一年級長度教材結構與重點

一年級長度教材結構與重點

 

文/葉啟村(國立臺南大學應用數學系教授)

 

  長度是國小最早學習的量,而量的教學有一套系統性的順序可遵循,以下說明一年級長度教材的結構以及教材的重點。

 

量與實測教材結構

  量與實測所處理的測度量從知覺上可分為感官量與工具量。感官量是指可以用身體的感官器官去發覺此量的存在,例如:長度、面積、體積、重量、角度、容量、速度等都是。工具量則是指須利用工具測量才可得知此量,例如:時間、密度等。一般而言,感官測度量有一套系統性的教學順序可遵循,如下:

(1)某量初步概念。

(2)某量的間接比較。

(3)某量普遍單位比較。

(4)某量的測量單位制度概念。

(5)某量的測量公式概念。

  由於長度量為感官量中最易察覺,也是學生最常接觸的測度量。因此,其教學結構也最完整的依循上述的教學順序。

 

長度與距離

  長度是指物體的長,距離則為兩點的直線連線段的長。因此,學生必須先具備長度的概念才能去了解距離的意義。例如:教師在介紹「鉛筆的長在哪裡」時,教師須用手指頭從鉛筆的一端連續移動到另一端(如圖1)。切忌以兩指靜放在鉛筆的兩端,以距離呈現「鉛筆的長」。

圖1:國小數學翰林版一上第2單元

 

  試想一想,倘若為彎曲的物體,將兩指靜放在此物的兩端表達其長度概念,此為錯誤的教學模式。

 

長短、高矮與厚薄

  長度用於日常生活中術語,有長短、高矮與厚薄。長短是學生最易看到的且經常使用的長度量,高矮其次,最後是厚薄。有些學生會將身高誤解成頭頂端離地面距離,因此教師應運用「長度的初步概念」,用手指頭從人體的腳底一端連續移動到頭頂一端,以讓學生知道身高的意義(如圖2)。

圖2:國小數學翰林版一上第2單元

 

  同理,厚薄的比較也應將其長度量以線段呈現(如圖3),使學生了解厚薄的意義。

圖3:國小數學翰林版一上第2單元

 

直觀比較、直接比較與間接比較

  直觀比較是指只要透過感官且不需要其他工具或策略就能比較出兩量的大小。通常兩物測度量的差距很大,教學上通常用來檢查學生是否了解此測度量的初步概念。

  直接比較是運用策略與推理比較出兩物的長。通常兩物測度量的差距很小,必須透過比對才能發現大小。比對方式採用的策略有兩種:

(1)對齊一端再觀察另一端距離對齊一端的遠近(運用距離概念)。

(2)將一物內嵌於另一物,有可能兩端都沒有對齊(運用長度的初步概念)。

  間接比較是指兩物無法運用直接比較策略比較出兩物的長,因此必須先複製其中一物的長(有時必須兩物的長都複製),再與另一物做直接比較(如圖4)。也就是說,間接比較運用了遞移律:abbcac

圖4:國小數學翰林版一上第2單元

 

  所以在教學上的安排是:直觀比較→直接比較→間接比較。

 

長度的保留概念與間接比較

  所謂量的保留概念是指「物體的該測度量不會因時間、地點或形變而改變」,長度的保留概念可分為三種:

(1)物體移動時,移動前與移動後之長度不變。

(2)物體改變形狀時,形變前與形變後之長度不變。

(3)物體細分成幾個小單位長時,細分前之長度等於細分後小單位之長度總和。

  依據上述保留概念,「長度的間接比較」可分為兩個層次:

(1)利用繩子複製其中一物的長(有時必須兩物的長都複製),再將繩子拉直後做直接比較。

圖5:國小數學翰林版一下第2單元

 

(2)將兩物的長分別細分成數個相同單位,再比較其單位的數量。

圖6:國小數學翰林版一下習作綜合練習(一)

 

  前者可稱為「狹義的長度間接比較」,後者則統稱為「長度的個別單位比較」。

 

長度的合成和分解活動

  在國小數學第一冊中,學生學會了使用「加法算式」與「減法算式」記錄數量的併加型、添加型和拿走型,在國小數學第二冊將延伸至記錄「長度的合成和分解活動」。這是學生使用算式記錄「測度量的合成和分解活動」的啟蒙活動,因此務必仔細與審慎處理。

  進行長度的合成與分解活動前,要先建立學生「能將物體細分成幾個個別單位的長」之保留概念,成功地將物體的長轉移到個別單位的數量個數。接著,進行長度的合成的計算,如:「兩條魚接起來的長」,就等同計算「兩組數量的總和」。學生自然理解「加法算式」記錄「長度合成」的意義,勿須盲目背誦。

圖7:國小數學翰林版一下第2單元

 

  「拿走型問題」為學生學習「減法算式記錄」的基本題型。因此先利用「將物體細分成幾個個別單位的長」的保留概念,將「長度的拿走型問題」轉化成「數量的拿走型問題」,進而能使用「減法算式」記錄該類問題。

圖8:國小數學翰林版一下第2單元

 

  一年級時僅需處理「某量初步概念」和「某量的間接比較」,而「某量普遍單位比較」之「公分、公尺」普遍單位的建立,將留待二年級時處理。

 

低年級的時間要怎麼教?

低年級的時間要怎麼教?

