多才多藝阿基米德

文/林原宏(國立臺中教育大學數學教育學系教授)、

李英(數學教育文教工作專任老師)

 

  小朋友,你最喜歡做什麼事?喜歡到會讓你廢寢忘食,喜歡到無時無刻都想與它為伴!今天要講一個瘋狂喜愛數學、喜愛思考的數學大師—阿基米德(Archimedes,西元前287年~西元前212年),古希臘時期成就最高的數學家、物理學家、天文學家、工程師及大發明家。

 

生平

  阿基米德出生於希臘西西里島東南端的敘拉古城,家境富裕。父親是一位天文學家,從小非常重視他的教育,在阿基米德11歲時,即帶著他到當時的經濟與文化中心—埃及的亞歷山大城去學習,其中一位老師是著有《幾何原本》的有名數學家歐幾里德,這奠定了他往後從事科學研究的基礎。

 

鑑定偷工減料的皇冠

  學成歸國回到敘拉古的阿基米德,除了每天沉醉於研究各種數學及科學問題,還非常受到當時幾任國王的重用,常常找他來解決各種疑難雜症,其中最有名的就是「真假皇冠」事件。

  國王指派工匠製作純金皇冠,雖然送回來的皇冠重量與當初給的黃金重量一樣,但是國王懷疑工匠私藏部分黃金,而將比較便宜的金屬(例如:銀或銅)混入皇冠內部。所以,國王請阿基米德在不破壞皇冠的情況下,鑑定出皇冠是不是純金的?他為此想破頭,好幾天廢寢忘食,最後終於在泡澡的時候想出方法,興奮得沒穿衣服就直接跑到皇宮找國王,一路大叫「我想出來了!我想出來了!」。

 

 

  小朋友,你知道他的方法是什麼嗎?

  因為他坐進裝滿水的澡盆,溢出來的水讓他想到:「重量相同的黃金,雖然外觀改變,但體積是不會改變的。而且重量相同的不同種類金屬(例如:金、銀、銅、鐵),它們的體積是不一樣的。」

  所以,阿基米德拿了與皇冠一樣重的金塊、銀塊及皇冠,分別放入三個相同大小、有刻度並裝有等量水的容器內。結果,三個容器的水位上升高度不同!上升最高的是裝銀塊的容器,第二高是裝皇冠的,上升最少的則是裝金塊的。工匠立刻被抓進大牢,聰明的阿基米德當然又獲得獎賞囉!

 

數學幾何成就

  另外,小朋友,你知道全世界第一位算出圓周率(以π表示)的近似值是誰嗎?就是阿基米德。

  他非常擅長使用「窮盡法」,去計算各種幾何形體的體積、面積以及它們之間的關係。利用畫出「圓內接正九十六邊形的周長」及「圓外切正九十六邊形的周長」他算出π的近似值介於π,也就是3.140845π3.142857。這個「窮盡法」對歐洲的數學發展幫助很大。同時,他還算出「球的表面積=最大內接圓面積的4倍(也就是4πr2)」以及推導出「圓柱內切球的體積=圓柱體體積」(這是阿基米德最喜愛的定理,被刻在他的墓碑上呢!)

  小朋友,你們最喜歡玩的七巧板拼圖遊戲,他也很會玩!利用14片小幾何圖形拼出一個大正方形,總共有17152種不同的方法,厲害吧?

 

 

其他卓越成就

  厲害的事跡還有幾個,年少求學時為解決埃及農夫取水不易,他發明了「阿基米德螺旋提水器」,直到相隔2200多年的現在,埃及當地還有人在使用這種機器喔!

