作者：教學科-組別1

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博學多才祖沖之

文／林原宏（國立臺中教育大學數學教育學系教授）、李英（數學教育文教工作專任老師）

 

　　小朋友，你知道哪種人物可以出現在中國、香港及幾內亞共和國的郵票上？嗯，一定是位有重要貢獻，受到世人肯定與推崇的大人物。沒錯！你知道每年3月14日是什麼日子嗎？是一年一度全球數學界慶祝某個「數」的節日。許多大學的數學系所還會在這天舉辦派對慶祝呢！它就是「國際圓周率日」。那你知道有位人物因為圓周率而出名，而且重要到郵票上及紀念幣上都有他的人像嗎？他就是中國古代的優秀數學家祖沖之。

 

生平

　　祖沖之（西元429～500年）是南北朝時代的南宋數學家及天文學家。在數學、天文與機械製造三個領域均有卓越成就。因為祖父、父親都是官員，非常注重晚輩的教育，所以祖沖之從小就閱讀大量數學及天文方面的書籍。他最為人知的是將圓周率（以π表示）算出小數點後第7位的精確值，3.1415926＜π＜3.1415927（意思就是圓周率比3.1415926大，但是比3.1415927小），這個精確值的紀錄，一直等到一千多年以後才有其他數學家突破。（今日是3.141592653589793…）

 

圓周率

　　關於祖沖之是如何算出圓周率的詳細方法，據說記載在他的著作《綴術》中，只可惜此書已經失傳，所以沒有人能知道確實的方法。後人猜測祖沖之是利用劉徽的「割圓術」，將圓繼續分割到正二萬四千五百七十六邊形（正24576邊形）後，所算出來的。想必這個過程一定非常辛苦！因為當時還沒有發明計算機來當工具，要計算這麼大的位值，只能利用一根一根的算籌（小竹棍、細木棍）慢慢擺放；當時印度阿拉伯數字還沒有傳入中國，無法方便做紀錄，只能用毛筆沾墨慢慢寫；就這樣，一邊畫、一邊擺、一邊算、一邊記錄，可以想像那是一個多麼浩大的工程啊！除了數學好，還要很細心呢！

　　他也將圓周率以分數表示，其中一個為「約率」＝，另一個為「密率」＝。因為這個「密率」的表示方式，比歐洲人整整早了一千年提出，所以日本及西方數學界均將，這個代表圓周率的分數稱為「祖率」。還有一個關於數學方面的重要貢獻是，祖沖之與他的兒子祖暅共同算出了球的體積為（其中d為球的直徑），後人為紀念他們父子，稱此為「祖暅原理」。

　　祖沖之三十歲時，為改善舊曆（元嘉曆）的誤差，創製了「大明曆」，是中國曆法史上第一次將「歲差」引進曆法。定出一個「回歸年」（從一個冬至到下一個冬至所經歷的時間，也就是地球繞太陽一周的時間）是（＝365.24281481日），今天測得的是365.2421988日，竟然已經準確到小數點後第3位。這個新曆法也更能精準的預測出日蝕及月蝕的日期。是不是很厲害啊！西方的天文學界為了紀念他，還將月球上其中一個環形山，命名為祖沖之環形山。還有一個小行星叫做祖沖之小行星。

 

其他卓越成就

　　祖沖之晚年，花許多時間在機械設計及製作上，著名的有「指南車」（圖1），是一輛行進間不論如何轉彎，小銅人永遠指著南方的車；「千里船」，是一天可航行一百多里的船；以及「水碓磨」，是種利用水車帶動杵臼將穀殼去除的機械。小朋友，你說祖沖之是不是一位非常博學多才的數學家呢？

圖1：指南車

 

小故事大哉問

　　小朋友，聽完以上故事，我們一起來討論看看下列問題：

1. 小朋友，請你將「約率」及「密率」兩個分數，以計算機各自分別換算成小數。（以四捨五入法取至小數點後第7位）
2. 請問為什麼祖沖之算出3.1415926＜π＜3.1415927，我們就說他已經算出圓周率（π）的小數點後第7位的精確值？（而不是小數點後第6位的精確值）

 

協助學童數概念發展的理念與活動安排

 

文/游自達(臺中教育大學教育學系副教授)

 

　　筆者在「兒童對全數的理解與解題」一文中曾指出，國小低年級數與計算教材所處理的內容大多在於發展新計數單位，並以新的計數單位解決新的問題。「單位與單位化」的活動乃是數與計算教學活動的重要環節。

　　低年級兒童藉由一一對應的點數活動，發展出以「一」為單位的數結構（即8是8個一的合成；12是12個一的合成等）。隨著經驗的累積與重組，學童的數概念結構產生變化。透過量的合成與分解活動，學生認識構成某量的不同部分（例如：8可以分成5和3、2和6等；5和3合起來是8，2和6合起來也是8），並認識量的部分整體關係。當合成的結果大於10時，「十幾」的認識活動引導學生從多個「一」的合成，逐步發展出「十」和「一」兩階單位合成的認識。舉例來說，「12」可以是「12的一」、「8個一和4個一的合成」、「8和4個一的合成」或「9和3個一的合成」，也可以是「10和2個一的合成」（兩個以一為單位的量的合成）。透過適當的學習引導，學生將發展出「12」是「10和2的合成」（部分整體的思考）的理解。兒童對於「十」和「一」的兩階單位認識係後續發展二位數的概念與位值理解的基礎。

　　基於概念理解與循序發展的考量，教學上需要依據學生的心理發展，結合具體活動、表徵活動、抽象運思活動來提升學生的數概念理解。換句話說，數學概念的教學活動需要以學生生活經驗的初始認識為基礎，透過操作活動的安排和學生的解題表現交互運作來提升學生的理解。教學上透過操作活動、數的各種表徵協助學生製造心像（image making）、擁有心像（image having），進而能關注到數的圖像表徵、符號表徵的同一表徵內、不同表徵間的關係和性質，並逐步形式化，提升其對數的概念理解。

　　以翰林版一上第四單元分與合的活動為例，教材從投球進遊戲箱（如圖1）、盒內與盒外物件（如圖2）、一群學生從兩條橋過河（如圖3）、一堆物件分兩手抓握（如圖4）等經驗出發，透過操作活動協助學生發展心像，再結合圖像表徵協助學生覺察量的分與合關係，作為後續以分合關係解決加減法問題的基礎。

圖1：國小數學翰林版一上第4單元

 

圖2：國小數學翰林版一上第4單元 

 

圖3：國小數學翰林版一上第4單元

 

圖4：國小數學翰林版一上學習加油讚（一）

 

　　具體來說，本版教材透過分與合的操作經驗，協助學生發展心像；結合分與合的心像引領關注部份量與整體量之間的關係；部份–整體關係的心像與理解作為學生後續解決加數未知、被加數未知，減數未知、被減數未知的問題的基礎。基於生活經驗，建立意義關聯；從體驗感受出發，形成有感經驗；顧及認知發展，循序深化學習乃是本版教材發展的重要理念，也是活動安排的導引方針。

 

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