作者：教學科-組別1

萬物皆數畢達哥拉斯

萬物皆數畢達哥拉斯

文／林原宏（國立臺中教育大學數學教育學系教授）、李英（數學教育文教工作專任老師）

 

　　小朋友，你有沒有看過這樣用黑色、白色正方形地磚鋪出來的地板？如果讓你盯著這地板看個幾分鐘，你會想到什麼呢？

　　在2500多年前，有個人參加宴會時看到類似這樣排列的地板，沒想到他竟然因此發現了三角形與正方形面積之間的關係，接著推論出所有直角三角形3個邊長之間的關係式，進而寫出了「畢氏定理」。（升上國中就會學到呵！）

　　這個人是誰呢？他就是鼎鼎大名的畢達哥拉斯（Pythagoras, 西元前570年～西元前495年），古希臘的數學家、哲學家及音律學家。他與中國著名的孔子，大約是同一個時期。

 

生平

　　畢達哥拉斯出生於地中海的薩摩斯島（Samos），他的家境富有，年少時期隨著經商的父親四處遊歷，30歲後到埃及與巴比倫學習數學、幾何、宗教、音樂等。50歲時，畢達哥拉斯回到故鄉薩摩斯，他還組織了一個專門研究數學及哲學的團體，後人稱之為「畢達哥拉斯學派」。

　　小朋友，你知道這個學派的學員每次要進入團體研究學習時，可都要有通關密語的。喔不！是通關用的祕密符號。猜猜看，是什麼符號呢？答案是「五芒星」，也就是「」，要畫給守在門口的警衛看才可以進去喔，特別吧！

 

從地磚到畢氏定理

　　先來介紹一下「黑白地磚」。小朋友，請看下面的圖案。有沒有看到橘色的、綠色的、藍色的大正方形及小正方形各一個？而且這些正方形是由黑色及白色的等腰直角三角形組合而成的。

　　畢達哥拉斯看到「小的橘色正方形內的三角形數量」（4個），剛好是「小的綠色正方形內的三角形數量」（2個）加上「小的藍色正方形內的三角形數量」（2個）。（大正方形部分，請小朋友在後面的問題1做做看。）

　　宴會結束後，回到家的畢達哥拉斯對於地板上的地磚還是念念不忘。

　　他記得三個正方形圍住的形狀剛好是一個等腰直角三角形。他想：如果隨意畫一個直角三角形，將這個三角形的3個邊（例如分別是邊長a、邊長b以及邊長c），各自向外畫出分別是邊長為a、邊長為b以及邊長為c的三個正方形，這三個正方形的面積之間是否也有類似黑白地磚面積之間的關係呢？是否同樣能夠符合「以兩股長度為邊長畫出的2個正方形面積和」，等於「用斜邊長度為邊長所畫出的正方形面積」？

　　接著，他馬上開始畫圖與證明，最後證明了任意直角三角形的三個邊長彼此間的關係式：a2 ＋b2 ＝c2 ，也就是大家所熟知的「畢氏定理」。例如：邊長分別為3cm、4 cm、5 cm的直角三角形，3×3＋4×4＝5×5。又例如邊長分別為5 cm、1 2 cm、13 cm的直角三角形，5×5＋12×12＝13×13。

 

對數字的狂熱

　　畢達哥拉斯非常喜歡數字，可以說已經到了癡狂的地步。他認為宇宙萬物都是數，全部可以由整數或分數來表示。例如他認為1是純潔的、3是高尚的、4是聖潔的、10是萬物之母、……。

　　他認為數字可以成就許多美的事物。如長與寬的比例是多少時，所形成的矩形最美？為此他提出了「黃金分割」與「黃金比例」，對之後的西方建築、繪畫、美學造成巨大影響。

　　另外，你們若有學樂器或學校音樂課，是不是有教Do、Re、Mi等所謂的八度音、全音階？這也是畢達哥拉斯以特定的數字比例，設計琴弦的長度，而定出了這麼優美和諧的音階。

　　你看，畢達哥拉斯是不是很厲害啊！

 

小故事大哉問

　　小朋友，聽完以上故事，我們一起來討論看看下列問題：

  1. 故事裡黑白地磚圖案中，有大的橘色正方形、大的綠色正方形以及大的藍色正方形。 小朋友，請你數數看各正方形裡面分別有多少個三角形？請問數量是不是同樣符合「大的綠色正方形內的三角形數量」，加上「大的藍色正方形內的三角形數量」，剛好等於「大的橘色正方形內的三角形數量」？
  2. 下圖中，橫向點與點間的距離與直向點與點間的距離都是1公分。請你算出這三個正方形的面積各為多少？請問「1號正方形」的面積加上「2號正方形」的面積，是否等於「3號正方形」的面積呢？

