理解乘除互逆關係 從總量連減引入除式
文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）
國小整數運算，低年級以加減為主，中年級以乘除為主，其中十十乘法的概念從九年一貫課綱開始，就提前至二年級課程；延續前文介紹的加減互逆主題，本文將以乘除互逆為主軸，來談算術思維階段的相關教學。
除法問題基本型 等分除與包含除
二年級下學期的「分裝與平分」單元，為除法概念的前置單元，分裝是「包含除」的前置概念，例如題目1：18顆糖果，每6顆一包，分分看有幾包？經過操作會看到有3包，也就是有3個6。
平分是「等分除」的前置概念，例如題目2：18顆糖果，平分給6個人，每人可以分到幾顆？經過操作，每人有3顆，也就是有6個3。這兩個問題的除法算式都是18÷6＝3，但從結果來看，分裝的結果是3個6，可以記做6×3＝18；平分結果是6個3，可記做3×6＝18。
三年級首教除法，通常會從整除入手，以題目2為例，學生如何認識「÷」的概念？
通常等分除的解題操作並不難，但要從總量連減算式中，引入分的摘要記錄「除式」；分的過程需透過「1人一次分1顆」的語意轉換為包含除，產生以顆來連減的算式18－6＝12、12－6＝6、6－6＝0，進而引出除式18÷6＝3。
學生在「分裝與平分」單元看到乘法算式3×6＝18，首教除法又是整除，誤以為除法算式18÷6＝3就是從乘法來互逆；殊不知分的過程是除式18÷6＝（）中有幾個6，18÷6＝3一人分到3顆，而分的結果是乘式3×6＝18有6個3、3有6個。
回到包含除，以題目1為例，過程是18÷6＝（）中有幾個6，18÷6＝3可以裝成3包，分的結果卻是乘式6×3＝18，有3個6、6有3個；包含除的乘除互逆關係是18÷6＝3和6×3＝18，而等分除的乘除互逆關係是18÷6＝3和3×6＝18，它們是不一致的。
誤用乘除互逆關係學除法，遇到除數一位且有餘的除法就會有困難，因為怎麼背十十乘法就是找不到答案。
培養學生除法估商 不可只做整除問題
除法概念不宜在學過「分裝與平分」後，就直接從乘法算式導入乘除互逆概念；應在乘除概念都具備後，才進行乘除互逆的相關教學。
在「分裝與平分」單元中，分的結果是乘法算式，它只和除法算式18÷6＝（）的估商有關；估商在找有幾個6，6×2＝12可以再分，6×3＝18是6有3個，若針對包含除，就是每包6顆、有3包；若針對等分除，就是分給6人、每人有3顆。
首教除法不要只做整除問題，最佳的「除數一位」教學從有餘數的問題入手，如20÷6＝（）…（），利用除法直式中先乘再減的思維，試試6×2＝12、20－12＝8，再修正成6×3＝18、20－18＝2，培養學生估商的能力，避免以為除法求答只要背十十乘法就好。
學生若無除數一位的估商經驗，到了「除數二位」問題，例如85÷23＝（）…（），要透過估商解題就非常困難了。學生解題很難一次到位，可以先將23想成20，在除法直式上很容易看出20的4倍是80，先試試看23×4＝92，超過85了，再修正為23×3＝69、85－69＝16，得出80÷23＝3…16。
所以，除法概念建立應從總量連減引入，當學生了解「÷」的意義，會列除法算式時，就可用除數的幾倍估商，在估商的時候就會和除數的倍數有乘除互逆關係。
空格算式記錄問題 掌握乘除互逆關係
乘法問題的基本型是等組型，例如一盒雞蛋有6個，5盒雞蛋有幾個？除法問題的基本型是包含除、等分除；它們也有改變量（乘數、除數）未知、起始量（被乘數、被除數）未知的進階型問題，例如 6×（）＝30、（）×5＝30、（）÷6＝5、（）÷5＝6，當學生掌握部分量和整體量的乘除互逆關係後，就可分別從30÷6＝5，得出雞蛋有5盒；30÷5＝6，得出每盒有6個雞蛋、6×5＝30，得出共有30個雞蛋。但是30÷（）＝5、30÷（）＝6就不能用乘除互逆解題，而是30÷5＝6，每盒有6個雞蛋；30÷6＝5，雞蛋有5盒。
因此，除法的進階問題，例如包含除（）÷7＝4…2、30÷（）＝4…2，它們的算術作法分別是7×4＝28和28＋2＝30、30－2＝28和28÷4＝7。
因為除法原理a÷b＝c…d且0≦d＜b，以及a÷b＝a/b，前者是一般除法算式；所以不論整除或有餘的除法問題，最好能認識標準除式記錄，例如28÷7＝（）…（）、30÷7＝（）…（），餘0就是整除／沒有剩下。但很多親師會認為整除時，何必那麼麻煩寫餘0？那是因為在列除法算式，尚未求解前，不能從題意判斷是否有餘；不要讓學生未求解就要判斷結果是整除或有餘。
（本文原刊載於《國語日報》2021年3月24日13版）