 

文/葉啟村(國立臺南大學應用數學系教授)

 

  時間對學生而言是抽象的、看不到也摸不到,必須藉由生活中各種情境脈絡和外在事物的變動,才可以體認時間的存在。學生進入國小後,再透過數學教材,對時間有更進一步的認識。因此時間教材對國小學生的成長與學習是非常重要的。

  低年級學生要學習哪些時間概念?教學要注意什麼呢?以下說明低年級時間教學脈絡與重點。

 

什麼是感官量?什麼是工具量?

  感官量是指可以用身體的感官器官去發覺此量的存在,例如:長度、面積、體積、重量、角度、容量、速度等都是。工具量則是指須利用工具測量才可得知此量,時間便是工具量。工具量的教學必須先使學生認識測量工具,時間的測量工具就是時鐘。因此,一年級時間的教學重點為「時鐘的報讀」,只做「幾點」與「幾點半」的教學;二年級時間的教學重點為「大格」與「小格」的計數報讀「幾點幾分」。

圖1:國小數學翰林版一上第9單元(左)、二上第8單元(右)

 

  日常生活使用的時鐘有指針鐘和數字鐘,大部分學生都會比較喜歡使用數字鐘。但是教學上會以指針鐘為主,因為指針鐘比較能彰顯時間為連續量的概念。

 

時刻與時間要怎麼分?

  事件發生之先後可以按「過去–現在–未來」之序列得以確定時刻,而衡量事件持續的期間以及事件之間和間隔長短,即為時間。在英文,時間與時刻是使用不同的用語。但是在中文,時間與時刻的學術用語都是使用「時、分、秒」。生活用語則常用「小時、分鐘、秒鐘」來表達時間,用「幾點幾分」來表達時刻。

  由於一年級學生尚很難區分時刻與時間,並且教學的重點在時刻。因此教學上建議從生活用語來處理時刻與時間,即「幾點與幾點半」表達時刻、「幾小時」表達時間。如此,教學便能與生活結合,符合十二年國民教育的目標之素養的教學。

 

事件發生的順序與時刻的先後要怎麼連結?

  教學上要讓學生發現「時刻」的意義,一年級時間單元要先讓學生瞭解「事件發生的順序」,再藉由此概念介紹「時刻」,進而知道「時刻」的先後。

  因此,給定一些事件,學生不需要親身經歷那些事件,只需知道事件發生的「時刻」,由「時刻」的先後,反推判定「事件發生的先後順序」。也就是說,學生可以用「時鐘」這個工具判定「事件發生的先後順序」,就像能用直尺判定兩物長度的長短之概念。

 

一年級時間報讀的教學結構

  一年級學生學習時鐘的報讀,教材安排的教學結構建議如下:

(1)認識鐘面

  知道鐘面上有數字(1、2、……、12)、刻度(一年級只會大刻度,小刻度可以淡化處理)、長針和短針(一年級教學使用的鐘要有時針和分針,但不要有秒針,當有學生提到秒針時可以淡化處理)。

圖2:國小數學翰林版一上第9單元

 

  教師有時也可以處理日常生活遇到的鐘不一定是圓形,但必須有上述三個要素,缺一不可。不要處理只有時針沒有分針,或者是只有數字3、6、9、12,沒有其他數字的鐘錶。

(2)長短針旋轉的方向

  讓學生知道時針和分針都是從數字小的旋轉走到數字大的,走到數字12後,再接著走到數字1,周而復始的轉。必要時,可以溝通分針從12開始走,經過1、2、……、11,再回到12,稱為分針走一圈。值得注意的是,先不要處理時針和分針旋轉時,如何連動的細節。

(3)幾點與幾點半的報讀

  讓學生認識整點鐘與整點半的報讀,例如:「時針指向數字5,分針指向數字12,稱為5點」、「時針指向數字4和5之間,分針指向數字6,稱為4點半」。此時也必須讓學生知道「1點再過去是2點、2點再過去是3點、……、11點再過去是12點」、「4點半在4點和5點之間」。如此可幫助學生建立時間數列,以利往後的教學。

圖3:國小數學翰林版一上第9單元

 

二年級報讀「幾時幾分」的迷思概念

  一年級只做「幾點」與「幾點半」的報讀,二年級時間的教學重點為報讀「幾點幾分」。二年級學生報讀時鐘時,常會出現一些報讀錯誤的迷思概念,如下:

(1)混淆時針與分針的意義。

(2)超過45分,幾「時」容易弄錯,如:2時55分,學生錯誤報讀為3時55分。應加強學生撥鐘過時的經驗,並注意觀察時針位置的變化。

  為了使學生避免上述的迷思概念,教學時應強調「時針在數字n和數字n+1之間時」是指「n點多」的概念,例如:時針都在鐘面數字8和9之間,就是8點多。進而發現,「時針在數字n和數字n+1之間時,而且靠近n+1」是指「快接近n+1時」的概念。

 

二年級時間的教學要注意什麼?

