月份：二月 2020

十二年國教　國小數學課綱差異說明

 

文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）

 

　　十二年國民基本教育課程即將於107學年實施，國小從一年級開始逐年進入教學現場；此時，國小級任或數學老師一定很關心數學課程有何變革？本文將從課程理念、課程實施二個方向來說明。

 

國小數學課程理念的新重點

　　九年一貫數學課程不論是九二課綱還是九七課綱，都是強調五大主題：數與量、代數、幾何、統計與機率、連結，前四項是數學學習的內容、後一項是數學學習的過程；強調培養學生可以帶得走的數學能力（competence），是以能力指標和分年細目來呈現。現在十二年國教（國家教育研究院，2016）則以學習表現和學習内容來呈現，前者非內容向度，具體地展現或呼應核心素養（competency）；後者在國小階段是數與量、空間與形狀、關係、資料與不確定性的內容向度。並且，數學領域為落實基本理念與課程目標，強調數學素養的培養。

 

以數學素養呼應核心素養

　　總綱的核心素養是指一個人為適應現在生活及面對未來挑戰，所應具備的知識、能力與態度，它有自主行動、溝通互動、社會互動三面向，以及各有三項目。廣義的素養主要包括功能性知識外，還有溝通、問題解決、推理、創意、團隊合作等等的共通性能力（林永豐，2016）。簡言之，筆者根據相關文獻分析，認為在國小階段，可以數學的思維、生活的應用二向度（鍾靜，2016），從數學內部、數學外部的跨領域統整，來落實數學素養的實施。當然在跨領域外部統整時，適時、適機地考量性別平等教育、人權教育、環境教育與海洋教育等議題的融入，可豐富數學素養的涵育。

 

以關係突顯在國小的代數內容

　　十二年國教的數學學習內容，在國小階段的四類中，不再強調「代數」，而是恢復「關係」的說法；這一類相關的數學內容，在國高、中階段才稱為代數、函數。筆者最認同的是將等量公理，明確延後到七年級和移項法則一起；還有，加減互逆延後至二年級、乘除互逆延後至三年級，如此學童才不會混淆加法和減法、乘法和除法的問題。另外，在關係的數學內容中，三、四年級還增加了數量模式與推理。

 

 

以解題和操作活動增強解題表現

　　描述解題表現的專有名詞，有關認識/理解/熟練、情境、具體情境、報讀等，都是在九二和九七課綱中出現的語詞，現在則用來描述學習表現；而解題、操作活動則是新增的語詞，具體情境、操作活動則是小學階段更重要的語詞。在十二年國教數學領域課綱中，數學的解題泛指能應用數學概念與程序，解決日常、數學、其他領域的應用問題。在小學階段宜著重其數學解題經驗之建立，其所面臨的解題初步應以日常生活問題為主，低年級更應該多用活動方式引導；在學習內容中特別標出解題，提醒老師處理這些體材時，應從解題的精神出發，並掌握它的應用性。至於，操作活動泛指由操作中察覺、形成概念，甚至簡單連結各概念的各種活動；在低、中年段必須藉生活情境來引導，許多題材的教學宜先以操作活動進行。而且，在低、中年段具體情境與生活情境不做區分；從高年段起，學童學習數學所依賴的具體情境，就可不限於生活情境。

 

 

國小數學課程實施的新重點

　　國小的數學教學大都是由級任老師擔任，有關教學時數、教學內容、教學方式是教學者最關心的問題。不論課程如何變革，教師教學應以學生為主體、考量學生數學能力的發展、鼓勵學生提出多元的解法，並能與他人溝通解題想法。課綱雖未預設特定的教學法，但引導學童合作解題、探究討論等是被例舉的；尤其在國小階段更需培養。教師還應提供學童有啟發性的練習，而非機械式反覆練習，讓學童從這些實作中，沉澱自己新學的概念，並能夠與原先的數學知識相連結。

 

各年段教學時間均為四節課

　　在九二課綱和九七課綱時期，各領域的教學節數是各年段總節數的10％~15%，大多數學校的數學課是低年段排3節、中年段排4節、高年段排4節，有不少學校的高年段再用彈性節數加1節；這與早期數學課程標準規範低、中、高年段分別排3、4、5節一致，也是老師們習慣的節數。現在十二年國教，各年段的數學課節數都是4節；低年段增加一節，老師有較充足的時間，可把學童的數學基本概念扎根，並能在數學內部、數學外部的題材增加討論機會。

 

連結的想法持續被重視

　　九年一貫課程數學領域跟之前數學課程最大不同處，就是重視學童數學學習的歷程，增加了連結主題；連結主題有察覺、轉化、溝通、解題、評析等五項內涵，透過數學內部連結、外部連結來達成。這些與國際間，重視培養學生的解題、溝通、推理、聯結、表徵等能力相關；也與素養的共通性能力有交集。因為連結不是內容目標，而是過程目標；十二年國教數學課綱自然無法將其放入學習內容。所以在十二年國教的實施要點，特別指出教科用書在題材呈現上，要能反應出各數學概念的內在連結外；也能引導學生體驗日常生活、其他領域/科目素材與應用的外部連結。

 

數學奠基與探索活動的實施

　　十二年國教課綱的教學實施，特別提及國小及國中階段，除原定課程內容外，教師可於彈性學習課程規劃數學奠基與探索活動，讓學生探索、討論、培養對數學的喜好，奠立學習的先備基礎，以進行有意義的學習。課綱進而說明教師也可運用數學奠基與探索活動，鼓勵學生利用數學解決生活中的實際問題。筆者認為，好的數學教學就是要從學童的舊經驗開始，透過討論和探究建立新概念；處處在奠基及探索。所以，針對數學是有系統和脈絡的學科，應藉由有內、外部連結的教材，且具數學素養的教學，在日常數學教學活動中落實即可！

