分類：小數-教師充電站

從長條圖開始　理解統計圖差異

文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）

　　統計圖是統計概念的學習核心，在國小階段從八十二年課綱開始，只教長條圖、折線圖、圓形圖；早年的課程會出現直方圖。要引入統計圖的教學，需要先讓學童有需求感。通常，當統計表的項目較多，數字很大，不易看出各個項目之間的差異或比較，教師就可引入該統計表的長條圖，讓學童感受統計圖的優點，它很容易掌握各項目之間的差距、比例和關係等。

　　長條圖的學習可以從圖案累計的長條圖開始，它是以各類別的圖案，按數量堆疊成長條，通常在縱軸對應圖案數量標出1、2、3……，橫軸標出各個類別的名稱。當圖案長條圖的數量變多，就需引入正式的長條圖，特別要引導學童認識數量軸上的間距和刻度，它和數線的概念相似，且間距可能是1、2、5、10、100或1000等。本文著重討論長條圖和其他統計圖的不同之處及教學重點，通常長條圖的數量軸可以放在縱軸或橫軸，但為方便討論一律以縱軸來稱數量軸。

 

直方圖強調連續性資料

　　長條圖的特點在長條的高度和數量成比例，很容易看到哪一個項目或類別最多、最少，彼此之間的差距、比例等，而且各項目是類別資料，可以更動順序，不會影響長條圖中各項目之間的關係。長條可以是瘦形、胖形，也可以是柱狀；當長條使用胖形，而且一條接一條，看起來很像直方圖，但它還是長條圖。分辨直方圖、類直方圖（長條圖），不能只看形狀，要從資料的性質來判斷；若是沒有順序性的類別資料，它就是長條圖；若是有連續性的資料，分成數組，例如：0到10、10到20、20到30……90到100，通常會約定0、10、20……90屬於該組，它就是直方圖，因資料的處理方式，讓長條連在一起。直方圖的特點不是在高度，而是當資料很多、組距很小，這相連長條的頂端會形成曲線，就是這組資料的分布狀況，直方圖是討論曲線下面積的密度。所以，直方圖國小不教，到國中才教。

 

折線圖掌握資料變化

　　在長條圖上，以長條頂端中點做連線，會形成折線圖；但由它來看資料變化的意義不大，因為類別資料之間不大需要看資料的變動和趨勢。通常當資料有時序性，例如：1月、2月……12月；或順序性，例如：1到9分、10到19分……90到99分、100分，都是適合以折線圖來表現資料的訊息。但類順序的類別資料，例如：四年1班、四年2班……四年6班，它只是標籤數的概念，不論針對什麼資料，都沒有探討不同班別間資料變化或變動的必要。折線圖的特點是掌握資料在不同時間、不同分數上的變化和趨勢，國小階段不以探討未來趨勢為主。雖然可將折線圖轉成長條圖，但長條圖是以資料量的高度來表現，而折線圖適合看資料在不同時序或順序上的變動；通常國小階段會以資料的屬性，指導學童認識長條圖或折線圖的適用狀況。

 

圓形圖分析占比

　　長條圖的數量軸，不必然只能用數字和單位表示，也可以用%；而圓形圖中的各扇形，除了標註%外，當然也可只寫數量。圓形圖和長條圖最大的差別，在於整體量和部分量的關係；整個圓代表整體量1，按比例分割出的扇形代表部分量，扇形大小或%就是部分量和整體量的比率。通常，國小階段會先教圓形百分圖或稱百分圓形圖，它是銜接百分率的教材；教師應先提供圓周上有100等分的圓形百分圖，學童可從百分之多少來畫出扇形。初步建立圓形百分圖概念，總量都會是100的倍數或是20、25、50，使%容易處理；隨著%的數值出現要取概數時，有時總和不到或超過100%還是要從最大部分量微調。接著，當學童感覺處理%很複雜，教師就可引入有二分之一、三分之一、六分之一圓的圓形百分圖，讓學童觀察它們和圓心角360度的關連，進而引導學童利用圓心角的比率，來處理部分量資料，形成圓形圖中的扇形。

　　學童認識這些統計圖後，首先學習「報讀」，藉由表名、縱軸和橫軸的訊息，及呈現的圖，看見什麼就說什麼，也可做直接的比較和計算；接著「解讀」進行簡單的分析和推論；最後才學習在空白格線製作統計圖，學童要能寫出表名、決定縱軸和橫軸等。通常國小生畢業前，從收集資料開始，到製作適合資料的統計圖，這就是數學素養的統整活動。

（本文原刊載於《國語日報》2023年02月28日13版）

統計表教學　先掌握關鍵概念

文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）

　　生活中的報章雜誌，常會利用一些圖表來傳達訊息，讓讀者可以清楚的掌握報導內容重點。統計圖、統計表教學在國小相較數與計算，占的分量不多，但都很重要。

　　國小統計圖、統計表教學的重點，通常可以分為資料收集、分類與整理、報讀與解讀、製作圖表；因此，國小階段的統計課程，主要包含「統計表」及「統計圖」兩大部分。

　　一般而言，國小的統計學習內容，低年級從簡單的分類和呈現分類的結果開始，包括能對於給定的物品或生活中的事件進行初步分類，並做簡單的呈現與說明等；三年級是認識、報讀與製作一維表格與二維表格；中、高年級是認識、報讀與製作長條圖、折線圖、圓形圖，並據以解釋或解讀。本文將以統計表部分，探討教學中較易被忽略的概念。

 

