萬物皆數畢達哥拉斯

文／林原宏（國立臺中教育大學數學教育學系教授）、

李英（數學教育文教工作專任老師）

 

　　小朋友，你有沒有看過這樣用黑色、白色正方形地磚鋪出來的地板？如果讓你盯著這地板看個幾分鐘，你會想到什麼呢？

　　在2500多年前，有個人參加宴會時看到類似這樣排列的地板，沒想到他竟然因此發現了三角形與正方形面積之間的關係，接著推論出所有直角三角形3個邊長之間的關係式，進而寫出了「畢氏定理」。（升上國中就會學到呵！）

　　這個人是誰呢？他就是鼎鼎大名的畢達哥拉斯（Pythagoras, 西元前570年～西元前495年），古希臘的數學家、哲學家及音律學家。他與中國著名的孔子，大約是同一個時期。

 

生平

　　畢達哥拉斯出生於地中海的薩摩斯島（Samos），他的家境富有，年少時期隨著經商的父親四處遊歷，30歲後到埃及與巴比倫學習數學、幾何、宗教、音樂等。50歲時，畢達哥拉斯回到故鄉薩摩斯，他還組織了一個專門研究數學及哲學的團體，後人稱之為「畢達哥拉斯學派」。

　　小朋友，你知道這個學派的學員每次要進入團體研究學習時，可都要有通關密語的。喔不！是通關用的祕密符號。猜猜看，是什麼符號呢？答案是「五芒星」，也就是「」，要畫給守在門口的警衛看才可以進去喔，特別吧！

 

從地磚到畢氏定理

　　先來介紹一下「黑白地磚」。小朋友，請看下面的圖案。有沒有看到橘色的、綠色的、藍色的大正方形及小正方形各一個？而且這些正方形是由黑色及白色的等腰直角三角形組合而成的。

　　畢達哥拉斯看到「小的橘色正方形內的三角形數量」（4個），剛好是「小的綠色正方形內的三角形數量」（2個）加上「小的藍色正方形內的三角形數量」（2個）。（大正方形部分，請小朋友在後面的問題1做做看。）

　　宴會結束後，回到家的畢達哥拉斯對於地板上的地磚還是念念不忘。

　　他記得三個正方形圍住的形狀剛好是一個等腰直角三角形。他想：如果隨意畫一個直角三角形，將這個三角形的3個邊（例如分別是邊長a、邊長b以及邊長c），各自向外畫出分別是邊長為a、邊長為b以及邊長為c的三個正方形，這三個正方形的面積之間是否也有類似黑白地磚面積之間的關係呢？是否同樣能夠符合「以兩股長度為邊長畫出的2個正方形面積和」，等於「用斜邊長度為邊長所畫出的正方形面積」？

　　接著，他馬上開始畫圖與證明，最後證明了任意直角三角形的三個邊長彼此間的關係式：a² ＋b² ＝c² ，也就是大家所熟知的「畢氏定理」。例如：邊長分別為3cm、4 cm、5 cm的直角三角形，3×3＋4×4＝5×5。又例如邊長分別為5 cm、1 2 cm、13 cm的直角三角形，5×5＋12×12＝13×13。

 

對數字的狂熱

　　畢達哥拉斯非常喜歡數字，可以說已經到了癡狂的地步。他認為宇宙萬物都是數，全部可以由整數或分數來表示。例如他認為1是純潔的、3是高尚的、4是聖潔的、10是萬物之母、……。

　　他認為數字可以成就許多美的事物。如長與寬的比例是多少時，所形成的矩形最美？為此他提出了「黃金分割」與「黃金比例」，對之後的西方建築、繪畫、美學造成巨大影響。

　　另外，你們若有學樂器或學校音樂課，是不是有教Do、Re、Mi等所謂的八度音、全音階？這也是畢達哥拉斯以特定的數字比例，設計琴弦的長度，而定出了這麼優美和諧的音階。

　　你看，畢達哥拉斯是不是很厲害啊！

 

小故事大哉問

　　小朋友，聽完以上故事，我們一起來討論看看下列問題：

1. 故事裡黑白地磚圖案中，有大的橘色正方形、大的綠色正方形以及大的藍色正方形。 小朋友，請你數數看各正方形裡面分別有多少個三角形？請問數量是不是同樣符合「大的綠色正方形內的三角形數量」，加上「大的藍色正方形內的三角形數量」，剛好等於「大的橘色正方形內的三角形數量」？
   
2. 下圖中，橫向點與點間的距離與直向點與點間的距離都是1公分。請你算出這三個正方形的面積各為多少？請問「1號正方形」的面積加上「2號正方形」的面積，是否等於「3號正方形」的面積呢？