 

 

　　整體而言，十二年國教數學領域課綱相較九年一貫課綱，雖然有上述六個新重點，但是國小階段的數學內容、教學本質相差不大；老師們只要能掌握十二年國教數學課程的新觀念，選擇不錯的教科用書一定能勝任愉快。

 

參考文獻

林永豐（2016.12）。核心素養與素養導向教學。發表於國立臺北教育大學與中華民國教材研究發展學會共同主辦之「十二年國教課程」系列研討會，臺北市。

國家教育研究院（2016）。十二年國民基本教育課程綱要國民中小學暨普通型高級中等學校數學領域（草案）。新北市：作者。

鍾靜（2016.12）。國中小數學素養之教學與評量。發表於國立臺北教育大學與中華民國教材研究發展學會共同主辦之「十二年國教課程」系列研討會，臺北市。

 

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乘法表與圖形的美麗相遇

 

文／黃琡懿（臺北市文山區武功國小教師）

 

　　乘法表的背誦是每個二年級學生共同的任務。如何讓學生在學習乘法表時，除了理解其意義、熟練其應用，更要進一步思考，如何讓學生學得「有感覺」、學得「有熱情」。筆者結合乘法表與圖形的繪製，讓學生感受到數學的規律之美。

 

乘法表的規律　在圖形中美麗相遇

　　二年級的數學教學中，十十乘法表的理解與熟練，乃是日後學習除法、分數和因數等概念的基礎。筆者參考韓國的教科書（교육부，2013），設計乘法圖形的繪製活動—「美麗的乘法花」，可以讓學生在學會乘法表後，一邊背誦乘法表一邊繪製成一幅美麗的圖案。在華德福教材（vivi_sato，2011）及網路文章《有趣的數學圖案》（蔡欣翰，2008）也有相關的活動。

　　先將圓形平分成10等分，分別標示0、1……到9（如圖1）。然後從0開始，順時針隔2格連線，就是加1個2，再繼續隔2格連線，就是再加一個2，也就是2有2個，是2×2，會停在數字4的點上，以此類推。因此，往上累加2也可以看成是2的倍數變化。再引導學生觀察乘法表中，個位數字的變化，就會發現所連的線都按此規律繼續下去。連線間隔相同的數，就是往上累加的概念，也就是乘法倍數的概念。

 

圖1：乘法花底圖

 

　　接著，讓學生一邊背誦乘法表，一邊在學習單上，根據積的個位數變化，完成其他乘法表的乘法花（如圖2）。

 

圖2：乘法花學習單學生作品

 

在驚嘆中　發現乘法規律之美

　　根據行動研究（黃琡懿，2018）發現：當學生完成學習單後，再讓學生統整討論從圖案可以發現的規律。教師不用急著告訴學生結果及原理，學生自會驚訝的發現：用乘法表的個位數變化，所畫出來的圖形是如此規律、如此的美。教師只需要提示學生：「仔細觀察，說說看你發現了什麼？」當學生更深入的觀察與討論，就能從相同的圖形中加以推論，發現合起來是10的數，所畫乘法花的圖形相同。這時教師再引導學生探究其原理，可以回到乘法的累加性質。因為共是10個點，順時針加3的點，也就是逆時針加7的點，所以3的乘法表變化，就會和7的乘法表變化一樣，只是連線順序的方向相反。

　　探究不同的乘法花，學生也會發現：所有的乘法花都會經過0，因為任何數乘以0都是0，也可以說，任何數乘以10，個位數都是0。所有乘法花都會經過本身數的點，因為任何數乘以1都是他自己，也可以說，任何數乘以11，個位數都是他自己。透過乘法花的觀察與討論，整合了乘法中0、1、10乘法表的規律。

　　在學生理解乘法花的原理後，教師可以反向操作，呈現某一個乘法花，讓學生猜猜這是哪一個乘法表的乘法花。學生可以從0開始，以一筆畫，畫圖形的概念來進行推理，看看數字是如何變化，進而反向推論出應該是哪一個乘法表。這個活動可以進一步培養學生邏輯推理與分析的能力。

 

透過統整　體驗數學規律之美

　　乘法花的統整活動，不僅可引導學生察覺數學的規律之美，涵養數學美學，更可以培養學生從觀察規律性，進行推論的能力，亦是跨領域的連結。利用乘法花「體驗」數學之美，提供學生有意義的練習「從做中學」，讓數學不再只是重複運算枯燥的類似題型。這不僅符合素養導向的教學模式，更使學生能從中培養不斷內化的數感以及探索數學奧祕的精神。

 

（本文節錄自《台灣教育雙月刊》2018年12月15日第714期 教育新知專欄）

 

參考資料

黃琡懿（2018）。以素養為導向的二年級乘法教學行動研究。臺北市第十九屆中小學教育專業創新與行動研究徵件行動研究論文發表類。未出版，臺北市。

蔡欣翰（2008年10月6日）。有趣的數學圖案【部落格文字資料】。2018年9月2日取自http://shinhann.blogspot.com/2008/10/blog-post_1430.html。

vivi_sato（2011年8月3日）。華德福教育…乘法的藝術【部落格文字資料】2018年9月2日取自https://blog.xuite.net/vivi_sato/twblog/116496272。

Good Simple Life（2011年9月26日）。淑照老師跟我說乘法幾何圖形好好玩【部落格文字資料】2018年9月2日取自http://goodsimplelife2009.blogspot.com/2011/09/blog-post_26.html。교육부（2013）。초등 학교 2 학년 수학2-2。