資料先分類再計數

　　學童首先遇到的統計概念學習，就是「分類與整理」。這些材料在課本上往往是以靜態呈現，課本通常將一堆混合放置的物件，例如：花瓶裡有六朵紅花、五朵白花、八朵黃花，直接列出統計表，讓學生填數量；如果統計表中的類別是空白較好，因為學童要觀察花有哪幾種顏色。

　　親師應指導學生先進行分類活動，再按分類點數。因為學童是初次學習，課本可能會做示例，將已分類的名稱寫在統計表中；若直接請學童按類別點數，例如：紅花有幾朵？白花有幾朵？黃花有幾朵？沒有先就混合放置的物件討論如何分類，這只是「數數」教學，不是「統計」概念的教學。

　　花瓶例的分類屬性只有顏色，教師可在學童已有分類與整理的經驗後，再提供顏色、形狀、大小不同的花片，讓學童自己決定用什麼屬性來分類並數數，體驗不同且多元的解題結果。

 

動態情境才需畫記

　　學習統計的概念中，計數資料的「畫記」，在某些情況下是必要出現的，所以學童要學習「正」、「四豎一橫」的畫記方式。學童最常見的就是選舉時的唱票和計票，國小的畫記教學以「正」為主。

　　如以本文第一小節的花瓶例、花片例來看，都沒有畫記需求的情境，因為它們是靜態、總量一起呈現的。

　　在教室中的選舉，若將學童喜歡的運動項目寫在黑板，然後讓學童按項目選擇一項舉手，這就沒有畫記的必要；若用投票來處理，先將選票按分類整理，再分別計數，這也沒有畫記的需求；除非在動態的情境下逐一開票，才有畫記的需要。

　　下課十分鐘的教室門口，對經過的戴眼鏡男生、女生，還有不戴眼鏡男生、女生進行畫記，就是很不錯的教學情境，它不但是動態的，總量也不知道。如果學童在有項目、有數量的統計表上，只按數量畫記，其實是數字符號和圖像表徵的對應，它只是「數數」教學，不是「統計」教學。

 

學習製作二維表格

　　十二年國教數學領域課綱，統計學習內容「D-3-1一維表格和二維表格：以操作活動為主。報讀、說明與製作生活中的表格。二維表格含列聯表。」這是學童正式學習統計表的指標，有關「列聯表」則是新增的內容。學童在生活中，常有機會看到一維表格，例如：某電視臺節目表、飲料店價目表，它只需依序報讀即可；而二維表格，例如：日課表、火車時刻表，它必須從橫軸和縱軸項目交叉來看資訊。

　　若將本文下課十分鐘畫記結果做成統計表，它就會是男女性別、戴眼鏡是否的二維表格；再進一步在橫向小計戴眼鏡、不戴眼鏡的人數，在縱向小計男生、女生的人數，最後做出總計就是全部的人數——這個二維表格就是列聯表。

　　列聯表一定是二維表格，但二維表格不一定是列聯表；通常，同一集合的資料，用兩種屬性來分類，就會形成2×2、2×3、3×2……的二維表格，再從縱向、橫向小計，最後總計到相同數字，它就是列聯表的特點。

　　統計表和統計圖，都是將需要分類才易掌握群體內容的資料做彙整。統計表是以數字呈現，只能看出不同項目的數量，它一般是一到三年級的教材，因為學生較年幼，通常著重在資料的分類、整理、報讀。

　　統計圖則是以圖像呈現，從視覺上掌握資料，但不同的統計圖有不同的特性，筆者將於下篇文章做深入的探討。

（本文原刊載於《國語日報》2023年02月21日13版）

數學核心的校訂課程設計〈高年級篇〉

學生為中心 營造思考與討論空間

文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）

　　校訂課程是「一○八課綱」針對彈性學習課程所規範的，它的節數，低年級是二至四節，中年級是三至六節，高年級是四至七節。因為很多縣市有資訊課程、英語文課程的考量，導致學校研發校訂課程的空間變小，使得大多數學校高年級才有稍多彈性學習的節數，可用來研發以數學為核心的校訂課程。

　　高年級校訂課程從一一二學年度開始實施，基於高年級的數學領域部定課程只有四節，若能增加延伸、擴展相關課程一節，必定能對學生的數學概念或應用的學習大有助益。本文是全校篇的續篇，作者藉指導兩校的經驗，分享高年級以數學為核心的校訂課程設計，並談談數學素養導向的統整性校訂課程。

 

案例1 北市西湖國小 西湖得來速課程

　　西湖國小高年級的「得來速」課程，以一單元一建構反應題為數學校訂課程的主軸，實施「先評量、後討論」活動，再增加每學期兩本數學繪本的二至三節閱讀和討論教學。建構反應題是參考臺北市、新北市學力檢測的非選題，這些試題以五年級適用較多，六年級甚少，所以除了有一些直接引用外，不少試題是修編或自編；現階段以每單元研發一題，未來可逐步增加每單元的試題，供教師選用。數學繪本則以學校圖書館的書籍先選用，因高年級配合單元內容適用的繪本有限，未來可調整。

　　建構反應題「先評量、後討論」，在教師引導下，透過同儕間的分享和討論，可將錯誤例（0分或1分類型）的概念穩固或修補，正確例（2分類型）的不同做法進行多元分享，以及從正確例評析中，感受到優良例解題的推理和思考。經過這過程和內容，可提升學生數學的思維和生活的應用等能力。教師不宜將評量題直接教學或當作回家作業，以免錯失了解學生學習後的確實表現；若有評量試題外流，爾後再使用可能會不客觀。

 