代數之父花拉子米

代數之父花拉子米

文／林原宏（國立臺中教育大學數學教育學系教授）、李英（數學教育文教工作專任老師）

 

　　小朋友，提到「阿拉伯」，你會想到什麼？石油？沙漠？駱駝？魔毯？還是阿拉丁神燈？哈哈！希望你有想到我們每天都會使用到的「阿拉伯數字」（現在已改稱為「印度－阿拉伯數字」）。

　　以前，世界各地所使用的數字符號是不相同的，彼此很難溝通。現在都一樣了，變得超級方便。你知道促成這件事的大功臣是誰嗎？就是早期阿拉伯世界最傑出的數學家——花拉子米（Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi，約西元780年～西元850年），他同時也是著名的天文學家及地理學家。

　　當我們想知道「杯子裡原有一些咖啡，加入75毫升的鮮奶，現在杯裡有225毫升的拿鐵咖啡。請問杯子裡原有多少毫升的咖啡？」用x表示原有x毫升咖啡，這題可以列成「x＋75＝225」。

　　「冰箱裡有一包米，吃掉公斤，還剩下公斤，請問這包米原來重多少公斤？」用y來表示原來有y公斤的米，這題的解法可以列成 「y－ ＝」。請你猜猜最早想出利用x、y、z這類符號來表示數量的人是誰？沒錯！就是花拉子米。

 

生平

　　關於花拉子米的出生地點及時間，因為目前能掌握的資料很少，沒有人能確定。後來的人經由他的名字，猜測可能是在當時的波斯帝國東部（也就是現在的烏茲別克花拉子模州），但對於他發展長才的地點就非常確定了。

　　花拉子米成年後到當時的文化、經濟中心巴格達城居住，他受邀至國王創立的研究中心「智慧館」（house of wisdom）擔任學者，將大量希臘與印度的數學、科學手稿翻譯成阿拉伯文。在飽讀世界知識的精華後，花拉子米進一步做出更深更廣的研究，陸續寫出兩本影響後世非常深遠的巨著。

 

代數之父

　　由花拉子米撰寫的其中一本書為《印度數字算術》，簡稱《算術》。在這本書中詳細的介紹印度十進位制，及如何使用「1、2、3、4、5、6、7、8、9、0」來表示數量，還有加、減、乘、除等運算法則。另外，「演算法」的英文是「Algorithm」，小朋友，你知道它是怎麼來的嗎？是從這本書的拉丁文版書名中的一個字「Algoritmi」轉變過來的。

　　他的另一本重要著作是《還原與平衡計算簡書》，簡稱《代數學》。花拉子米雖然不是歷史上第一個會解方程式的數學家，但他是第一位系統性寫出一元一次及一元二次方程式一般解法的人。而且除了用代數的方法，他還可以用幾何的方法來處理。

　　小朋友，可不要以為這本書都在講怎麼解方程式呵！書中針對許多日常生活會遇到的問題都有提出實際的解決辦法。例如：土地如何劃分、工資如何計算、遺產如何分配等問題，可是非常實用的一本書！

　　另外，「代數」的英文為「Algebra」，是由這本書書名中的一個字「al-jabr」演變過來的。哇！又是跟花拉子米有關，難怪後人尊稱他為「代數之父」。

　　小朋友，升上國中後，你將正式體驗代數的威力，請拭目以待囉！

 

上至天文，下至地理

　　在天文及地理學方面，花拉子米編製了阿拉伯最早的曆表《阿爾．花拉子米曆表》，被普遍使用於整個伊斯蘭世界100多年。他也編寫一本《大地形狀》，書中附有一張偏圓形狀的地圖，上面標示有經緯度、地形及氣候的劃分，還記載著537處地名。另外，他也對日晷的理論與結構做了重要改進，方便各地清真寺計算出做禮拜的正確時間。

　　小朋友，關於阿拉伯世界，你不只知道「阿拉丁神燈」的故事，你現在還知道了巴格達城（現為伊拉克的首都），曾經出現過一位超級優秀的數學家呵！

 

