減少限制 提升解題動力與靈活度
文／鍾靜（國立臺北教育大學數資系教授）
親師通常會認為「教什麼就考什麼」是天經地義的事；可是，親師如果能從學童學習的角度來思考，再從各種大型測驗，例如會考、學測、PISA、TIMMES 等評閱標準來觀察，就會發現評量和教學雖然是一體兩面，但仍有不同的考量之處。
本文將分別從教學有高階解法時，或以鷹架提升時，這兩類具有特殊目的的評量觀點，來談我的想法和實務經驗。
教學有高階解法時 評量不宜規範
教師在提升學童數學概念或解法時，經常會出現高階解法的教材，最具代表性的例子就是：學童學過多步驟問題後，教師引用一個算式記錄解題，例如「同樂會有8名男生和16名女生參加，每人繳了100元，共花了1680元，每人可退回多少元？」這項費用問題的解題步驟如解法：引導學童將8＋16＝24（人）、1680÷24＝70（元）、100－70＝30（元）這三個算式寫成一個算式時，要和學童約定運算順序，先算8＋16加括號外，並用（8＋16）替換1680÷24中的24人，記成1680÷（8＋16）＝70（元），再將1680÷（8+16）來替換100－70中的70元，形成併式100－1680÷（8＋16）＝30（元）。
最後，教師還須讓學童認識括號先算、先乘除後加減、由左到右三種運算規則，並配合題意，指導學童檢查算式中是否有可省略的括號。但學童在面對新的應用題時，要先掌握解法，才可能以「一個算式」解題，再用逐次減項及四則運算求答案，如算式：100－1680÷（8＋16）＝100－1680÷24＝100－70＝30（元）。
通常，國際性或國內大型評量很少規範解法，只分析學童能否成功解題；「解題」是數學教育重視的核心能力之一，所以從評量觀點來看，成功解題比規範解法重要。
從國小教育現場的實務考量，教師以教「一個算式」提升學童用高階解法；我的建議是，段考時，酌量一、兩題要求即可，而且剛學時有多的括號也無妨，這樣可鼓勵大多數的學童勇於解題，也區分成就稍高者。因為讓學童評量成績有成就感，絕對比讓學童害怕和排斥數學更重要。
教學以鷹架提升時 評量不宜限制
重視以學生為中心的教學，就會關注學習的近側發展區，以鷹架教學來提升學童的知能。學童學習加法、減法、乘法、除法算式時，都是從結果量未知的問題開始；當面對起始量或改變量未知的問題，大多數的學童是無法直接求解的，例如加數未知問題：「小明存了17元，還要存多少元，才有25元可以得到一張獎卡？」這雖與典型的拿走型問題解法一樣，都是25－17＝8，但是大多數學童心中的減法算式，對應結果量未知的拿走型問題，就是從整體量中取走、用掉、吃掉等部分量。
現因追加型問題的總量是抽象的，須從依題意記錄問題17＋（ ）＝25入手，讓部分量17和整體量25在有括號的算式（算式填充題）中呈現，這時才能協助學童從兩量之間的部分和整體關係，明白為什麼是25－17＝8，明白還要存8元。
除此之外，17＋（ ）＝25和25－17＝（ ）這兩個有括號的算式之間，還有「加減互逆」的關係，這對多數學童而言是抽象的；所以親師不能認為追加型問題，學童不需引導就能直接用減法算式來求解。
碰到起始量或改變量未知的問題，教師引入「先記錄問題，再算算看」，就是要透過依題意記錄的有括號算式，來察覺兩量關係進行解題，這是鷹架教學的作法。
因為部分學童經過學習，已能看到題目中的加減互逆關係，所以這些學童的記錄問題，可能會按解法寫出有括號的算式，如前述追加型問題25－17＝（ ）；但大多數學童還是要依題意將問題寫成17＋（ ）＝25，再從兩量關係中進行解題。
因此「記錄問題」從嚴的說法是依題意記錄，從寬的說是融入解題想法也可以，學童能掌握問題且正確解題最重要。所以評量時，教師對「先記錄問題，再解題」不宜限制作法，但教學時須確定，學童都會依題意記錄問題，以利未來代數列式和解題的學習。
總之，學童在評量時受到不當的規範和限制，往往會讓他們學習受挫、喪失信心；以本文討論的案例來看，如果過於強調「先用一個算式解題，再求答」，這會讓成就較低的學童失去主動解題的動力；如果過於強調「先依題意記錄問題，再解題」，則會讓成就稍高的學童喪失解題的靈活。
親師要了解學童的數學學習有路徑差和時間差，教師雖有教學的目的，但學童會以較有把握的解法處理，別讓評量變成學習的絆腳石。
（本文原刊載於《國語日報》2020年5月27日教育版）