案例2 北市國語實小 玩轉生活家課程

　　國語實小高年級的「玩轉生活家」課程，以探究數學、動手數學、生活數學三股，分別強調概念穩固、心像建立、跨域統整，以形成數學為主軸的校訂課程。每股課程有三個內容，每個內容安排兩節課，所以每學期實施十八節課。探究數學是以Chapman四階段探究模式設計，需緊扣單元教學實施，它可能是單元的第一節、中間節或最後一節；每學期有五個教學活動，教師可以選三個實施。動手數學有兩類，一類是桌遊，一類是教具操作，每學期配合教學內容各設計兩個教學活動，教師可以選三個實施；這些活動都有建議的教學時機。生活數學則採跨領域主題式，每個主題有三個相關的小主題，利用校園及校園四周情境，進行生活中數學的實作和探討。

　　該校的數學領域小組透過探究教學的專業成長過程，並在一些班級實作後修正教案，使得這次研發數學相關校訂課程有很好的基礎。生活數學跨領域的內容，有校園路線通（含中正紀念堂）、圓柱魔術師、寸土寸金、校園安全小偵探四個學期的主題；今年具體研發每學期三個小主題，各兩節課的教學內容。動手數學今年才開始設計，不論桌遊或教具操作除考慮和教學相關外，還同步準備一個班級使用的分量；特別是校訂課程的教具操作，不宜和數學單元教學應操作的內容重複，必須設計相關且延伸的內容。這套校訂課程會在一一一學年試行，並進行滾動式修正。

 

數學素養導向 統整性校訂課程

　　我曾在本專欄，撰寫〈素養導向教學，如何落實於國小數學？〉（2020.10.02）一文，指出數學素養有「數學的思維」、「生活的應用」兩類重要成分，探究教學對前者、數學繪本對後者有最佳的養成功效，且因生活選材、數學內容使得兩類成分都會觸及。在〈建構反應題有效評量國小數學素養〉（2020.10.09）一文，說明建構反應題在臺北市、新北市基本學力檢測現身多年，可將其視為小型任務進行形成性評量，實施「先評量、後討論」活動，這也是數學素養導向評量和教學的整合。

　　綜觀北市劍潭國小、新竹私校、北市武功國小的全校性課程，以及北市西湖國小、北市國語實小高年級的數學核心校訂課程，大家都考慮和生活關聯的數學來設計，除探究教學、數學繪本、建構反應題外，各校設計的數學步道、生活數學、動手數學等，也是培養數學素養的好素材。這些校訂課程的實施，要營造學生有思考、分享、討論的空間，落實以學生為中心的數學教學。

（本文原刊載於《國語日報》2022年09月28日13版）

數學核心的校訂課程設計〈全校推動篇〉

文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）

　　十二年國民基本教育課程總綱與各領綱，於一○八年八月上路，因此又稱「一○八課綱」，課程類型分為部定課程、校訂課程兩類，校訂課程由學校安排，以形塑學校教育願景及強化學生適性發展，並落實學校本位及特色課程。校訂課程是彈性學習課程，它是以跨領域／科目或結合各項議題，發展「統整性主題／專題／議題探究課程」，強化知能整合與生活運用能力；也可以社團活動與技藝課程、特殊需求領域課程、其他類課程等設計。

　　本文將針對「統整性的探究型課程」此項，來談談以數學為核心的全校性校訂課程。我藉多年參與指導的三校，分享它們以數學為軸線的校訂課程設計；校訂課程能研發成功的重要成分：研發團隊、領頭羊、行政支持，這三者缺一不可外，還需有明確的課程目標，教授的指導只有畫龍點睛之效。

 

案例1 北市劍潭國小 邏輯推理課程

　　劍潭國小的「邏輯推理」課程包括數量推理、幾何推理、關係推理、統計推理四種內容，課程節數：低年級、中年級每兩週一節，高年級每週一節。這些教材以遊戲任務、繪本情境、建構反應題、引概活動、校園步道、生活情境六類來設計；前兩類是情境問題化，中間兩類是問題概念化，後兩類是概念應用化。除建構反應題是全校均有外，遊戲任務是低年級，繪本情境是低、中年級，引概活動是中、高年級，校園步道也是中、高年級，生活情境只有高年級使用。每個年段只設計適用的三或四類教材，低、中年級每學期約七個、高年級約十四個教學活動。

　　劍潭國小的校訂課程是透過遊戲任務加強學生數學概念的熟練，繪本情境選用不同概念的數學繪本進行討論，建構反應題採引用或修編，並實施「先評量、後討論」活動；引概活動是自編或修編的類奠基活動，校園步道是利用校園環境進行數學解題策略探討，生活情境是生活中的數學解題應用探討。該校以「邏輯推理讓學習更SMART」，曾獲教育部一○九年教學卓越銀質獎。

 

案例2 新竹私校 一單元一探究課程

　　新竹私校的「一單元一探究」課程是將數學為核心的校訂課程，融入數學領域部定課程中實施；低年級數學課每週排四節，中高年級五節，校訂課程配合單元教學實施。探究和實作是十二年國教課程很重視的素養能力，學生為中心的探究教學是以Chapman四階段探究模式，設計一個有生活情境的主探究問題，在一節課中透過引入階段、探索與討論階段、分享階段、結論階段來進行。探究教學可以是概念型、程序型、推理型探究，在一個單元中可能是在第一節、中間節或最後一節實施；通常在第一節是新概念的探索，在中間節是某概念的深究，在最後一節是某概念的延伸應用，它也可以從實作中入手。

　　此探究教學與課本題進行解題、發表和討論的一般探究有很大差別，它除有一內涵厚實的主探究問題外，在每一階段都需有教師的關鍵提問，該關鍵提問不是引導學生解題，而是促使學生在解題中加深、加廣相關數學概念的主動發現和產出；在透過個生獨思、小組討論、全班討論中，培養學生自主學習和溝通辯證的能力。

