月份：九月 2022

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萬物皆數畢達哥拉斯

文／林原宏（國立臺中教育大學數學教育學系教授）、李英（數學教育文教工作專任老師）

　　小朋友，你有沒有看過這樣用黑色、白色正方形地磚鋪出來的地板？如果讓你盯著這地板看個幾分鐘，你會想到什麼呢？

　　在2500多年前，有個人參加宴會時看到類似這樣排列的地板，沒想到他竟然因此發現了三角形與正方形面積之間的關係，接著推論出所有直角三角形3個邊長之間的關係式，進而寫出了「畢氏定理」。（升上國中就會學到呵！）

　　這個人是誰呢？他就是鼎鼎大名的畢達哥拉斯（Pythagoras, 西元前570年～西元前495年），古希臘的數學家、哲學家及音律學家。他與中國著名的孔子，大約是同一個時期。

生平

　　畢達哥拉斯出生於地中海的薩摩斯島（Samos），他的家境富有，年少時期隨著經商的父親四處遊歷，30歲後到埃及與巴比倫學習數學、幾何、宗教、音樂等。50歲時，畢達哥拉斯回到故鄉薩摩斯，他還組織了一個專門研究數學及哲學的團體，後人稱之為「畢達哥拉斯學派」。

　　小朋友，你知道這個學派的學員每次要進入團體研究學習時，可都要有通關密語的。喔不！是通關用的祕密符號。猜猜看，是什麼符號呢？答案是「五芒星」，也就是「」，要畫給守在門口的警衛看才可以進去喔，特別吧！

從地磚到畢氏定理

　　先來介紹一下「黑白地磚」。小朋友，請看下面的圖案。有沒有看到橘色的、綠色的、藍色的大正方形及小正方形各一個？而且這些正方形是由黑色及白色的等腰直角三角形組合而成的。

　　畢達哥拉斯看到「小的橘色正方形內的三角形數量」（4個），剛好是「小的綠色正方形內的三角形數量」（2個）加上「小的藍色正方形內的三角形數量」（2個）。（大正方形部分，請小朋友在後面的問題1做做看。）

　　宴會結束後，回到家的畢達哥拉斯對於地板上的地磚還是念念不忘。

　　他記得三個正方形圍住的形狀剛好是一個等腰直角三角形。他想：如果隨意畫一個直角三角形，將這個三角形的3個邊（例如分別是邊長a、邊長b以及邊長c），各自向外畫出分別是邊長為a、邊長為b以及邊長為c的三個正方形，這三個正方形的面積之間是否也有類似黑白地磚面積之間的關係呢？是否同樣能夠符合「以兩股長度為邊長畫出的2個正方形面積和」，等於「用斜邊長度為邊長所畫出的正方形面積」？

　　接著，他馬上開始畫圖與證明，最後證明了任意直角三角形的三個邊長彼此間的關係式：a² ＋b² ＝c² ，也就是大家所熟知的「畢氏定理」。例如：邊長分別為3cm、4 cm、5 cm的直角三角形，3×3＋4×4＝5×5。又例如邊長分別為5 cm、1 2 cm、13 cm的直角三角形，5×5＋12×12＝13×13。

對數字的狂熱

　　畢達哥拉斯非常喜歡數字，可以說已經到了癡狂的地步。他認為宇宙萬物都是數，全部可以由整數或分數來表示。例如他認為1是純潔的、3是高尚的、4是聖潔的、10是萬物之母、……。

　　他認為數字可以成就許多美的事物。如長與寬的比例是多少時，所形成的矩形最美？為此他提出了「黃金分割」與「黃金比例」，對之後的西方建築、繪畫、美學造成巨大影響。

　　另外，你們若有學樂器或學校音樂課，是不是有教Do、Re、Mi等所謂的八度音、全音階？這也是畢達哥拉斯以特定的數字比例，設計琴弦的長度，而定出了這麼優美和諧的音階。

　　你看，畢達哥拉斯是不是很厲害啊！

小故事大哉問

　　小朋友，聽完以上故事，我們一起來討論看看下列問題：

1. 故事裡黑白地磚圖案中，有大的橘色正方形、大的綠色正方形以及大的藍色正方形。 小朋友，請你數數看各正方形裡面分別有多少個三角形？請問數量是不是同樣符合「大的綠色正方形內的三角形數量」，加上「大的藍色正方形內的三角形數量」，剛好等於「大的橘色正方形內的三角形數量」？
   
2. 下圖中，橫向點與點間的距離與直向點與點間的距離都是1公分。請你算出這三個正方形的面積各為多少？請問「1號正方形」的面積加上「2號正方形」的面積，是否等於「3號正方形」的面積呢？

