作者：教學科-組別1

翰林數學作者快問快答

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低年級加減關係-房昔梅老師

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兩部分合成命名-石玫芳老師

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幾何學之父歐幾里得

幾何學之父歐幾里得

文／林原宏（國立臺中教育大學數學教育學系教授）、李英（數學教育文教工作專任老師）

 

　　小朋友，還記得你小時候最早接觸到的數學是什麼嗎？不是數字，不是數量，是形狀！想想看，從出生睜眼看到的所有物品是不是都與形狀有關呢？後來你開始玩玩具，拼積木，爸媽教你認識形狀的名稱。等到上小學，學習到什麼是頂點、直線、平面、直角、圓心、半徑等等，學會分辨各種幾何形狀，也學會了計算周長與面積。

　　而早期的人們，為了丈量土地、劃分地界、建造宏偉的建築物，或透過天文觀測等，累積許多實務經驗與幾何知識，幫助後人成功解決許多生活上的問題，因此這些流傳下來的幾何知識大部分都著重在應用層面。

 

一本幾何書的發想

　　西元前300年左右，有一位希臘的數學家歐幾里得（Euclid, 西元前330年～西元前275年），遠赴當時的經濟文化中心亞歷山卓城。他在擁有大量藏書的圖書館中閱讀各種數學書籍，花費許多時間邊整理邊思考，要如何寫出一本完整且具系統性的幾何書籍，好讓未來有興趣學習幾何的人能有一本經典書籍可以閱讀。

　　歐幾里得希望這本書籍除了可以讓人節省尋找散落各地幾何知識的時間外，透過各個證明的推演，還可以培養紮實的邏輯思考推理能力。

 

曠世巨作

　　歐幾里得的心願達成了！他的這本幾何鉅著名為《Elements》，中文翻譯為《幾何原本》。這本書從此成為影響人類文明以至於科學發展最重要的一本書！在西方世界流傳之廣僅次於《聖經》。

　　小朋友，你知道嗎？有許多人因為學習此書，受到其邏輯的訓練與啟發，而成為偉大的數學家、科學家、律師、……，如牛頓、愛因斯坦、林肯等，或許也包含未來的你！

　　直到今日，世界各國的中小學甚至大學的數學教科書中，均有《幾何原本》相關的內容。例如國小學到的因數、倍數、質數、比與比例、……，以及未來國中會學到更多的幾何性質與幾何證明。此鉅著是不是影響深遠呢？所以，歐幾里得也就被後人稱為「幾何學之父」。

 

沒有特權的學習

　　最後講兩個關於歐幾里得的小故事。

　　其一是當時的國王請歐幾里得當老師，教國王幾何學。學習過程中，國王覺得太難了，因此國王問歐幾里得有沒有簡單的方法可以學會？結果得到的回答卻是：「沒有王者之路！」國王心想：「整個國家我最大，我應該有立即學會幾何的特權啊！」但是歐幾里得告訴國王，學習幾何是沒有捷徑的，也就是沒有給國王的專用快速道路。

　　另一個故事是有一位學生才上第一堂課，就問歐幾里得：「我學習幾何可以得到什麼好處？」歐幾里得很不高興，指示身邊的人立即給那學生3個錢幣。歐幾里得認為這種只要短線利益的人，是學不好幾何的。

　　《幾何原本》是學習幾何與邏輯推理的寶典，裡面不僅有豐富的數學知識，更重要的是，它教你如何思考！有興趣的小朋友可以到圖書館借閱或上網查詢，希望你也能享受到其中的奧祕之處！

 

體驗尺規作圖

　　小朋友，聽完以上故事，我們一起來體驗希臘人學習幾何作圖時的情境。

　　首先，古希臘人在「尺規作圖」時所使用的尺，是沒有刻度的。所以，請準備一把直尺並將上面的刻度線遮蓋掉，及一個圓規。接著，我們開始體驗吧！

　　給你一個線段AB（如圖1），請利用尺規，畫出一個正三角形。（也就是三邊等長的三角形）

做法：

  1. 畫出第1個圓：
    以A為圓心，以 長為半徑畫圓，此圓是左邊的圓。
  2. 畫出第2個圓：
    以B為圓心，以 長為半徑畫圓，此圓是右邊的圓。
  3. 從兩圓的交點C，連線至A點，畫出。
  4. 從交點C，連線至B點，畫出，此三角形是一個正三角形。

我們現在來看看，如何知道這個「三角形CAB」一定是正三角形呢？

　　以下為說明過程：

　　在第1個圓中，因為和都是半徑，所以＝。

　　在第2個圓中，因為和都是半徑，所以＝。

　　所以＝＝。

　　所以這是一個正三角形！

萬物皆數畢達哥拉斯

萬物皆數畢達哥拉斯

文／林原宏（國立臺中教育大學數學教育學系教授）、李英（數學教育文教工作專任老師）

 

