強化空間概念的補充活動設計
文／新北市私立及人小學 吳月貴老師
一、緣起
擔任國小高年級教師多年，對於高年級生學習數學概念的過程有深刻的體驗，尤其是教與學之間的落差。皮亞傑的認知發展理論中，7~11歲兒童思維發展屬於具體運思期、11歲以上兒童屬於形式運思期，高年級生恰介於兩者之間。因此，在學生的抽象邏輯思維發展尚未達到成熟階段的教學歷程中，如何使學生學習得更好、更有效率，如何幫助學生將抽象轉化成具體概念，如何引導學生將數學應用在跨領域學習及生活中，一直是筆者努力著力的方向。今以自編的強化空間概念補充活動設計，分享一系列有效、有趣的教學活動。
二、空間概念是數學能力不可或缺的一環
國小數學能力的分類包括「數與量、空間與形狀、關係、資料與不確定性」，其中「空間與形狀」在螺旋式發展的教材安排上有清楚而循序漸進的教學進程(1)。從平面圖形的學習到立體形體的心像(mental image)建立(2)，如果學生能按照課程建構良好的空間概念，對其他領域、其他階段的學習勢必事半功倍；反之，如果心像的操作和轉換的空間能力沒有依照學程達到成熟的發展，衍生的影響將延續到往後的學習生涯(3)。
三、國小高年級在數學空間上的教學活動安排
在108課綱的實施未完全涵蓋國小高年級之際，以下暫時依照110、111學年度翰林出版社數學課本呈現與空間概念相關的教學單元(4)。
四、銜接單元間的自編補充教材
(一)我有透視眼
(1)利用點狀排列圖繪製視圖
在五年級下學期的單元「長方體與正方體的體積」中，除了課本所繪的立體圖形之外，附件裡提供不少長方體與正方體的展開圖。學生藉由展開圖的組合，建構長方體與正方體的體積概念，進而學習體積公式。筆者曾經要求學生依據文字題進行繪圖，以解決已知體積、求高的題型，卻發現許多學生心中尚未建立心像。何不設計學習單讓學生練習畫視圖、透視圖？不求具有消失點的標準透視圖法，至少能大致掌握立體結構，畫出不太失真的圖形，透過心像建立幫助自己具備順利解題的能力。
於是，借用坊間的「點點活頁紙」概念設計的點狀排列圖學習單—透視圖描繪紙(A)應運而生。當然，也可以直接購買A5或B5不同規格的「點點活頁紙」給學生練習。點狀排列圖上的小黑點是協助學生定位用，手拿數學立體附件，揣摩立體頂點在點狀排列的位置，便能快速畫出它的視圖，簡單又精確，正確率高達95％以上。
(2)利用點狀排列圖繪製透視圖
當學生能正確畫出視圖之後，再教導繪製透視圖的概念，絕大部分皆能完美的做學習遷移，也能駕輕就熟的依據文字題進行繪圖、並解題。畫圖是將具體操作過渡到抽象文字的重要媒介，能依照文字敘述畫出數線、平面或立體圖形等，多半已能完全理解題意。能思索愈來愈複雜的情境題，不是高年級學生學數學非常重要的能力之一嗎？
(二)挑戰不規則立體圖形
五年級下學期的數學單元中，立體形體的展開圖在數學附件中佔相當大的份量，當課程進行至該單元時，學生配合教科書的附件實作，確實能掌握基本立體的空間概念，但是遇到複合形體，便可窺見學生對它欠缺空間概念的形塑，哪怕課本裡的複合形體的圖畫得再清楚、表面積計算分析得再透徹。
有鑑於此，筆者著手將翰林出版社數學課本、數學補強教材裡曾經出現過的複合形體，繪製成A3規格的九款自製複合形體展開圖，如附件(B)，它有利於學生熟悉及應用「底面積×2＋底面周長×柱高」的表面積計算方式。學生在動手操作、依照展開圖組合的同時，也能建構自己的空間概念。
歷經幾屆的教學實施，複合形體的實作歷程果然對學生大有幫助，更重要的是提升計算表面積的正確率，充分發揮教師自製數學附件的價值，學習成效看得見。
(三)模型高手
「模型高手」的活動設計基礎是建立在五年級下學期「立體形體」、六年級下學期「角柱與圓柱」和八年級上學期「平方根與畢氏定理」之間的補充課程。對六年級生而言，它是一個可以發展的加深、加廣補充教材，雖然部分概念含括八年級的學習內容，但是可搭鷹架幫助學生有效學會概念，進而進入「模型高手」的製作，是令人耳目一新的獨特教學設計，學生的作品更是令人驚豔。以下教學步驟將詳細說明如何搭鷹架幫助學生學會並運用七八年級學生才能學會的概念及技能：
(1)認識平方根
所有學過國中數學的人，一定記得求平方根的學習歷程，哪怕只剩下「它很難算」的記憶，但是它卻沒有那麼難以理解。在國小中年級有這樣的題目「有一個正方形，已知面積為9平方公分，求邊長是多少」，小三小四學生都知道9＝3×3，所以正方形邊長為3公分。這是基於對九九乘法表的熟悉度，但是它也是求平方根的概念來源，因為到了國中就記為√9＝3、 √16＝4，其中的符號 √ 稱作根號，9的平方根為3，16的平方根為4。