小故事大哉問

　　小朋友，聽完以上故事，我們一起來討論看看下列問題：

  1. 請問0、 1、 2、……、9這些數字符號，為什麼會從「阿拉伯數字」，改稱為「印度－阿拉伯數字」呢？
  2. 假如今天在巴格達城裡，有一個家庭的父親去世了，他們家唯一的駱駝是這位父親的遺產。父親在他的遺囑中寫著：「我死後要將我遺產的給我的好友阿丁，遺產的留給我的老婆，剩下的平均分配給我2個兒子。」 家人按照父親的遺囑將駱駝賣掉，獲得了80枚巴格達幣。請問他的每個兒子可以獲得幾枚巴格達幣？（請先用x表示兒子可以獲得的巴格達幣數量，再列出算式算算看。）

【108新綱教材理念】中年級幾何這樣教

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【108新綱教材理念】教好四年級四則運算

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【108新綱教材理念】生活中的列表與規律

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解鎖密碼「五五學習方陣」

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解鎖密碼「五五學習方陣」

解鎖密碼「五五學習方陣」

文/新北市私立及人小學 吳月貴老師

一、前言

　　「五五學習方陣」是從一個簡單的數學小遊戲，歷經多年的教學應用及改良，成為今日有多版本的學習遊戲。「基礎版」是簡易的五五數學方陣，承襲當年看到的原始設計，只是將它廣泛應用於高年級數學領域各單元，作為單元複習或多單元統整複習，皆有不錯的成效；「進階版」的進階程度，來自誘答的複雜性，對學生而言，深具挑戰性；「統整版」是筆者發展的教學設計，融入多領域的知識內涵，讓學生藉由遊戲，熟練各領域的概念，藉此增進各項能力。每屆實施此教學活動，學生總是興致高昂，具有高度的完成動力，有助於對習題的精熟練習。

 

二、文獻探討

　　筆者利用五五方陣設計一連串延伸的教學方陣，起源於大約三十年前在報紙副刊上看到的數學小遊戲。後來在各種數學遊戲書籍中所見到的許多「方陣」的數學遊戲，皆是指在每個格子中填上一個自然數，使直、橫、斜加起來都變成相同的數目，有三方陣、四方陣、五方陣等不同的數學益智遊戲(1)。有些書籍內容則將它命名為「魔方陣」，它根源於中國古時的「幻方」(2)。

　　有一篇來自智利的4-5年級數學教學活動，名稱為「恆星益智遊戲。乘法遊戲」(3)。遊戲方式是利用12塊三角形重新拼排成六角星形，每塊三角形的邊上包含兩個乘法和一個答案，將兩塊三角形放在一起，使乘法和答案緊挨著，最後會出現一個漂亮的六角星形。這種利用兩個邊緊挨著「題目-答案」組合的遊戲方式，即為本文學習方陣的解鎖方式。

 

三、動手做數學方陣

　　製作五五數學方陣需要一些訣竅和時間，先以三三數學方陣為例，說明它的製作方式及需要注意的小妙招。後文的五五方陣或其他方陣則依此法衍生。

步驟一：畫「空白表格」，如下圖：

　　先畫好一個 3格×3格的三三數學方陣，英文字母是決定數字卡的方向。此圖是在PPT上繪製出的表格。

步驟二：製作「解答」，如下圖：

　　依序將設計好的算式及答案，填在相鄰的邊上，此為「解答」。例如：「26+34=60」，「26+34」置放在數字卡E的下方，「60」置放在數字卡B的上方；「8×17=136」，「8×17」置放在數字卡E的右方，「136」置放在數字卡A的左方。選擇PPT繪製，便是因為圖文皆可旋轉角度，方陣裡的算式或答案可以依照構思作排列。

步驟三：製作「題目」，如下圖：

　　將解答沿著方陣的經緯線剪開，成為一張張如下圖的數字卡，再重新隨機安置，變成「題目」。製作題目時需要注意英文字母的方向。

 

四、數學方陣在教學上的應用

(一)「基礎版」五五數學方陣

　　學生拿到數學方陣的題目後，先沿著方陣的經緯線剪開，成為一張一張的數字卡，再按照相鄰為正確的題目及答案的組合來重新拼排。

　　當學生嘗試幾次遊戲後，會發覺有些數字卡的上下、左右方有一些空白處，進而察覺該數字卡應該置放於方陣的旁邊或四個角落，而加速他們完成數學方陣，不過並不影響學生對數學基礎概念複習的初衷。此款能加速完成的數學方陣設計為「基礎版」。

　　在多年設計五五數學方陣的經驗中，任何單元的數學概念皆可入題，只要題目不過長，以計算題為佳，畢竟當初設計的起點就是為了加強學生的計算能力。此款「基礎版」共需要40組題目和答案。