  低年級對於時間的描述,必須以兩時刻間發生的事件來呈現。由於中文表達時間與時刻的學術用語都使用「時、分、秒」,生活用語則常用「小時、分鐘、秒鐘」來表達時間,用「幾點幾分」來表達時刻。因此,翰林版教材為了便於溝通,均以學術用語來表達時刻、生活用語來表達時間,即「幾時幾分」表達時刻(如圖4左)、「幾小時、幾分鐘」表達時間(如圖4右)。

圖4:國小數學翰林二上第8單元

 

  進行二年級時間教學時,學童計數時間量均以點數時鐘上的「大格」與「小格」數目來計數,而非使用「加減算式」。對於時間的點數,有些學童將點數的對象「大格」誤認為點數數字,而產生多了1小時的迷思概念。例如:從3點到5點經過幾小時,點數「兩時刻間的數字」,從3、4、5回答有3小時。因此,教學時,教師要以明確的動作指出,「大格」與「小格」的計數。

 

  本文從工具量和感官量的差異,說明處理時間教材的脈絡與學生可能的迷思概念,希冀協助學童在低年級就能建立穩固的時間基礎,中、高年級的學習能夠更順利。

 

協助學童數概念發展的理念與活動安排

協助學童數概念發展的理念與活動安排

 

文/游自達(臺中教育大學教育學系副教授)

 

  筆者在「兒童對全數的理解與解題」一文中曾指出,國小低年級數與計算教材所處理的內容大多在於發展新計數單位,並以新的計數單位解決新的問題。「單位與單位化」的活動乃是數與計算教學活動的重要環節。

  低年級兒童藉由一一對應的點數活動,發展出以「一」為單位的數結構(即8是8個一的合成;12是12個一的合成等)。隨著經驗的累積與重組,學童的數概念結構產生變化。透過量的合成與分解活動,學生認識構成某量的不同部分(例如:8可以分成5和3、2和6等;5和3合起來是8,2和6合起來也是8),並認識量的部分整體關係。當合成的結果大於10時,「十幾」的認識活動引導學生從多個「一」的合成,逐步發展出「十」和「一」兩階單位合成的認識。舉例來說,「12」可以是「12的一」、「8個一和4個一的合成」、「8和4個一的合成」或「9和3個一的合成」,也可以是「10和2個一的合成」(兩個以一為單位的量的合成)。透過適當的學習引導,學生將發展出「12」是「10和2的合成」(部分整體的思考)的理解。兒童對於「十」和「一」的兩階單位認識係後續發展二位數的概念與位值理解的基礎。

  基於概念理解與循序發展的考量,教學上需要依據學生的心理發展,結合具體活動、表徵活動、抽象運思活動來提升學生的數概念理解。換句話說,數學概念的教學活動需要以學生生活經驗的初始認識為基礎,透過操作活動的安排和學生的解題表現交互運作來提升學生的理解。教學上透過操作活動、數的各種表徵協助學生製造心像(image making)、擁有心像(image having),進而能關注到數的圖像表徵、符號表徵的同一表徵內、不同表徵間的關係和性質,並逐步形式化,提升其對數的概念理解。

  以翰林版一上第四單元分與合的活動為例,教材從投球進遊戲箱(如圖1)、盒內與盒外物件(如圖2)、一群學生從兩條橋過河(如圖3)、一堆物件分兩手抓握(如圖4)等經驗出發,透過操作活動協助學生發展心像,再結合圖像表徵協助學生覺察量的分與合關係,作為後續以分合關係解決加減法問題的基礎。

圖1:國小數學翰林版一上第4單元

 

圖2:國小數學翰林版一上第4單元 

 

圖3:國小數學翰林版一上第4單元

 

圖4:國小數學翰林版一上學習加油讚(一)

 

  具體來說,本版教材透過分與合的操作經驗,協助學生發展心像;結合分與合的心像引領關注部份量與整體量之間的關係;部份–整體關係的心像與理解作為學生後續解決加數未知、被加數未知,減數未知、被減數未知的問題的基礎。基於生活經驗,建立意義關聯;從體驗感受出發,形成有感經驗;顧及認知發展,循序深化學習乃是本版教材發展的重要理念,也是活動安排的導引方針。

 

兒童對全數的概念理解與解題

兒童對全數的概念理解與解題

 

文/游自達(臺中教育大學教育學系副教授)

 

  兒童植基於日常生活的經驗,自學前階段便透過口頭唱數、點數等活動逐步建立對數詞、數詞序等的認識,並透過一一對應、點數等活動發展對序列、多少、相等(一樣多)的理解,發展出「非正式算術」(informal arithmetic)。

  基於學前階段的經驗,兒童進入國小後,累積點數活動發展對於基數的認識,並使用數詞的次序關係來標示個體的位置及個體間的先後次序關係,由此發展出序數的認識。接著透過量的比較、合成、分解等各式操作活動,逐步發展對全數(whole number,或稱「非負整數」)的理解。量的比較、合成、分解等活動協助學生的全數概念發展,而對全數的不同認識則使得兒童可以更有效、更有效率地解決所遇到的問題。學生的全數概念因經驗的累積和不斷的重構而逐漸複雜化與抽象化。

  兒童對於全數概念的理解可說是在「單位與單位化」的活動下逐步發展。在幼兒及國小低年級階段,兒童透過點數的過程發展全數的概念。在此階段,一個全數是多個「一」的合成(亦即12是12個一的合成)。隨著經驗的累積與重構,兒童逐步發展出新的單位(累多個一構成一個異於一的新單位)。以12為例,兒童不只認知到它是12個一,它也是10和2的合成、一個10和2個一的合成等。隨著經驗的增加,兒童也認知到是12是6個二、4個三、3個四、2個六等。再者,兒童更認識到12也可以是個單位,進而形成1個十二、2個十二、3個十二的理解。如此不斷重構單位並再詮釋的歷程可說是一種單位化(unitizing)的歷程,乃是兒童數概念不斷發展的重要心理活動。新單位的形成讓兒童產生新的解題方式,可以用不同於以往的方式詮釋所面對的問題與解題。整數倍的概念由此逐步發展。