 

案例3 北市武功國小 生活思維課程

　　武功國小的「生活思維」課程以數學繪本、數學步道為主要內容，每學期低、中、高年級分別使用數學繪本四本、四本、兩本，設計數學步道各兩個，還有高年級增加生活數學兩個，也就是每學期各年級有六個校訂課程內容，每個教學活動實施二至三節課。課程節數：低年級每兩週一節、中年級採融入部定課程節數、高年級每週一節。數學繪本和生活數學教學是在室內，數學步道教學是在室外進行的活動，三者都非常強調學生同儕間的發表和討論。

　　數學繪本教學以坊間不同情境和主題的繪本，作為素材；數學步道教學以校園中不同場景設計，讓學生從一至六年級都有探索數學的新鮮感；生活數學是利用生活情境中的數學，進行解題應用的探討。

 

總結

　　這三所學校以數學為核心的校訂課程，都是該校校訂課程中的一條軸線，不同的學校從不同的角度設計課程，因為選材以生活情境出發，很容易達成跨領域或議題的學習，但都能在部定課程學習外，提供更豐富的數學內容和探索。

　　從這些全校性校訂課程來看，高年級都能每週安排一節課，所以很多學校就以此考慮數學相關校訂課程，下回將介紹下篇〈高年級篇〉。

（本文原刊載於《國語日報》2022年09月21日13版）

園遊會出題 活用數學解答

文／黃琡懿（臺北市文山區武功國小教師）

　　校園舉辦園遊會，六年級負責拍賣二手物、販賣點心，學生從準備及銷售過程，認識了經濟學的基本概念。

 

認識成本與定價

　　數學題目偶爾會出現「成本收益」敘述，對於什麼是成本？普遍學生的概念是模糊的。藉由園遊會的事前準備，學生了解到：成本除了包含購買點心的金錢，用來包裝的袋子、細鐵絲也都屬於成本。

　　學生身為賣家，自然希望高價出售多賺些錢；但有人提出，價格便宜才能吸引客人購買。教師利用折線圖呈現買賣不同觀點，學生透過圖中線段了解：賣家希望定價越高越好，買家希望越低越好，兩者交會點就是最適當的價格。

　　學生嘗試做不同分量包裝時發現：東西裝得多，成本過高，定價不低；裝得少，看起來沒有吸引力。最後全班決定每袋重量，再計算出一袋的成本，依此定價。學生說：「定價高低會隨成本改變。如果想賣便宜一點，就得設法降低成本。」

 

拍賣加抽獎促銷

　　討論拍賣時，有人提議：「最後時段，如果東西沒賣完，可以降價出清。」該降多少才不會低於成本？學生逐項討論特價方式：買二送一的成本是多少？三件四十元能打平嗎？學生都認同事先擬好拍賣策略，才不會虧錢。

　　又有學生說：「可以像商店一樣辦抽獎活動促銷，一次買三件就可抽獎。」要準備幾支籤？學生以「顧客都買三件」推算出需要六十支籤。教師贊助十五個獎品，學生運用所學過的比率計算得知中獎率為百分之二十五。

　　園遊會前一天，宣傳組的同學們到各班宣傳。學生說：「商品不是擺著就好，要主動出擊，推銷攤位商品有多好。」另一位學生則認為不能強迫推銷，要尊重客人的意願。

　　園遊會結束，計算總收入，減去成本得知盈餘，最後比較每個商品的收益百分比，獲得「販賣棉花糖利潤最高」的結論。

　　一場園遊會攤位，學生從採買、包裝、定價、銷售、檢核收支全程參與，收穫滿滿。學生說：「原來商人考量很多面向，下次購物時，我就知道哪些是促銷手法，會當個聰明的消費者。」

　　在實際活動中，學生活用數學，同時印證了經濟學概念。

兩步驟問題　須從理解題意入手

文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）

　　國小學生從一年級開始學習單步驟的加、減問題，到二年級學乘法問題，三年級學除法問題，就會開始慢慢接觸不併式的兩步驟問題。

　　兩步驟問題是指用到兩個「＋、－、×、÷」運算符號來列式或解題，可以分成加與減、乘與加減、除與加減、乘與除四大類型；學生到四年級上學期學習兩步驟問題解題記錄的併式，都不會涉及四則運算的三個重要規則：

一、有括號的先算；二、先乘除，後加減；三、由左算到右。

　　學生學習將解題記錄併式時，教師會以「先算的加括號」來教學，很多學生會說口訣，但仍不會併式。通常，教學會從有文字的情境題入手，讓學生了解運算符號和順序；若學生在一步驟問題沒有習慣好好閱讀題意，只用關鍵字解題，例如共就是「＋」，剩下就是「－」，分就是「÷」等；或學到一些解題撇步，例如：減就是大減小，兩個數單位不一樣又問共就是「×」，除是大除以小等，會不利於兩步驟問題的學習。

　　本篇將談學生學習不併式兩步驟問題的三個階段，以及從不併式到併式的教學重點；但不全以時間序來探討。

 

加減類型兩步驟問題

　　加減類型兩步驟問題有連加、連減、先加再減、先減再加；用例子來說明同類型還有差異。

　　例題一：小美收集了13個空寶特瓶，拿了10個去資源回收，哥哥又給他2個，小美現在有幾個空寶特瓶？

　　例題二：操場上有13個小朋友在跳繩，其中有10個男生，後來有2個女生也來跳繩，現在有幾個女生在跳繩？

　　這兩個例題都可以先算13－10＝3，再算3＋2＝5，但例題一從語意上很明顯看出事件發生的先後順序，例題二對學生而言就困難不少。例題二的先算部分，是隱藏在加法的進階題型10＋（　）＝13中，學生要了解「其中」有部分——整體的關係，才會用13－10＝3來算。