　　小朋友，你有沒有看過這樣用黑色、白色正方形地磚鋪出來的地板？如果讓你盯著這地板看個幾分鐘，你會想到什麼呢？

　　在2500多年前，有個人參加宴會時看到類似這樣排列的地板，沒想到他竟然因此發現了三角形與正方形面積之間的關係，接著推論出所有直角三角形3個邊長之間的關係式，進而寫出了「畢氏定理」。（升上國中就會學到呵！）

　　這個人是誰呢？他就是鼎鼎大名的畢達哥拉斯（Pythagoras, 西元前570年～西元前495年），古希臘的數學家、哲學家及音律學家。他與中國著名的孔子，大約是同一個時期。

 

生平

　　畢達哥拉斯出生於地中海的薩摩斯島（Samos），他的家境富有，年少時期隨著經商的父親四處遊歷，30歲後到埃及與巴比倫學習數學、幾何、宗教、音樂等。50歲時，畢達哥拉斯回到故鄉薩摩斯，他還組織了一個專門研究數學及哲學的團體，後人稱之為「畢達哥拉斯學派」。

　　小朋友，你知道這個學派的學員每次要進入團體研究學習時，可都要有通關密語的。喔不！是通關用的祕密符號。猜猜看，是什麼符號呢？答案是「五芒星」，也就是「」，要畫給守在門口的警衛看才可以進去喔，特別吧！

 

從地磚到畢氏定理

　　先來介紹一下「黑白地磚」。小朋友，請看下面的圖案。有沒有看到橘色的、綠色的、藍色的大正方形及小正方形各一個？而且這些正方形是由黑色及白色的等腰直角三角形組合而成的。

　　畢達哥拉斯看到「小的橘色正方形內的三角形數量」（4個），剛好是「小的綠色正方形內的三角形數量」（2個）加上「小的藍色正方形內的三角形數量」（2個）。（大正方形部分，請小朋友在後面的問題1做做看。）

　　宴會結束後，回到家的畢達哥拉斯對於地板上的地磚還是念念不忘。

　　他記得三個正方形圍住的形狀剛好是一個等腰直角三角形。他想：如果隨意畫一個直角三角形，將這個三角形的3個邊（例如分別是邊長a、邊長b以及邊長c），各自向外畫出分別是邊長為a、邊長為b以及邊長為c的三個正方形，這三個正方形的面積之間是否也有類似黑白地磚面積之間的關係呢？是否同樣能夠符合「以兩股長度為邊長畫出的2個正方形面積和」，等於「用斜邊長度為邊長所畫出的正方形面積」？

　　接著，他馬上開始畫圖與證明，最後證明了任意直角三角形的三個邊長彼此間的關係式：a2 ＋b2 ＝c2 ，也就是大家所熟知的「畢氏定理」。例如：邊長分別為3cm、4 cm、5 cm的直角三角形，3×3＋4×4＝5×5。又例如邊長分別為5 cm、1 2 cm、13 cm的直角三角形，5×5＋12×12＝13×13。

 

對數字的狂熱

　　畢達哥拉斯非常喜歡數字，可以說已經到了癡狂的地步。他認為宇宙萬物都是數，全部可以由整數或分數來表示。例如他認為1是純潔的、3是高尚的、4是聖潔的、10是萬物之母、……。

　　他認為數字可以成就許多美的事物。如長與寬的比例是多少時，所形成的矩形最美？為此他提出了「黃金分割」與「黃金比例」，對之後的西方建築、繪畫、美學造成巨大影響。

　　另外，你們若有學樂器或學校音樂課，是不是有教Do、Re、Mi等所謂的八度音、全音階？這也是畢達哥拉斯以特定的數字比例，設計琴弦的長度，而定出了這麼優美和諧的音階。

　　你看，畢達哥拉斯是不是很厲害啊！

 

小故事大哉問

　　小朋友，聽完以上故事，我們一起來討論看看下列問題：

  1. 故事裡黑白地磚圖案中，有大的橘色正方形、大的綠色正方形以及大的藍色正方形。 小朋友，請你數數看各正方形裡面分別有多少個三角形？請問數量是不是同樣符合「大的綠色正方形內的三角形數量」，加上「大的藍色正方形內的三角形數量」，剛好等於「大的橘色正方形內的三角形數量」？
  2. 下圖中，橫向點與點間的距離與直向點與點間的距離都是1公分。請你算出這三個正方形的面積各為多少？請問「1號正方形」的面積加上「2號正方形」的面積，是否等於「3號正方形」的面積呢？

代數之父花拉子米

代數之父花拉子米

文／林原宏（國立臺中教育大學數學教育學系教授）、李英（數學教育文教工作專任老師）

 