  國小低年級數與計算教材所處理的內容大多在於發展新計數單位,並以新的計數單位解決新的問題。例如:兒童對構成12的單位之掌握不同而有不同的理解,解決相關問題的策略也會有差異。這些不同的結構可摘要如表1。

 

表1:兒童對全數12的不同認識與解題活動

對全數的認識

數的單位

解題活動

數表示圖像或位置。

無法處理量的合成或分解活動。

12是12個一的合成。

以具體物全部數(concrete counting all)策略解決量的合成問題。

12是10又2。

以向上數(counting-on)策略解決量的合成問題。

12是10和2合起來的。

運用部分和整體關係解決量的合成與分解問題(透過加10和加2解決加12的問題)。

3、又3、又3、又3合起來是12。

以累加策略解決等群組的合成問題。

4個三合起來是12。

以倍的語言和乘法解決等群組的合成問題。

 

  綜合而言,「單位與單位化」的活動乃是發展數概念理解和形成新的解題工具不可或缺的一環。數與計算相關概念的教學便在於協助學生發展新單位,使其能以更有效、更有效率的策略解決所碰到的問題。國小階段數與計算的教材需要透過循序漸進的安排,引導兒童重組其數概念,形成新的單位與結構,逐步優化其解題思考與策略。這也是翰林版教材努力的目標。

 

提升學童對乘法啟蒙意義理解的策略

提升學童對乘法啟蒙意義理解的策略

 

文/林原宏(國立臺中教育大學數學教育學系教授)

 

  國小低年級學童學習了加減運算的語意結構和情境意義後,接下來所學習的乘法對學童而言,是另一個新的概念與認知的挑戰。乘法是加法意義轉化後簡記,根據教學實務現場的觀察,總有少部分學童無法將十十乘法熟背,將十十乘法成為事實性知識(fact knowledge),因而影響後續數學計算的學習。以下簡要提出幾項提升學童對乘法啟蒙意義理解的策略。

 

1.形成等組型意義的表徵(representation)和心像(mental imagery)

  乘法啟蒙概念是等組型,所謂「等組」是指「同樣的物件有多組」。例如:

圖1:國小數學翰林版二上第7單元

 

  是指「2(個/盤)的壽司有6盤,共有12個壽司」,也就是「2有6個,共有12個」的意義。當沒有圖示時,學童要能自己表徵成如下,並記錄成「2×6=12」。

  引導學童讀作「二乘以六等於十二」或記誦「二六十二」時,要協助學童形成2×6=12的心像,雖然沒有圖示且沒有畫出○,在腦海中要想像有上述圖1或○,並能默誦累數。等到記誦熟練了而形成事實性知識後,這些表徵和心像也自動內化成為學童的概念,十十乘法也會熟記。

 

2.建立「倍」的語言和概念

  「倍」是生活語言也是重要的數學語言,對於學童而言卻相當抽象。「2×6=12」的剛開始可以是「2有6個,合起來是6」的用語,慢慢地要協助學童提升至「2的6倍是12」的語言,最後形成「倍就是乘」的意義。

 

3.察覺「個數或倍數」差異與乘法關係

  透過個數或倍數差異,可以推算乘法的結果。例如:

圖2:國小數學翰林版二上第7單元

 

  「4×7比4×6多幾個4?是多多少?」,這個布題的提問,是要學童察覺「4有7個比4有6個多幾個4?」,從算式和圖示中都可察覺多了1個4,1個4就是4。所以,已經知道4×6=24,那麼4×7的結果就會多4,所以4×7=28。

  能察覺這樣的差異和乘法關係,可以促進十十乘法的熟練。例如:當學童已並瞭解並能背誦8×5=40、8×6=48,但8×7卻不熟練,此時可以引導學童比較並察覺「8×7和8×5」或「8×7和8×6」的差異和乘法關係,即可瞭解「8×7比8×5多2個8」,或「8×7比8×6多1個8」,即能推算8×7=56。

 

4.善用十十乘法表與乘法交換律

  乘法啟蒙概念是等組型,而在陣列型(如圖3)的語意結構中,可以讓學童瞭解「被乘數與乘數交換,積是一樣」的乘法交換律意義。在十十乘法表中(如圖4),學童也可察覺這樣的意義。學童並不需要知道「乘法交換律」這個名詞,但可以引導學童應用此乘法規律來熟練十十乘法。例如:當學童已瞭解並能背誦5×7=35,但7×5卻不熟練、此時可以引導學童應用前述乘法交換律,即可瞭解「7×5和5×7」的結果相同,所以7×5=35。

圖3:國小數學翰林版二下第5單元

 

圖4:國小數學翰林版二下第5單元

 

  熟練十十乘法是學童日後乘除計算、估商與估數等基礎,而熟練的活動必需建立在有意義的學習(meaningful learning)的基礎上,才能收到記憶保留之效。所以,本文從心像、表徵、關係和規律等心理層面,說明促進學童對乘法啟蒙意義理解的策略,希冀協助學童有意義地熟練十十乘法。

