多步驟問題 考量運算規則列式與求解
文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）
學生在四年級下學期就會進到兩步驟問題的列式和求解，五年級則學習三步驟問題的列式和求解。
四則運算有三重要規則：
一、有括號的先算；二、先乘除後加減；三、由左算到右。學生須依題意列出一個有兩到三個運算符號的算式，考慮運算規則，將不必要的括號去除；再透過逐次減項求解。
學生在掌握題意、列出算式、併成一式、併式或列式符合運算規則、按運算規則逐次減項求解中，任何一個環節不理解，都可能產生學習差錯。涉及三個運算規則的兩步驟、三步驟問題，如何列式和求解學生才能順利學習？
兩步驟問題
學生要將兩步驟問題依題意列成一個算式，他們心中須有解題計畫，先算什麼，再算什麼，才能將先算的加括號，併入後算的列式記錄問題；若不考量三個運算規則，學生有括號列式的狀況比較好，但學生未來處理三步驟和多步驟問題恐受影響，所以教師仍須引入。因此，學生按題意列出一個算式後，還要考慮運算規則，將「先算的加括號」中不必要的括號去除。
加與減類型如：
例一：（16－9）＋2＝？
例二：16－（9＋2）＝？
加減與乘類型如：
例三：100－（13×6）＝？
例四：（100＋13）×6＝？
加減與除類型如：
例五：6－（24÷6）＝？
例六：（6＋24）÷6＝？
乘與除類型如：
例七：（72÷8）×3＝？
例八：72÷（8×3）＝？
這八例中先算的部分，例一的（16－9）是由左算到右，例三的（13×6）是先乘除再加減，例五的（24÷6）也是先乘除再加減，例七的（72÷8）也是由左算到右，所以這四例可去除括號；但例二、例四、例六、例八都是有括號的須先算，所以不能去除括號。
兩步驟問題列式後的求解，不但跟題意的先算和後算有關，也跟三個運算規則有關，「逐次減項」就是每一步驟只處理一個運算符號，還要保持等號兩邊的等價。以前面的例子來說明，例八：72÷（8×3）＝72÷24＝3，題目的括號不能去除，求解是「有括號的先算」；例三：100－13×6＝100－78＝22，題目的括號可以去除，求解就是「先乘除後加減」；例一：16－9＋2＝7＋2＝9題目的括號可以去除，求解就是「由左算到右」。
三步驟問題
初學三步驟問題不容易，因題目語意不一定有明顯的運算順序，例如：小明到文具店買文具，1枝鉛筆賣12元，1枝原子筆賣16元，小明買了2枝鉛筆和3枝原子筆，他要付給老闆多少元？學生除了要了解題意、掌握資訊，還要心中有解題策略或計畫。
學生須看出要付的錢包含鉛筆和原子筆，所以分別先算鉛筆12×2＝24元、原子筆16×3＝48元後，兩者相加24＋48＝72就是要付的錢。
前述問題，學生大多能列成三個算式來解題，但要依題意列成一個算式，難度就升高，這時心中要想兩者的錢是24＋48＝？（24、48不一定要算出），24可用12×2取代、48可用16×3取代，若學生能掌握本題是乘的要先算，並熟知先乘除後加減的運算規則，就可直接列出算式12×2＋16×3＝？
但大部分學生無法一次到位，教師可引導學生以先算的有兩部分，可以分別都加括號來列式（12×2）＋（16×2）＝？因本題是乘的部分要先算，再按「先乘除後加減」的運算規則去除括號，列式就是12×2＋16×3＝？
若學生剛學時能正確列式和解題，但出現多餘的括號，教師不要算錯，給學生多一點學習空間，讓他們假以時日熟稔較妥。
三步驟問題都可列成三個算式後再併式，例如小美帶100元去買文具，買了18元的橡皮擦和15元的原子筆3枝，她還剩下多少元？解題的三個算式是15×3＝45元、18＋45＝63元、100－63＝37元。
學生心中若有此解題規畫，不必真的解出，只要了解題中資訊的關係，記錄問題的列式就可先將63用18＋45取代，寫成100－（18＋45）＝？ 其中（18＋45）的括號要先算不能刪去，再將45用15×3取代，寫成100－（18＋15×3）＝？因為先乘除後加減15×3不須括號；這樣列式的過程都須考量運算規則，對學生而言是有複雜度的。
若教師請學生先算小美買文具花了多少元？學生已有兩步驟列式的經驗，他們可以寫出18＋15×3＝？再按題意加一步驟就是100－（18＋15×3）＝？對學生而言，比從三個算式再列成一個算式簡單；能列出三步驟或多步驟的一個算式，有助於國中階段的代數式的學習。
國小不引入中括號，但在併式或列式出現兩次括號60－（（15－3）×4）＝？或（（9＋6）×4）÷5＝？時，考量運算規則就是60－（15－3）×4＝？或（9＋6）×4÷5＝？
再透過「逐次減項」求解，60－（15－3）×4＝60－12×4＝60－48＝12，每次依運算規則處理一個運算符號。