協助學童數概念發展的理念與活動安排

協助學童數概念發展的理念與活動安排

 

文/游自達(臺中教育大學教育學系副教授)

 

  筆者在「兒童對全數的理解與解題」一文中曾指出,國小低年級數與計算教材所處理的內容大多在於發展新計數單位,並以新的計數單位解決新的問題。「單位與單位化」的活動乃是數與計算教學活動的重要環節。

  低年級兒童藉由一一對應的點數活動,發展出以「一」為單位的數結構(即8是8個一的合成;12是12個一的合成等)。隨著經驗的累積與重組,學童的數概念結構產生變化。透過量的合成與分解活動,學生認識構成某量的不同部分(例如:8可以分成5和3、2和6等;5和3合起來是8,2和6合起來也是8),並認識量的部分整體關係。當合成的結果大於10時,「十幾」的認識活動引導學生從多個「一」的合成,逐步發展出「十」和「一」兩階單位合成的認識。舉例來說,「12」可以是「12的一」、「8個一和4個一的合成」、「8和4個一的合成」或「9和3個一的合成」,也可以是「10和2個一的合成」(兩個以一為單位的量的合成)。透過適當的學習引導,學生將發展出「12」是「10和2的合成」(部分整體的思考)的理解。兒童對於「十」和「一」的兩階單位認識係後續發展二位數的概念與位值理解的基礎。

  基於概念理解與循序發展的考量,教學上需要依據學生的心理發展,結合具體活動、表徵活動、抽象運思活動來提升學生的數概念理解。換句話說,數學概念的教學活動需要以學生生活經驗的初始認識為基礎,透過操作活動的安排和學生的解題表現交互運作來提升學生的理解。教學上透過操作活動、數的各種表徵協助學生製造心像(image making)、擁有心像(image having),進而能關注到數的圖像表徵、符號表徵的同一表徵內、不同表徵間的關係和性質,並逐步形式化,提升其對數的概念理解。

  以翰林版一上第四單元分與合的活動為例,教材從投球進遊戲箱(如圖1)、盒內與盒外物件(如圖2)、一群學生從兩條橋過河(如圖3)、一堆物件分兩手抓握(如圖4)等經驗出發,透過操作活動協助學生發展心像,再結合圖像表徵協助學生覺察量的分與合關係,作為後續以分合關係解決加減法問題的基礎。

圖1:國小數學翰林版一上第4單元

 

圖2:國小數學翰林版一上第4單元 

 

圖3:國小數學翰林版一上第4單元

 

圖4:國小數學翰林版一上學習加油讚(一)

 

  具體來說,本版教材透過分與合的操作經驗,協助學生發展心像;結合分與合的心像引領關注部份量與整體量之間的關係;部份–整體關係的心像與理解作為學生後續解決加數未知、被加數未知,減數未知、被減數未知的問題的基礎。基於生活經驗,建立意義關聯;從體驗感受出發,形成有感經驗;顧及認知發展,循序深化學習乃是本版教材發展的重要理念,也是活動安排的導引方針。

 

兒童對全數的概念理解與解題

兒童對全數的概念理解與解題

 

文/游自達(臺中教育大學教育學系副教授)

 

  兒童植基於日常生活的經驗,自學前階段便透過口頭唱數、點數等活動逐步建立對數詞、數詞序等的認識,並透過一一對應、點數等活動發展對序列、多少、相等(一樣多)的理解,發展出「非正式算術」(informal arithmetic)。

  基於學前階段的經驗,兒童進入國小後,累積點數活動發展對於基數的認識,並使用數詞的次序關係來標示個體的位置及個體間的先後次序關係,由此發展出序數的認識。接著透過量的比較、合成、分解等各式操作活動,逐步發展對全數(whole number,或稱「非負整數」)的理解。量的比較、合成、分解等活動協助學生的全數概念發展,而對全數的不同認識則使得兒童可以更有效、更有效率地解決所遇到的問題。學生的全數概念因經驗的累積和不斷的重構而逐漸複雜化與抽象化。

  兒童對於全數概念的理解可說是在「單位與單位化」的活動下逐步發展。在幼兒及國小低年級階段,兒童透過點數的過程發展全數的概念。在此階段,一個全數是多個「一」的合成(亦即12是12個一的合成)。隨著經驗的累積與重構,兒童逐步發展出新的單位(累多個一構成一個異於一的新單位)。以12為例,兒童不只認知到它是12個一,它也是10和2的合成、一個10和2個一的合成等。隨著經驗的增加,兒童也認知到是12是6個二、4個三、3個四、2個六等。再者,兒童更認識到12也可以是個單位,進而形成1個十二、2個十二、3個十二的理解。如此不斷重構單位並再詮釋的歷程可說是一種單位化(unitizing)的歷程,乃是兒童數概念不斷發展的重要心理活動。新單位的形成讓兒童產生新的解題方式,可以用不同於以往的方式詮釋所面對的問題與解題。整數倍的概念由此逐步發展。

  國小低年級數與計算教材所處理的內容大多在於發展新計數單位,並以新的計數單位解決新的問題。例如:兒童對構成12的單位之掌握不同而有不同的理解,解決相關問題的策略也會有差異。這些不同的結構可摘要如表1。

 

表1:兒童對全數12的不同認識與解題活動

對全數的認識

數的單位

解題活動

數表示圖像或位置。

無法處理量的合成或分解活動。

12是12個一的合成。

以具體物全部數(concrete counting all)策略解決量的合成問題。

12是10又2。

以向上數(counting-on)策略解決量的合成問題。

12是10和2合起來的。

運用部分和整體關係解決量的合成與分解問題(透過加10和加2解決加12的問題)。

3、又3、又3、又3合起來是12。

以累加策略解決等群組的合成問題。

4個三合起來是12。

以倍的語言和乘法解決等群組的合成問題。

 

  綜合而言,「單位與單位化」的活動乃是發展數概念理解和形成新的解題工具不可或缺的一環。數與計算相關概念的教學便在於協助學生發展新單位,使其能以更有效、更有效率的策略解決所碰到的問題。國小階段數與計算的教材需要透過循序漸進的安排,引導兒童重組其數概念,形成新的單位與結構,逐步優化其解題思考與策略。這也是翰林版教材努力的目標。