 

提升數學素養的後設認知教學策略

提升數學素養的後設認知教學策略

讓後設認知贏在起跑點,從低年級開始做

 

文/林原宏(國立臺中教育大學數學教育學系教授)

 

一、造訪課綱中的數學素養

  十二年國民基本教育課程即將於108學年度開始實施,而核心素養的課綱內容是這次新課綱的主軸。在總綱和數學領域課綱內容中,我們可以發現和九年一貫課程有一項不同的點,是強調了後設認知(meta-cognition)教與學。因此,本文想先從數學素養的論述,說明數學後設認知的教與學,並從數學課本的實例中來加以闡述。

 

圖1:核心素養的滾動圓輪意象

 

  十二年國民基本教育課程以「核心素養」做為課程發展之主軸,「核心素養」是指一個人為適應現在生活及面對未來挑戰,所應具備的知識、能力與態度。十二年國教課綱以圖1的九大核心素養面向滾動圓輪意象來詮釋核心素養的意涵。所以簡而言之,數學素養是數學的知識、能力與態度在生活中的展現。

  總綱的九大核心素養面向對應至各學習階段的數學領域核心素養具體內涵,以總綱核心素養「A2系統思考與解決問題」為例,其意義是「具備問題理解、思辨分析、推理批判的系統思考與後設思考素養,並能行動與反思,以有效處理及解決生活、生命問題。」。其中,後設思考素養被認為是數學素養的一部分。

 

二、後設認知知識與策略

  在十二年國民基本教育課程綱要總綱裡,有關教學實施的教學模式與策略中,指出「教師應引導學生學習如何學習,包括動機策略、一般性學習策略、學習策略、思考策略,以及後設認知策略等。」(十二年國民基本教育課程綱要總綱,P.33)。同時也指出數學學習重點由「學習表現」和「學習內容」所組成,「學習表現」是以學生為中心,重視認知、情意態度與生活應用的學習展現,代表「非內容」向度,具體展現或呼應核心素養。而「學習內容」涵蓋數學基礎重要的事實、概念、原理原則、技能與後設認知等知識。綜合以上十二年國教課綱的論述以及國內外文獻,都可以看到後設認知是數學素養的成分之一。所謂後設認知後設,是指個人對自己的認知歷程和結果,能進行掌握、監控、支配和評鑑的一種知識和策略。後設認知包含了後設認知知識(knowledge of metacognition)和後設認知策略(strategy of metacognition)兩大部分(Schneider, & Artelt, 2010)。

  後設認知知識可再細分成三種知識:

1.陳述性知識declarative knowledge):

是指知道那是什麼(knowing that)的知識,是對某概念或事實的瞭解。

2.程序性知識procedural knowledge):

是指知道如何去做(knowing how)的知識,是對程序步驟與規則的瞭解。

3.條件性知識conditional knowledge):

是指知道在某些條件下知道何時、為何來做(knowing when and why)的知識,也就是能夠辨認條件來選用策略的知識。

  此外,後設認知策略包括了計畫(planning)、監控(monitoring)、評鑑(evaluating)等策略。

 

三、數學素養中的後設認知和實例

  就數學學習而言,數學後設認知深深影響問題解決的成功以及數學素養的培養(Wilson & Clarke, 2004)。例如,Yore, Pimm, & Tuan(2007)指出後設認知的能力與推理是數學素養的共同元素,Schneider & Artelt(2010)指出學生擁有後設認知知識與策略,能有效促進其數學學習的成效。許多的文獻均指出,學生的數學後設認知策略是可以被教導的,而且應從低年級階段就可以進行。那麼,綜合前述的後設認知策略,有哪些提升學生數學後設認知的有效教學策略呢?臚列數點如下(Montague, Warger, & Morgan, 2000)。

1.監控閱讀理解與轉譯

引導學生自我評鑑(self-evaluation)是否瞭解問題中的內容?可否指出重要的關鍵訊息?利用放聲思考(aloud thinking)來監控並促進瞭解這關鍵訊息所表示的內容和意義。

2.以自己的話語重述題意

藉由老師提問來訓練學生自我提問(self-question),這個問題的意思是什麼?想像自己教自己,用自己的語言把問題的條件和重要內容說出來。

3.視覺化的表徵呈現

協助學童自我教導(self-instruction)用視覺化的圖或表把問題的畫出來,來協助瞭解問題並提出策略;同時也檢核畫出的圖或表是否符合題意。

4.提出解題策略與規劃

協助學生根據題意理解和學過的知識經驗,提出可行的解題策略。決定要怎麼做?先做什麼?再做什麼?要不要調整步驟順序?

5.合理答案的評估

協助學生評估這個答案的大約是多少?依據什麼理由來判斷這個答案大概是多少?

6.進行程序執行或計算

協助學生自我監控(self-monitoring)計算程序和步驟正確嗎?每一步驟計算的結果正確嗎?