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代數之父花拉子米

文／林原宏（國立臺中教育大學數學教育學系教授）、李英（數學教育文教工作專任老師）

　　小朋友，提到「阿拉伯」，你會想到什麼？石油？沙漠？駱駝？魔毯？還是阿拉丁神燈？哈哈！希望你有想到我們每天都會使用到的「阿拉伯數字」（現在已改稱為「印度－阿拉伯數字」）。

　　以前，世界各地所使用的數字符號是不相同的，彼此很難溝通。現在都一樣了，變得超級方便。你知道促成這件事的大功臣是誰嗎？就是早期阿拉伯世界最傑出的數學家——花拉子米（Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi，約西元780年～西元850年），他同時也是著名的天文學家及地理學家。

　　當我們想知道「杯子裡原有一些咖啡，加入75毫升的鮮奶，現在杯裡有225毫升的拿鐵咖啡。請問杯子裡原有多少毫升的咖啡？」用x表示原有x毫升咖啡，這題可以列成「x＋75＝225」。

　　「冰箱裡有一包米，吃掉公斤，還剩下公斤，請問這包米原來重多少公斤？」用y來表示原來有y公斤的米，這題的解法可以列成 「y－ ＝」。請你猜猜最早想出利用x、y、z這類符號來表示數量的人是誰？沒錯！就是花拉子米。

生平

　　關於花拉子米的出生地點及時間，因為目前能掌握的資料很少，沒有人能確定。後來的人經由他的名字，猜測可能是在當時的波斯帝國東部（也就是現在的烏茲別克花拉子模州），但對於他發展長才的地點就非常確定了。

　　花拉子米成年後到當時的文化、經濟中心巴格達城居住，他受邀至國王創立的研究中心「智慧館」（house of wisdom）擔任學者，將大量希臘與印度的數學、科學手稿翻譯成阿拉伯文。在飽讀世界知識的精華後，花拉子米進一步做出更深更廣的研究，陸續寫出兩本影響後世非常深遠的巨著。

代數之父

　　由花拉子米撰寫的其中一本書為《印度數字算術》，簡稱《算術》。在這本書中詳細的介紹印度十進位制，及如何使用「1、2、3、4、5、6、7、8、9、0」來表示數量，還有加、減、乘、除等運算法則。另外，「演算法」的英文是「Algorithm」，小朋友，你知道它是怎麼來的嗎？是從這本書的拉丁文版書名中的一個字「Algoritmi」轉變過來的。

　　他的另一本重要著作是《還原與平衡計算簡書》，簡稱《代數學》。花拉子米雖然不是歷史上第一個會解方程式的數學家，但他是第一位系統性寫出一元一次及一元二次方程式一般解法的人。而且除了用代數的方法，他還可以用幾何的方法來處理。

　　小朋友，可不要以為這本書都在講怎麼解方程式呵！書中針對許多日常生活會遇到的問題都有提出實際的解決辦法。例如：土地如何劃分、工資如何計算、遺產如何分配等問題，可是非常實用的一本書！

　　另外，「代數」的英文為「Algebra」，是由這本書書名中的一個字「al-jabr」演變過來的。哇！又是跟花拉子米有關，難怪後人尊稱他為「代數之父」。

　　小朋友，升上國中後，你將正式體驗代數的威力，請拭目以待囉！

上至天文，下至地理

　　在天文及地理學方面，花拉子米編製了阿拉伯最早的曆表《阿爾．花拉子米曆表》，被普遍使用於整個伊斯蘭世界100多年。他也編寫一本《大地形狀》，書中附有一張偏圓形狀的地圖，上面標示有經緯度、地形及氣候的劃分，還記載著537處地名。另外，他也對日晷的理論與結構做了重要改進，方便各地清真寺計算出做禮拜的正確時間。

　　小朋友，關於阿拉伯世界，你不只知道「阿拉丁神燈」的故事，你現在還知道了巴格達城（現為伊拉克的首都），曾經出現過一位超級優秀的數學家呵！

小故事大哉問

　　小朋友，聽完以上故事，我們一起來討論看看下列問題：

1. 請問0、 1、 2、……、9這些數字符號，為什麼會從「阿拉伯數字」，改稱為「印度－阿拉伯數字」呢？
2. 假如今天在巴格達城裡，有一個家庭的父親去世了，他們家唯一的駱駝是這位父親的遺產。父親在他的遺囑中寫著：「我死後要將我遺產的給我的好友阿丁，遺產的留給我的老婆，剩下的平均分配給我2個兒子。」 家人按照父親的遺囑將駱駝賣掉，獲得了80枚巴格達幣。請問他的每個兒子可以獲得幾枚巴格達幣？（請先用x表示兒子可以獲得的巴格達幣數量，再列出算式算算看。）

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