一年級長度教材結構與重點
文/葉啟村（國立臺南大學應用數學系教授）
長度是國小最早學習的量，而量的教學有一套系統性的順序可遵循，以下說明一年級長度教材的結構以及教材的重點。
量與實測教材結構
量與實測所處理的測度量從知覺上可分為感官量與工具量。感官量是指可以用身體的感官器官去發覺此量的存在，例如：長度、面積、體積、重量、角度、容量、速度等都是。工具量則是指須利用工具測量才可得知此量，例如：時間、密度等。一般而言，感官測度量有一套系統性的教學順序可遵循，如下：
(1)某量初步概念。
(2)某量的間接比較。
(3)某量普遍單位比較。
(4)某量的測量單位制度概念。
(5)某量的測量公式概念。
由於長度量為感官量中最易察覺，也是學生最常接觸的測度量。因此，其教學結構也最完整的依循上述的教學順序。
長度與距離
長度是指物體的長，距離則為兩點的直線連線段的長。因此，學生必須先具備長度的概念才能去了解距離的意義。例如：教師在介紹「鉛筆的長在哪裡」時，教師須用手指頭從鉛筆的一端連續移動到另一端（如圖1）。切忌以兩指靜放在鉛筆的兩端，以距離呈現「鉛筆的長」。
圖1：國小數學翰林版一上第2單元
試想一想，倘若為彎曲的物體，將兩指靜放在此物的兩端表達其長度概念，此為錯誤的教學模式。
長短、高矮與厚薄
長度用於日常生活中術語，有長短、高矮與厚薄。長短是學生最易看到的且經常使用的長度量，高矮其次，最後是厚薄。有些學生會將身高誤解成頭頂端離地面距離，因此教師應運用「長度的初步概念」，用手指頭從人體的腳底一端連續移動到頭頂一端，以讓學生知道身高的意義（如圖2）。
圖2：國小數學翰林版一上第2單元
同理，厚薄的比較也應將其長度量以線段呈現（如圖3），使學生了解厚薄的意義。
圖3：國小數學翰林版一上第2單元
直觀比較、直接比較與間接比較
直觀比較是指只要透過感官且不需要其他工具或策略就能比較出兩量的大小。通常兩物測度量的差距很大，教學上通常用來檢查學生是否了解此測度量的初步概念。
直接比較是運用策略與推理比較出兩物的長。通常兩物測度量的差距很小，必須透過比對才能發現大小。比對方式採用的策略有兩種：
(1)對齊一端再觀察另一端距離對齊一端的遠近（運用距離概念）。
(2)將一物內嵌於另一物，有可能兩端都沒有對齊（運用長度的初步概念）。
間接比較是指兩物無法運用直接比較策略比較出兩物的長，因此必須先複製其中一物的長（有時必須兩物的長都複製），再與另一物做直接比較（如圖4）。也就是說，間接比較運用了遞移律：a＞b且b＝c則a＞c。
圖4：國小數學翰林版一上第2單元
所以在教學上的安排是：直觀比較→直接比較→間接比較。
長度的保留概念與間接比較
所謂量的保留概念是指「物體的該測度量不會因時間、地點或形變而改變」，長度的保留概念可分為三種：
(1)物體移動時，移動前與移動後之長度不變。
(2)物體改變形狀時，形變前與形變後之長度不變。
(3)物體細分成幾個小單位長時，細分前之長度等於細分後小單位之長度總和。
依據上述保留概念，「長度的間接比較」可分為兩個層次：
(1)利用繩子複製其中一物的長（有時必須兩物的長都複製），再將繩子拉直後做直接比較。
圖5：國小數學翰林版一下第2單元
(2)將兩物的長分別細分成數個相同單位，再比較其單位的數量。
圖6：國小數學翰林版一下習作綜合練習(一)
前者可稱為「狹義的長度間接比較」，後者則統稱為「長度的個別單位比較」。
長度的合成和分解活動
在國小數學第一冊中，學生學會了使用「加法算式」與「減法算式」記錄數量的併加型、添加型和拿走型，在國小數學第二冊將延伸至記錄「長度的合成和分解活動」。這是學生使用算式記錄「測度量的合成和分解活動」的啟蒙活動，因此務必仔細與審慎處理。
進行長度的合成與分解活動前，要先建立學生「能將物體細分成幾個個別單位的長」之保留概念，成功地將物體的長轉移到個別單位的數量個數。接著，進行長度的合成的計算，如：「兩條魚接起來的長」，就等同計算「兩組數量的總和」。學生自然理解「加法算式」記錄「長度合成」的意義，勿須盲目背誦。
圖7：國小數學翰林版一下第2單元
「拿走型問題」為學生學習「減法算式記錄」的基本題型。因此先利用「將物體細分成幾個個別單位的長」的保留概念，將「長度的拿走型問題」轉化成「數量的拿走型問題」，進而能使用「減法算式」記錄該類問題。
圖8：國小數學翰林版一下第2單元
一年級時僅需處理「某量初步概念」和「某量的間接比較」，而「某量普遍單位比較」之「公分、公尺」普遍單位的建立，將留待二年級時處理。