　　小朋友，提到「阿拉伯」，你會想到什麼？石油？沙漠？駱駝？魔毯？還是阿拉丁神燈？哈哈！希望你有想到我們每天都會使用到的「阿拉伯數字」（現在已改稱為「印度－阿拉伯數字」）。

　　以前，世界各地所使用的數字符號是不相同的，彼此很難溝通。現在都一樣了，變得超級方便。你知道促成這件事的大功臣是誰嗎？就是早期阿拉伯世界最傑出的數學家——花拉子米（Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi，約西元780年～西元850年），他同時也是著名的天文學家及地理學家。

　　當我們想知道「杯子裡原有一些咖啡，加入75毫升的鮮奶，現在杯裡有225毫升的拿鐵咖啡。請問杯子裡原有多少毫升的咖啡？」用x表示原有x毫升咖啡，這題可以列成「x＋75＝225」。

　　「冰箱裡有一包米，吃掉公斤，還剩下公斤，請問這包米原來重多少公斤？」用y來表示原來有y公斤的米，這題的解法可以列成 「y－ ＝」。請你猜猜最早想出利用x、y、z這類符號來表示數量的人是誰？沒錯！就是花拉子米。

 

生平

　　關於花拉子米的出生地點及時間，因為目前能掌握的資料很少，沒有人能確定。後來的人經由他的名字，猜測可能是在當時的波斯帝國東部（也就是現在的烏茲別克花拉子模州），但對於他發展長才的地點就非常確定了。

　　花拉子米成年後到當時的文化、經濟中心巴格達城居住，他受邀至國王創立的研究中心「智慧館」（house of wisdom）擔任學者，將大量希臘與印度的數學、科學手稿翻譯成阿拉伯文。在飽讀世界知識的精華後，花拉子米進一步做出更深更廣的研究，陸續寫出兩本影響後世非常深遠的巨著。

 

代數之父

　　由花拉子米撰寫的其中一本書為《印度數字算術》，簡稱《算術》。在這本書中詳細的介紹印度十進位制，及如何使用「1、2、3、4、5、6、7、8、9、0」來表示數量，還有加、減、乘、除等運算法則。另外，「演算法」的英文是「Algorithm」，小朋友，你知道它是怎麼來的嗎？是從這本書的拉丁文版書名中的一個字「Algoritmi」轉變過來的。

　　他的另一本重要著作是《還原與平衡計算簡書》，簡稱《代數學》。花拉子米雖然不是歷史上第一個會解方程式的數學家，但他是第一位系統性寫出一元一次及一元二次方程式一般解法的人。而且除了用代數的方法，他還可以用幾何的方法來處理。

　　小朋友，可不要以為這本書都在講怎麼解方程式呵！書中針對許多日常生活會遇到的問題都有提出實際的解決辦法。例如：土地如何劃分、工資如何計算、遺產如何分配等問題，可是非常實用的一本書！

　　另外，「代數」的英文為「Algebra」，是由這本書書名中的一個字「al-jabr」演變過來的。哇！又是跟花拉子米有關，難怪後人尊稱他為「代數之父」。

　　小朋友，升上國中後，你將正式體驗代數的威力，請拭目以待囉！

 

上至天文，下至地理

　　在天文及地理學方面，花拉子米編製了阿拉伯最早的曆表《阿爾．花拉子米曆表》，被普遍使用於整個伊斯蘭世界100多年。他也編寫一本《大地形狀》，書中附有一張偏圓形狀的地圖，上面標示有經緯度、地形及氣候的劃分，還記載著537處地名。另外，他也對日晷的理論與結構做了重要改進，方便各地清真寺計算出做禮拜的正確時間。

　　小朋友，關於阿拉伯世界，你不只知道「阿拉丁神燈」的故事，你現在還知道了巴格達城（現為伊拉克的首都），曾經出現過一位超級優秀的數學家呵！

 

小故事大哉問

　　小朋友，聽完以上故事，我們一起來討論看看下列問題：

  1. 請問0、 1、 2、……、9這些數字符號，為什麼會從「阿拉伯數字」，改稱為「印度－阿拉伯數字」呢？
  2. 假如今天在巴格達城裡，有一個家庭的父親去世了，他們家唯一的駱駝是這位父親的遺產。父親在他的遺囑中寫著：「我死後要將我遺產的給我的好友阿丁，遺產的留給我的老婆，剩下的平均分配給我2個兒子。」 家人按照父親的遺囑將駱駝賣掉，獲得了80枚巴格達幣。請問他的每個兒子可以獲得幾枚巴格達幣？（請先用x表示兒子可以獲得的巴格達幣數量，再列出算式算算看。）

【108新綱教材理念】中年級幾何這樣教

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