7.檢核答案適合性

計算所得的結果是否符合題目求?要如何檢查計算結果是否正確?學會自我調整(self-regulation)策略,利用要其他不同的計算策略或方法,檢核計算和答案結果。

 

  依據十二年國教素養導向課綱精神,以翰林版108年一上數學課本的「10以內的減法」單元中的如下布題為例,是具有提升後設認知的任務設計。所以,善用後設認知教學策略可提升學生的數學素養。

學習任務

  低年級學童的識字量不多且閱讀理解能力尚在培養階段,此問題為拿走型問題的改變量未知問題,是學生較不熟悉的問題。布題設計透過視覺化圖示,教師可透過後設認知教學策略引導,可提升學生彈性思考的數學素養。

 

後設認知教學策略之提問與引導

1.監控閱讀理解與轉譯

請先把題目念出來,這題目問什麼?你可以用什麼方法問題表示出來?

2.以自己的話語重述題意

請你用自己的話把這個問題說說看?其他同學幫忙聽聽看,說出來的內容和題目意思有沒有一樣?

3.視覺化的表徵呈現

請你用畫○表示原來的氣球,指出哪些是沒飛走的氣球?哪些是飛走的氣球?

4.提出解題策略與規劃

題目請你用什麼表示飛走的氣球?要用哪一種計算方法?

5.合理答案的評估

飛走的氣球會比7多嗎?答案大約是多少?

6.進行程序執行或計算

列出的算式要如何算出答案?答案是指哪些氣球?

7.檢核答案適合性

要怎麼知道你的答案是對的?有沒有其他方法可以檢查。

 

四、總結

  後設認知不是新的名詞,但近年來各國素養導向的數學課程改革,都可以看到數學後設認知再度受到重視。在教學現場,常可以聽過學生說:「老師,這題我會算,我只是算錯」。其實解題錯誤的原因之一,往往是因為解題者缺乏後設認知。其次,後設認知被被視為素養的成分之一。相當多的實證研究文獻有證實,低年級階段可以開始透過數學後設認知教學策略,讓學生學會後設認知知識與策略,進而提升數學素養。因此,讓我們宜從低年級開始培養學生數學後設認知,讓後設認知成為數學學習與素養涵育的墊腳石。

 

(本文原刊載於《翰林12年國教課綱期刊》)

 

參考文獻

教育部(2014):十二年國民基本教育課程綱要總綱。臺北市:教育部

Yore, L. D., Pimm, D., & Tuan, H. L. (2007). The literacy component of mathematical and scientific literacy. International Journal of Science and Mathematics Education, 5, 559-589.

Schneider, W., & Artelt, C. (2010). Metacognition and mathematics education. ZDM , 42 (2), 149-161.

Wilson, J., & Clarke, D. (2004). Towards the modelling of mathematical metacognition.

Mathematics Education Research Journal, 16 (2), 25-48.

Montague, M., Warger, C., & Morgan, T. H. (2000). Solve it! Strategy instruction to improve mathematical problem solving. Learning Disabilities Research & Practice, 15 (2), 110-116.

 

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親近數學 可從閱讀繪本開始

親近數學 可從閱讀繪本開始

 

文/鍾靜(國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授)

 

  你對數學的印象是什麼?大部分的人都認為,學數學必須要背很多公式,做很多計算練習,總之,就是為了考試才學習。其實,生活中處處可發現數學的美,例如高鐵、電影院的坐位號碼都有規律可循;用一個公式(底×高÷2=面積)就可以算出大小不同的三角形面積;1×1=1、2×2=4、3×3=9、4×4=16、25、36、49……這些數都稱為正方形數;數學例子還有很多。

  數學可以培養邏輯思考、推理探究、問題解決等能力。不過,數學真的只能透過課本、習作、參考書來學習嗎?事實上,在圖文繪本中,也能看到與數學有關的故事和想法。

 

圖文繪本 充滿數學元素

  很多圖畫故事書含有數學元素,目前坊間出版社已經出版了不同主題的數學繪本。舉例來說:兩個老爹要比誰買的綠豆多,一顆一顆數要花費許多時間,就算村民提供了大大小小的木桶,還是無法解決,那麼,最後他們要怎麼比出來?你收到朋友生日派對的邀請卡,但是門牌號碼其中一個數字不見了,你要怎麼找到派對地點?有隻厲害的小蜘蛛,牠可以猜出客人要買哪種糖果,牠是如何辦到的?企鵝裴利想要一輛滑板車,牠必須花九個蛤蜊才能買到,在籌措的過程,牠經歷到自己賺來的、花掉的、找到的、遺失的、借來的蛤蜊,並從中認識了什麼是負數。生活中有很多用點和線組成的網路圖,從奇線點和偶線點的介紹,可學會一筆畫問題,同時也破解古老的七橋問題。

  讀了這些故事簡介,是不是讓人覺得數學有趣又有用?這類的繪本,很適合從幼兒園到小學高年級的學生逐年閱讀。

 

多重功能 解決數學問題

  在學習數學的過程中,學童會接收到許多抽象的觀念,如果能透過兒童文學把數學的觀念或想法,以故事脈絡及圖片呈現,用更多學童熟知的語言來表達,就更能讓學童感受到數學真實存在生活裡。

  數學繪本能有效提升、擴展抽象的數學概念,從閱讀中增進學童的觀察、預測、應用、表達及評斷等能力,同時提供有意義的學習脈絡,有助了解數學概念,加強數學溝通能力,並鼓勵他們成為數學問題的解決者,提升解題的自信心。

  數學繪本透過不同的生活事件來引導學習某個數學概念,也可將數學概念連結兒童的生活經驗。數學繪本充分展現生活的應用和關聯,提供數學的思維和視野,它可用來培養學童的數學素養。因此,數學繪本是:

1. 具有親和力且輕鬆的數學教材;

2. 加強數學概念溝通討論的工具;

3. 連結數學概念和生活情境的教材;

4. 提供傾聽、寫作及討論數學概念的機會;

5. 在有意義的情境中運用數學知識;

6. 改變學童對數學的看法;

7. 擴展學童的數學知識。

 

故事情境 探索數學內涵

  相較於一般數學文字題,數學繪本的故事情境更易於操作,使親師改變數學的難度及傳達方式。

  對年幼的孩子可採大聲朗讀的方式,從故事的人、事、時、地、物來討論;對中年級的學童可用共讀或輪讀的方式,討論故事中發現的數學概念,故事能怎麼繼續發展,並確認數學的概念、過程與類型。

 

 

  至於高年級的學童,可鼓勵他們獨自或在小團體中閱讀,說明從故事裡學到哪些數學概念,並反思故事的目的、結果與過程,將所學應用於專題報告與創意活動中。故事的結局也可以是開放的,允許學生繼續建構故事線,以便發展符合他們自身情境的數學問題。甚至可假想情境改變,故事的走向又會如何轉變等。

  根據筆者的研究,親師在指導學童閱讀數學繪本時,最常用的閱讀理解策略是「解釋閱讀材料提出理由支持」,其次是「比較自己的經驗」,以及「歸納和推論」。而數學解題策略的分布較平均,前三者是「模擬與操作」、「歸納或演繹」和「猜測與嘗試」,低年級也重「尋找樣式或規律」。不管使用哪種策略,學童透過閱讀數學繪本,都能慢慢親近、理解數學。

 

(本文原刊載於《國語日報》2018年10月17日13版)

 

寫下數學想法 提升思考與表達

寫下數學想法 提升思考與表達

 

文/鍾靜(國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授)

 

  學童的數學學習,究竟是概念比較重要,還是熟練比較重要?因為知識形成的過程是經驗、理解、內化、自動化,所以一般人通常先理解概念,再經由練習到熟練;但也有學者認為熟能生巧,可透過多練習而習得概念。

 

學習數學 概念與熟練並重

  現代的學習並不鼓勵「死背硬記」,但在追求創意之際,還是要具備基本能力。因此,不要輕忽熟練,而只強調概念,熟練和概念一樣重要。以學習九九乘法的4×3=12為例:學童的舊經驗和自發性解題是4+4+4=12,經由察覺「4有3個」;教師再引導語意,將之轉化為「4的3倍」;進而理解乘法公式,再透過解決4×4=16、4×5=20等問題而熟練。如果只有死背九九乘法公式,一般的學童並無法從8×9=72和72+8=80兩算式,推理得知8×10=80。

  國際越來越重視推理、解題、溝通、連結、表徵的數學能力;九年一貫和十二年國教數學領域課程,也重視察覺、轉化、溝通、解題、評析的內部和外部連結能力。因此,從數學學習角度來看,提升學童思考力和表達力是這些數學能力的基本核心。

 

 

教學本質 重知識形成過程

  數學教學的本質是思維的過程,本應讓學童參與知識形成過程;尤其在國小階段,學童的數學知識是從具體活動到抽象化。具體活動不只是教具操作,還包括圖示或算式的自發性解題表徵,例如:一排畫4個○、畫3排,或是4+4+4=12,經由察覺、轉化、推理等思考活動,形成抽象的4×3=12乘法算式,並能與人溝通4代表什麼,3代表什麼,以及12的意義。接下來,學童即能評析4×3=12及3×4=12的不同意義,也可從解應用題連結到擬文字題。

  這些經由語言、文字來說明想法的活動,可帶領學童思考和表達,進行有意義的數學學習。等到學童理解乘法概念,再熟悉十十乘法算式後,基本乘法就可成為學生解複雜數學問題的工具。數學學習是這樣逐步發展的。

 

強化思考 擴展建構反應題

  現在的國中會考,數學考非選題兩題,在會考網站上說明非選題是建構反應題;臺北市五年級上學期的基本學力檢測普測含建構反應題兩題,新北市五年級下學期的基本學力檢測普測含非選題兩題。非選題雖然可以是開放型問題,但要評量學童對數學知能的理解和應用,國際的大型測驗,包括「美國國家教育進展評測」(NAEP)和「國際數學與科學成就趨勢調查」(TIMSS)都是以建構反應題來了解學童溝通、推理和連結的能力。

  另外,「國際學生評量方案」(PISA)的數學素養測驗是針對完成國民教育且滿十五足歲者,了解學生是否能在情境脈絡中使用數學,成為問題的解決者;學生需要將真實世界和數學世界相互連結,藉由轉化、解題的數學歷程,形成數學建模循環。因此,在強調數學素養評量的風潮下,國小階段更適合「擴展式建構反應題」來評量;它可以幫助學童深層思考,學童必須整合自己的知識內容,以文字或圖表等方式,呈現解題思考過程。教師進行數學課室形成性評量,可以從學童解題和同儕討論的過程來確認、延伸、綜合學童的數學知能,並能強化其思考力,也有助於提升表達力。

 

數學寫作 培養學童表達力

  學童的數學表達力,包含口語的發表、討論和溝通,也包括文字的說明和寫作。建構反應題屬於非例行問題,通常會請學童寫出或畫出他的解題想法、判斷理由等,為了有效掌握課堂進度,不建議使用與教學內容無關或大型的題目,藉由錯誤例的概念修補、正確例的多元分享,才能讓小型任務形成性評量的學生反應和教師回饋聚焦。