　　這兩題，若有學生先算13＋2＝15，再算15－10＝5也是可以，他們是想先知道總量，再算剩下或其餘的量。

　　尚未併式的兩步驟教學，不論學生先算什麼、再算什麼，教師不宜只關心列式和答案，應該要讓學生多從「理解題意」中，來說明算式和題意的關連，以及其代表的意義。

　　到兩步驟併式教學，學生可從舊經驗列出：先算13－10＝3，再算3＋2＝5，教師確認學生都能溝通算式代表的意義後，接著要問學生題目中沒有3，3代表什麼？3怎麼來的？教師再引導可以用算式13－10取代3，並配合「先算的加括號」，所以3＋2＝5就會變成（13－10）＋2＝5；教師教併式以「誰取代誰」外，還要讓學生在併式記錄上，能配合題意說明先算什麼，再算什麼。

　　隨著這類題目的教學與練習，學生應可掌握連加、連減、加減混合兩步驟問題的不併式的解題，以及解題記錄的併式學習。

 

乘法類型兩步驟問題

　　當學生學過乘法後，就會進入乘與加減類型的教學，它們的題型相較加與減類型複雜很多，併式前的解題與併式的舉例，整體可分成兩大類。

　　例一～例三是「先算乘再算加／減」。

　　例一：先算14×6＝84，再算84＋5＝89，併式是（14×6）＋5＝89。

　　例二：先算14×6＝84，再算84－5＝79，併式是（14×6）－5＝79。

　　例三：先算14×6＝84，再算100－84＝16，併式是100－（14×6）＝16。

　　例四、例五是「先算加／減再算乘」。

　　例四：先算3＋7＝10，再算10×6＝60，併式是（3＋7）×6＝60。

　　例五：先算10－3＝7，再算7×6＝42，併式是（10－3）×6＝42。

　　學生要先「理解題意」，才能充分掌握先算的是＋、－或×，再算的是×或＋、－，學生無法只憑藉關鍵字來解題；再觀察題目中沒有的數是怎麼來的，進行「誰取代誰」，才能完成併式。

 

除法類型兩步驟問題

　　學生學過除法後，就會進入除與加減類型的教學，一樣是「先算除再算加／減」，或是「先算加／減再算除」的兩大類；也會學習乘和除類型，這類型通常有連乘、連除、乘除混合的題型。

　　這些除與加減、乘與除的兩步驟問題教學，未涉及併式時，須同加與減、乘與加減類型的教學一樣，從「理解題意」入手，從重要訊息決定先算什麼，再算什麼。

　　涉及併式的教學，還是須從先算、後算的算式中，找到題目中沒有的數，這數也是先算的結果，會在後算的算式中出現；透過「誰取代誰」的動態歷程及「先算的加括號」就能完成併式。

　　一般教材設計會靜態呈現「誰取代誰」的表徵，但教學可以更動態呈現「替換」的歷程，加上教師引導題意和算式中每個數的關連，可助學生減少併式學習困難。

多步驟問題　考量運算規則列式與求解

文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）

　　學生在四年級下學期就會進到兩步驟問題的列式和求解，五年級則學習三步驟問題的列式和求解。

　　四則運算有三重要規則：

　　一、有括號的先算；二、先乘除後加減；三、由左算到右。學生須依題意列出一個有兩到三個運算符號的算式，考慮運算規則，將不必要的括號去除；再透過逐次減項求解。

　　學生在掌握題意、列出算式、併成一式、併式或列式符合運算規則、按運算規則逐次減項求解中，任何一個環節不理解，都可能產生學習差錯。涉及三個運算規則的兩步驟、三步驟問題，如何列式和求解學生才能順利學習？

 

兩步驟問題

　　學生要將兩步驟問題依題意列成一個算式，他們心中須有解題計畫，先算什麼，再算什麼，才能將先算的加括號，併入後算的列式記錄問題；若不考量三個運算規則，學生有括號列式的狀況比較好，但學生未來處理三步驟和多步驟問題恐受影響，所以教師仍須引入。因此，學生按題意列出一個算式後，還要考慮運算規則，將「先算的加括號」中不必要的括號去除。

　　加與減類型如：

　　　　例一：（16－9）＋2＝？

　　　　例二：16－（9＋2）＝？

　　加減與乘類型如：

　　　　例三：100－（13×6）＝？

　　　　例四：（100＋13）×6＝？

　　加減與除類型如：

　　　　例五：6－（24÷6）＝？

　　　　例六：（6＋24）÷6＝？

　　乘與除類型如：

　　　　例七：（72÷8）×3＝？

　　　　例八：72÷（8×3）＝？

　　這八例中先算的部分，例一的（16－9）是由左算到右，例三的（13×6）是先乘除再加減，例五的（24÷6）也是先乘除再加減，例七的（72÷8）也是由左算到右，所以這四例可去除括號；但例二、例四、例六、例八都是有括號的須先算，所以不能去除括號。

　　兩步驟問題列式後的求解，不但跟題意的先算和後算有關，也跟三個運算規則有關，「逐次減項」就是每一步驟只處理一個運算符號，還要保持等號兩邊的等價。以前面的例子來說明，例八：72÷（8×3）＝72÷24＝3，題目的括號不能去除，求解是「有括號的先算」；例三：100－13×6＝100－78＝22，題目的括號可以去除，求解就是「先乘除後加減」；例一：16－9＋2＝7＋2＝9題目的括號可以去除，求解就是「由左算到右」。

