長度的拿走型問題」轉化成「數量的拿走型問題」,進而能使用「減法算式」記錄該類問題。

圖8:國小數學翰林版一下第2單元

 

  一年級時僅需處理「某量初步概念」和「某量的間接比較」,而「某量普遍單位比較」之「公分、公尺」普遍單位的建立,將留待二年級時處理。

 

低年級的時間要怎麼教?

低年級的時間要怎麼教?

 

文/葉啟村(國立臺南大學應用數學系教授)

 

  時間對學生而言是抽象的、看不到也摸不到,必須藉由生活中各種情境脈絡和外在事物的變動,才可以體認時間的存在。學生進入國小後,再透過數學教材,對時間有更進一步的認識。因此時間教材對國小學生的成長與學習是非常重要的。

  低年級學生要學習哪些時間概念?教學要注意什麼呢?以下說明低年級時間教學脈絡與重點。

 

什麼是感官量?什麼是工具量?

  感官量是指可以用身體的感官器官去發覺此量的存在,例如:長度、面積、體積、重量、角度、容量、速度等都是。工具量則是指須利用工具測量才可得知此量,時間便是工具量。工具量的教學必須先使學生認識測量工具,時間的測量工具就是時鐘。因此,一年級時間的教學重點為「時鐘的報讀」,只做「幾點」與「幾點半」的教學;二年級時間的教學重點為「大格」與「小格」的計數報讀「幾點幾分」。

圖1:國小數學翰林版一上第9單元(左)、二上第8單元(右)

 

  日常生活使用的時鐘有指針鐘和數字鐘,大部分學生都會比較喜歡使用數字鐘。但是教學上會以指針鐘為主,因為指針鐘比較能彰顯時間為連續量的概念。

 

時刻與時間要怎麼分?

  事件發生之先後可以按「過去–現在–未來」之序列得以確定時刻,而衡量事件持續的期間以及事件之間和間隔長短,即為時間。在英文,時間與時刻是使用不同的用語。但是在中文,時間與時刻的學術用語都是使用「時、分、秒」。生活用語則常用「小時、分鐘、秒鐘」來表達時間,用「幾點幾分」來表達時刻。

  由於一年級學生尚很難區分時刻與時間,並且教學的重點在時刻。因此教學上建議從生活用語來處理時刻與時間,即「幾點與幾點半」表達時刻、「幾小時」表達時間。如此,教學便能與生活結合,符合十二年國民教育的目標之素養的教學。

 

事件發生的順序與時刻的先後要怎麼連結?

  教學上要讓學生發現「時刻」的意義,一年級時間單元要先讓學生瞭解「事件發生的順序」,再藉由此概念介紹「時刻」,進而知道「時刻」的先後。

  因此,給定一些事件,學生不需要親身經歷那些事件,只需知道事件發生的「時刻」,由「時刻」的先後,反推判定「事件發生的先後順序」。也就是說,學生可以用「時鐘」這個工具判定「事件發生的先後順序」,就像能用直尺判定兩物長度的長短之概念。

 

一年級時間報讀的教學結構

  一年級學生學習時鐘的報讀,教材安排的教學結構建議如下:

(1)認識鐘面

  知道鐘面上有數字(1、2、……、12)、刻度(一年級只會大刻度,小刻度可以淡化處理)、長針和短針(一年級教學使用的鐘要有時針和分針,但不要有秒針,當有學生提到秒針時可以淡化處理)。

圖2:國小數學翰林版一上第9單元

 

  教師有時也可以處理日常生活遇到的鐘不一定是圓形,但必須有上述三個要素,缺一不可。不要處理只有時針沒有分針,或者是只有數字3、6、9、12,沒有其他數字的鐘錶。

(2)長短針旋轉的方向

  讓學生知道時針和分針都是從數字小的旋轉走到數字大的,走到數字12後,再接著走到數字1,周而復始的轉。必要時,可以溝通分針從12開始走,經過1、2、……、11,再回到12,稱為分針走一圈。值得注意的是,先不要處理時針和分針旋轉時,如何連動的細節。

(3)幾點與幾點半的報讀

  讓學生認識整點鐘與整點半的報讀,例如:「時針指向數字5,分針指向數字12,稱為5點」、「時針指向數字4和5之間,分針指向數字6,稱為4點半」。此時也必須讓學生知道「1點再過去是2點、2點再過去是3點、……、11點再過去是12點」、「4點半在4點和5點之間」。如此可幫助學生建立時間數列,以利往後的教學。

圖3:國小數學翰林版一上第9單元

 

二年級報讀「幾時幾分」的迷思概念

  一年級只做「幾點」與「幾點半」的報讀,二年級時間的教學重點為報讀「幾點幾分」。二年級學生報讀時鐘時,常會出現一些報讀錯誤的迷思概念,如下:

(1)混淆時針與分針的意義。

(2)超過45分,幾「時」容易弄錯,如:2時55分,學生錯誤報讀為3時55分。應加強學生撥鐘過時的經驗,並注意觀察時針位置的變化。

  為了使學生避免上述的迷思概念,教學時應強調「時針在數字n和數字n+1之間時」是指「n點多」的概念,例如:時針都在鐘面數字8和9之間,就是8點多。進而發現,「時針在數字n和數字n+1之間時,而且靠近n+1」是指「快接近n+1時」的概念。

 

二年級時間的教學要注意什麼?

  低年級對於時間的描述,必須以兩時刻間發生的事件來呈現。由於中文表達時間與時刻的學術用語都使用「時、分、秒」,生活用語則常用「小時、分鐘、秒鐘」來表達時間,用「幾點幾分」來表達時刻。因此,翰林版教材為了便於溝通,均以學術用語來表達時刻、生活用語來表達時間,即「幾時幾分」表達時刻(如圖4左)、「幾小時、幾分鐘」表達時間(如圖4右)。

圖4:國小數學翰林二上第8單元

 

  進行二年級時間教學時,學童計數時間量均以點數時鐘上的「大格」與「小格」數目來計數,而非使用「加減算式」。對於時間的點數,有些學童將點數的對象「大格」誤認為點數數字,而產生多了1小時的迷思概念。例如:從3點到5點經過幾小時,點數「兩時刻間的數字」,從3、4、5回答有3小時。因此,教學時,教師要以明確的動作指出,「大格」與「小格」的計數。

 

  本文從工具量和感官量的差異,說明處理時間教材的脈絡與學生可能的迷思概念,希冀協助學童在低年級就能建立穩固的時間基礎,中、高年級的學習能夠更順利。