  如果想培養學童對所學的數學內容有結構性的整理和反思,對學習數學過程有情感性的感受和啟發,甚至體驗到數學在生活上的關係和應用,就可鼓勵學童撰寫數學小日記。

  數學小日記可以從幾句話開始,或是以圖配文;撰寫的內容包含從數學課學到什麼、在數學課的發現、學習單元的困難、容易出錯的地方、不懂的地方、想問的問題、數學內容和生活的關聯等。透過這種不一樣的數學作業,可以加深學童對所學內容的印象,也可加廣學童對所學知能的應用。

 

(本文原刊載於《國語日報》2018年10月17日13版)

 

數學課重討論 需時長但成效大

數學課重討論 需時長但成效大

 

文/鍾靜(國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授)

 

  現代教育思潮強調由教師為中心,轉成以學生為中心的教學。教師為中心的講述式教學雖有優點,但缺乏師生和同儕間的互動,無法培養學生主動思考和自發學習。學生為中心的討論式教學雖然被重視,但教學時間有限、低成就學生不會發表、學生不擅提問等現象,如何實施有效能的討論,成為教學者的重要課題。

  十二年國教課程綱要強調核心素養,數學領域更重視數學素養,且現在盛行的學習共同體、合作學習、探究教學都是以討論為核心。因此,本文將從建構學習與鷹架學習、理想課室樣貌與有效討論兩方面,進行分析和探討。

 

教師引導與提問 助學生建構學習

  數學學習重視概念的認知發展,除了數學知識本身具有系統性和結構性外,學生在新概念的學習上,會受到近側發展區的影響。學生在近側發展區較能參與學習,讓學習穩固;而和稍高成就的同儕互動討論,也會促進學生的學習發展。所以,近二十年的教學趨勢非常強調學生的建構學習。

  早年曾有建構數學、建構教學的說法,其實正確的說法應該是「建構導向數學教學」。建構主義是學習理論,不是教學理論,建構是指學生在學習概念時,從不明白到清楚,從粗糙到精緻的逐步形成過程。對應學習面的建構理論,教學面就是鷹架理論。教師除了要扮演稍高成就的同儕以參與學生的討論之外,還應根據學生的學習軌跡進行提問或追問,協助學生往教學目標邁進。

 

乘法從加法引導 將解法由繁化簡

  很多人對建構導向數學教學有所誤解,認為是把數學的學習化簡為繁,例如九九乘法要從加法教起,實則是從兒童解法提升到專家解法,將解法由繁化簡。

  通常,學生首次接觸乘法情境問題,如「一隻青蛙4條腿,3隻青蛙幾條腿?」時,他們的舊經驗會透過具體物、畫圈、數字等具體操作活動表徵題意,經過溝通和討論會出現如算式一(4+4+4=12)的加法共識。這時教師的關鍵提問是「你怎麼知道有三隻青蛙?」學生大多會指出「一個4是一隻青蛙」,並回答「4有3個」或「3個4」。

 

 

  乘法教學最重要之處,是由教師指導並協助學生將「4有3個」的語意,轉換為「4的3倍」。這對學生而言,不是一兩題就能夠學會,而是要在不同情境、不同數字間建立模型或基模,才能發展相關概念的認知學習。學生有「4的3倍」這樣的概念,教師就可以引進乘法,如算式二(4×3=12),學生是從解題中學會乘法算式的。

  提醒親師,學生應該先有概念再求熟背;而認識近側發展區者,也都知道熟背是需要時間才能成熟。因此,當學生還沒有全部熟背九九乘法表時,親師應允許學生在使用乘法表述問題時,可用加法來解題。以上這一連串乘法概念的發展和提升,充分說明了學生的建構學習、教師的鷹架教學,兩者間的交互作用,以及學生的認知發展。

 

與同儕互動討論 學習保存率更高

  根據學習金字塔理論,學習者在兩週以後還記得的學習內容,聽教師講述者只剩百分之五,閱讀的保存率為百分之十,透過視聽的效果為百分之二十,就算有示範或展示也只有百分之三十,但經過小組討論可記住百分之五十,透過做中學或實際演練可達到百分之七十五,在金字塔底部的學習方式是教別人或馬上應用,其成效為百分之九十。這也與訊息溝通理論相呼應,學生接收上位者教師的訊息只能記住兩成到三成,但接收平行者學生的訊息卻能記住八成到九成。

  可見學生需要主動學習和參與,且學生能和同儕互動討論或教導他人,其本身就必須透過個體思維,將內容轉化為別人能理解的表達方式;在這同時,也提升了學生潛在智能的發展。數學課室應是共同學習的社群,透過小組或全班討論,進行新概念或複雜問題的探究,培養學生思考、推理、溝通等能力。初期側重心理性層面勇於發言的引導,中期則重視社會性層面合作討論的培養,後期著重科學性層面推理辯證的厚實。總之,數學課室討論文化的建立,雖然需要時間累積,但成效將加倍呈現。

  建構導向數學教學中,九九乘法應從加法引導,教師透過提問引導學生,助學生建立相關概念,讓數學解法由繁化簡。

 

(本文原刊載於《國語日報》2019年3月27日13版)