 

三步驟問題

　　初學三步驟問題不容易，因題目語意不一定有明顯的運算順序，例如：小明到文具店買文具，1枝鉛筆賣12元，1枝原子筆賣16元，小明買了2枝鉛筆和3枝原子筆，他要付給老闆多少元？學生除了要了解題意、掌握資訊，還要心中有解題策略或計畫。

　　學生須看出要付的錢包含鉛筆和原子筆，所以分別先算鉛筆12×2＝24元、原子筆16×3＝48元後，兩者相加24＋48＝72就是要付的錢。

　　前述問題，學生大多能列成三個算式來解題，但要依題意列成一個算式，難度就升高，這時心中要想兩者的錢是24＋48＝？（24、48不一定要算出），24可用12×2取代、48可用16×3取代，若學生能掌握本題是乘的要先算，並熟知先乘除後加減的運算規則，就可直接列出算式12×2＋16×3＝？

　　但大部分學生無法一次到位，教師可引導學生以先算的有兩部分，可以分別都加括號來列式（12×2）＋（16×2）＝？因本題是乘的部分要先算，再按「先乘除後加減」的運算規則去除括號，列式就是12×2＋16×3＝？

　　若學生剛學時能正確列式和解題，但出現多餘的括號，教師不要算錯，給學生多一點學習空間，讓他們假以時日熟稔較妥。

　　三步驟問題都可列成三個算式後再併式，例如小美帶100元去買文具，買了18元的橡皮擦和15元的原子筆3枝，她還剩下多少元？解題的三個算式是15×3＝45元、18＋45＝63元、100－63＝37元。

　　學生心中若有此解題規畫，不必真的解出，只要了解題中資訊的關係，記錄問題的列式就可先將63用18＋45取代，寫成100－（18＋45）＝？ 其中（18＋45）的括號要先算不能刪去，再將45用15×3取代，寫成100－（18＋15×3）＝？因為先乘除後加減15×3不須括號；這樣列式的過程都須考量運算規則，對學生而言是有複雜度的。

　　若教師請學生先算小美買文具花了多少元？學生已有兩步驟列式的經驗，他們可以寫出18＋15×3＝？再按題意加一步驟就是100－（18＋15×3）＝？對學生而言，比從三個算式再列成一個算式簡單；能列出三步驟或多步驟的一個算式，有助於國中階段的代數式的學習。

　　國小不引入中括號，但在併式或列式出現兩次括號60－（（15－3）×4）＝？或（（9＋6）×4）÷5＝？時，考量運算規則就是60－（15－3）×4＝？或（9＋6）×4÷5＝？

　　再透過「逐次減項」求解，60－（15－3）×4＝60－12×4＝60－48＝12，每次依運算規則處理一個運算符號。

運用數線概念　學習計算時間量

文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）

　　時間問題的計算和應用，對學童而言是比較困難的，尤其時刻和時間（量）都需要學會使用「數學用語」表示，例如上午9時40分出發，路程花了6時30分，到達時間是幾時幾分？他們需以語意判斷「幾時幾分」是代表時刻，還是時間（量）。

　　若學童只能用幾時幾分區分時刻，幾小時幾分鐘區分時間（量），那麼「當某時刻開始，經過某時間是什麼時刻？」或「兩時刻間有多少時間？」的問題出現，學童加法或減法算式的單位是「時、分」，還是「小時、分鐘」呢？

　　通常，時間計算是用正式單位「時、分」。此外，教師應指導學童，時刻只是「時間數線」上的一個刻度或位置，是無法進行計算的，只有時間（量）才能計算，所以「時刻＋時間（量）＝時刻」和「時刻－時刻＝時間（量）」的口訣是不恰當的。

　　本文將介紹「時間數線」對學童學習的重要性，以及如何利用它解決時間的計算和應用問題困難。

 

認識時間數線構成要素　其間距可計算時間量

　　時間數線是以整數數線為基礎，學童最早接觸到的數線概念是「公分尺」；教師教導以公分為單位的測量活動前，需讓學童認知公分尺上數字0、1、2、3……，相鄰兩者間的間距都是1公分，了解刻度0到1，0到2，……4到9等，間距分別是1公分，2公分，……5公分等。

　　「整數數線」的構成要素是座標，以及座標與座標的距離。國小階段可將座標稱為刻度或位置，相鄰兩座標的距離稱為間距；間距代表一個單位長，從原點0到刻度／位置6，共有6個單位長。

　　通常「時間數線」是從某日的0時開始，在刻度上只出現數字，其刻度／位置就是整時（整點）的時刻，間距就是1時（1小時）的時間（量）。

　　雖然時間具有連續性，但是受到12時制或24時制，以及每月可能有28、29、30或31天、每年有12個月影響，在時間數線上「午接午、日接日、月接月」處的數字無法連續，教師需引導學童了解上午的結束就是下午的開始，一天的結束就是下一天的開始，一個月的結束就是下一個月的開始。

 

依情境靈活辨識題意

　　教師可先利用「時間數線」，讓學童明白「幾時」的數學用語有兩種意義，一是代表某時刻，二是代表0時到此時刻的時間（量）。例如下午3時就是15時，也是從0時開始經過了15時；若出現跨日的時間數線，例如某日上午8時出發去旅行，就是從0時開始經過了8時，第二天下午6時返家，就是從第一天的0時開始經過了24＋18＝42（時），出門一共花了42－8＝34（時）。