▲ 圖A

　　在同一個五五數學方陣中，可以選擇同一個單元入題，當作單元複習，以上圖圖A為例，那是五年級上學期「多位數的乘除法」單元，遊戲設計目的即為供學生增進該單元的計算能力；也可以多個單元入題，當作總複習，以下圖圖B為例，那是融合五年級下學期「分數」、「體積」、「容積」、「時間的計算」等單元的設計。

　　下圖圖B是「基礎版」的題目，下圖圖C是它的解答。在學生完成方陣組合的過程中，曾經詢問老師:為什麼有時候同一份五五數學方陣上會出現重複的英文字母？老師笑而不答，只告訴學生:那是提醒作答者要將數字卡擺正！事實上，那是別有用意的設計。

　　在圖C解答中，第一橫排的英文字母是「ORDER」，第二橫排的英文字母是「CANDY」，第三橫排的英文字母是「PIZZA」，第四橫排的英文字母是「SNACK」，第五橫排的英文字母是「SUGAR」，它的設計是方便老師批閱或對答案，還可以順便檢驗學生對英文單字的認識。

▲ 圖B

▲ 圖C

(二)「進階版」五五數學方陣

　　下圖圖D是五年級下學期「小數的乘除法」單元，任何一張數字卡的上下、左右方都有題目或答案，也就是學生不能再心存僥倖想快速完成，他們必須一題一題計算，先找出兩兩相對的「題目-答案」組合，再依照線索拼排成正確的方陣。此款必須按部就班計算的數學方陣設計為「進階版」。

▲ 圖D

　　此款「進階版」共需要40組位於經緯線上正確的題目和答案，和另外10組分別散置在周圍邊上混淆作答的題目和答案。這10組題目和答案的誘答性愈高，愈能增加完成此方陣的難度，教師可以依照學生程度進行設計。

(三) 跨領域的「統整版」五五學習方陣

　　「統整版」為融合數學、國語、自然、社會、英文等多項領域而設計的進階版五五學習方陣。要選擇哪些領域、那些單元入題，以教學目的導向，可靈活運用，增添教學趣味，提高學習成效。

　　下圖圖E是融合數學、國語的「基礎統整版」，因為在某些數字卡的周圍仍可見未安排題目或答案，所以作答者能先行大致安排方陣周圍的數字卡，接著再逐步破解、尋找每一組答案。

　　下圖圖F是融合數學、國語、社會、自然、英文的「進階統整版」，因為每一張數字卡的周圍都有題目或答案，作答者必須逐步破解、尋找每一組答案，因為其中有些誘答的題目或答案干擾遊戲進行，所以還要兼顧排列位置，最後才能完成拼圖。這款設計頗受學生喜愛，因為可以檢驗自己對課程內容的複習程度，還能紓解評量考前的緊張壓力。

▲ 圖E

▲ 圖F

 

五、後語

　　經過多年的教學應用，發覺完成方陣需要多項能力，從最基礎的計算能力，到高階的組合邏輯，尤其是誘答性高的進階版數學方陣。進行方式可以採取以單元複習為目的，讓學生熟練該單元的概念或計算技能；有時則是期中、期末評量前的「減壓」複習，學生透過它更加精熟學習重點，但卻以為只是遊戲而樂於完成；我們還嘗試運用在大型的親子數學闖關遊戲中，讓學生組隊，藉由分組合作學習，完成解鎖五五數學方陣的任務，家長可從旁協助小組成員，進而了解自己孩子的能力高低，是一舉多得的活動及教材設計。

　　在設計五五數學方陣的過程中，製作解答、重新安排題目的步驟相對簡易，真正繁複的部分是在電腦PPT上的作業。未來若能寫出程式設計軟體，教師只需要選擇想製作的學習方陣種類，例如：二二方陣、三三方陣、四四方陣、五五方陣……，再鍵入所需要的題組，即可自動、隨機組成基礎版、進階版、統整版的學習方陣，甚至變成學習遊戲軟體，讓學生可以在家操作、複習功課，相信必能促使學生樂在學習中。

 

(點我下載PPT)

六、參考書目

1. 文明豐編著（1987）。《增進計算能力的數學遊戲》。臺北：益群書店。

2. Claudia Zaslavsky（2002）。《生活科學28民俗數學遊戲》。陳昭蓉譯。臺北：遠哲科學教育基金會。

3. Pérez ，M.C. （2016）。JUEGO PUZZLE ESTELAR. JUEGO DE MULTIPLICAR（恆星益智遊戲。乘法遊戲）。（2022-8-21）
    https://www.aulapt.org/2016/02/13/juego-puzzle-estelar/

國小數學-Wordwall-四年級

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