9和16開根號，都剛好是整數3和4，但是20開根號呢？對於小學生來說，電子計算機的 √ 按鍵就是可以讓他們快速掌握的方式。教導學生從簡單數字開根號開始，例如：先按出數字9，再按 √ 按鍵，即可出現平方根3；先按出數字64，再按 √ 按鍵，即可出現平方根8；先按出數字100，再按 √ 按鍵，即可出現平方根10。至於 √20會出現一串小數，即 √20＝4.47213595499958，依照接下來的作圖要求，只需要四捨五入取到小數第一位即可，所以 √20≒4.5。
當學生了解開根號、尋找平方根的概念及方式之後，接下來介紹畢氏定理a2＋b2＝c2
(2)善用畢氏定理
臺北市市林區國立臺灣科學教育館常設展中，有一區為物質科學展示區，其中有一面牆上設置一個大轉盤，轉盤上有大中小三個正方形壓克力透明扁盒圍成的直角三角形，壓克力透明扁盒內有許多和扁盒一樣厚度的小白球，而且這三個大中小正方形連接處相通，也就是當轉盤轉動時，小白球會流通於三個正方形扁盒之間。
若將直角三角形的最長邊c、最大正方形轉至正下方，則原本在三角形直角的兩邊a和b所屬的正方形裡的所有小白球都會滾至c所屬的最大正方形裡，也就是「小正方形面積＋中正方形面積＝大正方形面積」，記為a2＋ b2＝c2，這就是「畢氏定理」。
以下幾題習題讓學生利用電子計算機算出未知數：
82＋62＝ ( )2，( )就是100開根號， √100＝10
52＋( )2＝152，( )就是200開根號， √200≒14.1
( )2＋52＝122，( )就是119開根號， √119≒10.9
如上圖所示，只要掌握透視圖裡的直角三角形結構，再利用畢氏定理，就能計算各種角錐立體形體的斜邊長度，化不可能為可能。
(3)圓規的進階使用
工欲善其事，必先利其器。圓規是畫圓的利器，然而，利用它掌握相同、不同半徑的性質，可以進階畫出等腰三角形、角錐的展開圖。如下圖所示，它是一個四角錐的展開圖，其中的圓弧就是利用圓規畫出相同半徑所留下的痕跡，再將兩弧相交的點與正方形底面兩個頂點做連結，一個四角錐側面的等腰三角形就畫出來了。學生對於學習新技能以解決原本認為困難的事大感驚奇，也樂意嘗試。
(4)自己設計數學附件
「模型高手」活動的第一個教學模組，是一個每邊10公分的正方體組合模型，它由一個正四角錐和四個相同的斜四角錐構成。先讓學生從畫透視圖著手，將每個角錐的位置、結構畫清楚，再進行角錐的邊長計算、展開圖繪製與黏貼，一個組合模型就大功告成了！這一款模型，全班有一半以上的同學都能完成，足以證明搭適當鷹架，學生要學會更高階的知識及技能不再是難事。
繪圖學生／梁育瑄
「模型高手」活動的第二個教學模組，仍然是一個每邊10公分的正方體組合模型，但是它卻是由三個相同的斜四角錐構成。學生能製作到第二個模組，空間概念的發展已更趨成熟。
繪圖學生／席若晴
製作學生／張語晴
(5)切割空間，挑戰製作的難度
「模型高手」活動的後續教學發展，已經不再是教師提供模組，而是學生自己嘗試在腦海中切割空間，再畫出每個立體的透視圖、計算邊長、完成展開圖、組合模型。可以這麼說：只要學生能想得出來，就能將它具體化。對國小六年級生而言，空間概念發展的層次已經超越同年級許多，每件作品皆令人感到不可思議，如附件(C)；對教學者來說，能協助學生發展高層次的數學空間概念及興趣，不是一件值得雀躍的事嗎？
繪圖、製作學生／席若晴
繪圖、製作學生／王 籈
繪圖、製作學生／張語晴
繪圖、製作學生／張語晴
四、結語
上述自編補充教材經由幾屆的實驗教學，發現它們的可行性，更重要的是這些教學活動因為有趣、容易從手作中獲得成就感，所以深受學生喜愛，還因而讓數學學得不理想、卻喜歡實作的學生展現他們超強的「空間與形狀」的能力；它也可以說是跨領域的空間概念學習設計，畢竟只有純解題的數學活動無法滿足大部分學生的學習意願，更別說對學數學充滿迷惘的中、後段生；它更是能強化學生自主學習的活動設計，從學生有興趣多操作、願意花額外時間設計立體模型，可以看出它驅動學生的自主學習意願，哪怕它的知識、技能層面較高。期盼這些自編補充教材能提供教師不同的教學思維及應用。
【參考書目】
(1)張振華主持(2020)。《十二年國民基本教育課程綱要：數學領域課程手冊》。新北：國家教育研究院。
(2)李源順(2013)。《數學這樣教：國小數學感教育》。台北：五南出版社。
(3)詹勳國，李震甌等（譯）（2004）。《數學的學習與教學：六歲到十八歲》。（原作者： Maryilyn Nickson ,2000）。台北：心理出版社。
(4)翁秉仁等編撰(2015/2016)。《國民小學數學教師專用課本》。新北：翰林。
【附件】
(A)透視圖描繪紙 (點我下載PDF)
(B)九款自製複合形體展開圖附件 (點我下載PDF)
(C)角錐找夥伴—學生實作模型展示影片 (YouTube連結)