　　此外，可讓學童在時間數線上，標示能溝通即可（不求精準）的「幾時幾分」刻度／位置，了解從0時開始經過了「幾時幾分」的時間長度。

　　當學童在時間數線上，會用「數學用語」同時報讀時刻，描述時間（量），就能依題意靈活轉換；更能依情境中的語意判斷「幾時幾分」是時刻還是時間（量），例如小明10時30分陪奶奶拜訪朋友，下午5時20分返家，她們在外花了多少時間？這時學童對減法算式的單位「時、分」代表的意義，就能明白它是代表時間（量），不是時刻。

 

釐清時刻與時間量關係

　　教師可利用「時間數線」上的刻度（時刻）和間距（時間量），讓中年級學童透過點數來解決兩「整時」間有幾小時，以及某「整時」經過幾小時是某時的問題；此時通常不會要求學童列式求解，因為這些計算的單位是什麼？他們熟悉的時刻是幾時幾分，時間（量）是幾小時幾分鐘。

　　當高年級學童能辨識問題情境中「數學用語」幾日幾時、幾時幾分、幾分幾秒，代表時刻還是時間（量）後，接著需了解這些時刻或時間（量）之間的關係。

　　教師可引導學童再利用「時間數線」標出題目中的時刻或時間（量），他們就容易理解用兩時刻代表的時間（量）相減，得到的答案就是兩時刻間的時間（量）；也能明白用開始時刻代表的時間（量），加上經過的時間（量），得到的時間（量）總和就是0時開始到所求答案的結束時刻。

　　因此，這些時間應用問題的橫式列式、直式計算就清楚明確多了，求解使用的時間正式單位日、時、分、秒等「數學用語」，學童就能在腦袋中靈活轉換是時刻或時間（量），進行時間問題的解題就變得相對簡單。

（本文原刊載於《國語日報》2021年 10月 13日）

建立學童時間用語　須分三階段學習

文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）

　　時間看不見、摸不到，不似長度、重量等感官量，它是透過鐘錶、月曆等方式呈現的工具量，且與生活習習相關。不少幼童還沒上小學前，就會模仿大人說幾點、幾分鐘的「生活用語」，但不一定能正確理解其中概念。例如有些幼童會模仿大人說：「九點鐘要出發，搭火車要一小時。」卻又一直問：九點鐘到了嗎？火車還要搭多久？

　　因為時間的正式單位是日、時、分、秒等「數學用語」，配合工具量的時間認知發展共有三個階段，本文將從這三個階段談國小學童時間用語的學習發展。

 

時刻報讀階段

　　在這個階段，學童是利用圓型鐘面上兩指針所指的數字，學習生活用語「幾點鐘」、「幾點半」的報讀。當長針指向數字12、短針指向數字7，就是7點鐘；長針轉一圈，再次指向數字12，短針指向數字8，就8點鐘。

　　親師應該讓學童多觀察兩指針的轉動與鐘面數字之間的關聯，當長針從數字12開始，走了半圈指向數字6，短針從數字8開始，走到8和9的中間，就是8點半。

　　在圓形鐘面上，1到12的數字，對應12個大刻度；在大刻度間分成5等分，有4個小刻度線，整個鐘面有60個小刻度，教學時要在小刻度上標出1、2……59、60（0），介紹學童認識「幾分」刻度，再配合兩針的轉動，以及短針指向大刻度的數字，長針指向小刻度的數字，報讀「幾點幾分」。

　　接著，教師應進一步指導學童找出鐘面上數字與「幾分」的規律，數字1對應5分，數字2對應10分……數字12對應60分，也等同於0分；這規律可和乘法教學5×1＝5、5×2＝10、5×3＝15……5×12＝60結合，讓學童面對沒有小刻度數字的鐘面，也能順利報讀「幾點幾分」。

　　面對尚無時間量感的學童，教學不宜使用：「從8點半開始，再經過1小時是什麼時刻？」但可以問：「從8點半開始，長針再轉一圈是什麼時刻？」

　　另外，應配合生活情境介紹上午9點和下午9點的鐘面，讓學童知道鐘面雖然長得一樣，但代表的時刻不一樣。上午、下午是數學用語，它們會在介紹12時制和24時制時，有明確的界定，因此教師須確認學童能正確使用。

 

時間量感階段

　　學童進入時間量感階段後，認識長針在鐘面走一小格是1分鐘，轉一圈是60分鐘，也是1小時；短針走一大格是1小時，轉一圈是12小時。

　　學童也開始配合生活事件，以及兩指針在鐘面數字和大小刻度間的轉動，察覺鐘面現象和時間（量）的關聯。

　　學童銜接原有生活經驗中的說法，用幾小時、幾分鐘、幾秒鐘的「生活用語」來敘述時間（量）；但他們已認識長針就是分針，短針就是時針，所以開始會用幾時幾分的「數學用語」來報讀時刻，例如：7時、8時30分、9時37分。

　　學童雖建立「1日＝24時」、「1時＝60分」、「1分＝60秒」的時間量感，但仍然使用幾時幾分、幾分幾秒的「數學用語」來描述時間（量）。

　　簡而言之，學童開始學時刻報讀，是從生活用語開始；開始學時間（量）描述，也是從生活用語開始。

 

計算與應用階段

　　這個階段學童會學到很多時間單名數、複名數的換算，以及時間的計算與應用；典型的錯誤是在計算時，將135分誤認為1時35分；2日8時誤認為28時；3時115分誤認為4時15分等，這是受到十進位制的影響。

　　教師需協助學童多操作鐘面指針，釐清日、時、分、秒的關係，建立「1日＝24時」、「1時＝60分」、「1分＝60秒」的心理圖像，並假以時日去熟記。

　　學童到了高年級，需要認識幾日幾時、幾時幾分等「數學用語」，除了可以同時代表時刻和時間（量）外，還需要理解時刻和時間量的關係，例如上午10時38分是時刻，但它表示從0時開始，經過了10時38分的時間（量）；也可以說從0時開始經過10時38分，就是10時38分。

　　當學童學會時間（量）的概念，才能進行加、減等運算，並理解數學用語「日、時、分、秒」是算式的單位，在計算時代表時間（量），而不是時刻。

（本文原刊載於《國語日報》2021年 10月 06日）

理解乘除互逆關係　從總量連減引入除式

文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）

　　國小整數運算，低年級以加減為主，中年級以乘除為主，其中十十乘法的概念從九年一貫課綱開始，就提前至二年級課程；延續前文介紹的加減互逆主題，本文將以乘除互逆為主軸，來談算術思維階段的相關教學。

 

除法問題基本型 等分除與包含除

　　二年級下學期的「分裝與平分」單元，為除法概念的前置單元，分裝是「包含除」的前置概念，例如題目1：18顆糖果，每6顆一包，分分看有幾包？經過操作會看到有3包，也就是有3個6。

　　平分是「等分除」的前置概念，例如題目2：18顆糖果，平分給6個人，每人可以分到幾顆？經過操作，每人有3顆，也就是有6個3。這兩個問題的除法算式都是18÷6＝3，但從結果來看，分裝的結果是3個6，可以記做6×3＝18；平分結果是6個3，可記做3×6＝18。

　　三年級首教除法，通常會從整除入手，以題目2為例，學生如何認識「÷」的概念？

　　通常等分除的解題操作並不難，但要從總量連減算式中，引入分的摘要記錄「除式」；分的過程需透過「1人一次分1顆」的語意轉換為包含除，產生以顆來連減的算式18－6＝12、12－6＝6、6－6＝0，進而引出除式18÷6＝3。

　　學生在「分裝與平分」單元看到乘法算式3×6＝18，首教除法又是整除，誤以為除法算式18÷6＝3就是從乘法來互逆；殊不知分的過程是除式18÷6＝（）中有幾個6，18÷6＝3一人分到3顆，而分的結果是乘式3×6＝18有6個3、3有6個。

　　回到包含除，以題目1為例，過程是18÷6＝（）中有幾個6，18÷6＝3可以裝成3包，分的結果卻是乘式6×3＝18，有3個6、6有3個；包含除的乘除互逆關係是18÷6＝3和6×3＝18，而等分除的乘除互逆關係是18÷6＝3和3×6＝18，它們是不一致的。

　　誤用乘除互逆關係學除法，遇到除數一位且有餘的除法就會有困難，因為怎麼背十十乘法就是找不到答案。

 

培養學生除法估商 不可只做整除問題

　　除法概念不宜在學過「分裝與平分」後，就直接從乘法算式導入乘除互逆概念；應在乘除概念都具備後，才進行乘除互逆的相關教學。

　　在「分裝與平分」單元中，分的結果是乘法算式，它只和除法算式18÷6＝（）的估商有關；估商在找有幾個6，6×2＝12可以再分，6×3＝18是6有3個，若針對包含除，就是每包6顆、有3包；若針對等分除，就是分給6人、每人有3顆。

　　首教除法不要只做整除問題，最佳的「除數一位」教學從有餘數的問題入手，如20÷6＝（）…（），利用除法直式中先乘再減的思維，試試6×2＝12、20－12＝8，再修正成6×3＝18、20－18＝2，培養學生估商的能力，避免以為除法求答只要背十十乘法就好。

　　學生若無除數一位的估商經驗，到了「除數二位」問題，例如85÷23＝（）…（），要透過估商解題就非常困難了。學生解題很難一次到位，可以先將23想成20，在除法直式上很容易看出20的4倍是80，先試試看23×4＝92，超過85了，再修正為23×3＝69、85－69＝16，得出80÷23＝3…16。

　　所以，除法概念建立應從總量連減引入，當學生了解「÷」的意義，會列除法算式時，就可用除數的幾倍估商，在估商的時候就會和除數的倍數有乘除互逆關係。

 

空格算式記錄問題 掌握乘除互逆關係

　　乘法問題的基本型是等組型，例如一盒雞蛋有6個，5盒雞蛋有幾個？除法問題的基本型是包含除、等分除；它們也有改變量（乘數、除數）未知、起始量（被乘數、被除數）未知的進階型問題，例如 6×（）＝30、（）×5＝30、（）÷6＝5、（）÷5＝6，當學生掌握部分量和整體量的乘除互逆關係後，就可分別從30÷6＝5，得出雞蛋有5盒；30÷5＝6，得出每盒有6個雞蛋、6×5＝30，得出共有30個雞蛋。但是30÷（）＝5、30÷（）＝6就不能用乘除互逆解題，而是30÷5＝6，每盒有6個雞蛋；30÷6＝5，雞蛋有5盒。

　　因此，除法的進階問題，例如包含除（）÷7＝4…2、30÷（）＝4…2，它們的算術作法分別是7×4＝28和28＋2＝30、30－2＝28和28÷4＝7。

　　因為除法原理a÷b＝c…d且0≦d＜b，以及a÷b＝a/b，前者是一般除法算式；所以不論整除或有餘的除法問題，最好能認識標準除式記錄，例如28÷7＝（）…（）、30÷7＝（）…（），餘0就是整除／沒有剩下。但很多親師會認為整除時，何必那麼麻煩寫餘0？那是因為在列除法算式，尚未求解前，不能從題意判斷是否有餘；不要讓學生未求解就要判斷結果是整除或有餘。

 

（本文原刊載於《國語日報》2021年3月24日13版）