 

 

  阿基米德因為非常熟悉「槓桿原理」及「力矩」的觀念,說出:「給我一個支點,我可以舉起整個地球」。

 

 

  因此被國王授命建造一艘巨無霸船(類似近代的鐵達尼號),作為送給埃及王的禮物,他成功達成任務。後來羅馬軍隊常常從海上攻擊他們的國家,相傳阿基米德發明幾種大型武器,例如「石砲彈弓」每次可發射500磅的石頭砲彈,攻擊靠近岸邊的船艦。「巨大起重機」可以將羅馬的戰船高高舉起再重重摔下。以及利用多面鏡子將太陽光反射聚焦在敵船上使其著火。當時敵方的將軍才會說:「這是一場羅馬艦隊與阿基米德一人的戰爭!」

  這位大師一輩子都在做研究及解決問題,你知道他是怎麼離開人間的嗎?某天,羅馬大軍攻進城了,當時他正在地上畫幾何圖形並沉思中,一個羅馬兵進門踩到他的圖形,他大喊:「不要踩我的圖!」,結果,羅馬兵一劍刺向他,熱愛數學到生命最後一刻的偉大阿基米德,就此跟世界說再見了。

 

小故事大哉問

  小朋友,聽完以上故事,我們一起來討論看看下列問題:

  1. 有一個容量是50毫升的容器,此容器已裝30毫升的水,接著放入一個不規則形狀的鐵塊,水位上升後溢出了15毫升的水。請問這個鐵塊的體積是多少立方公分?
  2. 你最喜歡阿基米德的哪個事蹟?為什麼?
  3. 你最想向阿基米德學習的地方是什麼?

數學王子高斯

文/林原宏(國立臺中教育大學數學教育學系教授)、

李英(數學教育文教工作專任老師)

 

  小朋友,你有聽過「白馬王子」(在白雪公主故事中)、「英國王子」(在英國王室)……,你知道有位「數學王子」嗎?他是誰?哪國人?誰給的封號?為什麼他可以被稱為「王子」?而且還是「數學」王子呢?他就是數學王子高斯(Carl Friedrich Gauss,1777~1855)。

 

生平

  高斯出身平凡家庭,爸爸是位水泥工工頭,媽媽是位家庭主婦。這位出生在德國布倫瑞克(Brunswick)城的高斯,從小就顯現出數學天份。3歲時,某天,爸爸在計算其他工人的工資,小小高斯趴在旁邊看,告訴爸爸算錯了。爸爸心想:「你怎麼可能知道我有沒有算錯?你才三歲,又沒有上過學。」但高斯爸爸重新計算一次,發現真的有錯誤,驚奇覺得這孩子怎麼可能會算?

 

快速求出和

  9歲時,某天上數學課,小學老師在黑板上出了一個計算題:

  老師預期學生們一定是1+2=3,再算3+3=6,再算6+4=10,……,依此類推,一定要算很久。

  沒想到,一會時間,高斯直接將「5050」這個答案寫在小黑板上交給老師。老師問他怎麼算的?

  他說:「我將題目倒過來列一遍,

  這樣上下加起來都是101。

  會有100組101,因為加了兩遍,所以還要再除以2。

  因此答案是5050。」

  老師聽了高斯的解法非常的驚訝!還問:「是誰教你的?」

  高斯說:「是我自己想的啊!」

  小朋友,高斯的這個方法是不是很簡單又很厲害呀!

 

其他卓越成就

  之後,老師交給高斯幾本高深的數學書讓他閱讀,並推薦高斯進入更高學府學習,同時也幫他找到費迪南公爵出錢資助他念書及生活上的費用。如果沒有公爵的幫忙,高斯可是無法心無旁鶩的專心做數學研究,他很有可能需要接手父親的工作,用勞力賺錢過生活。

  高斯真的是位名符其實的數學王子,很年輕的時候就有很高的成就。11歲時,高斯就發現了二項式定理(xy)n的一般展開式(小朋友,你們未來在國中會學到)。18歲時,他以尺規作圖法(沒有刻度的直尺+圓規),畫出了「圓內接正十七邊形」。這可是數學史上一個驚天動地的大事,怎麼說呢?因為從古希臘時期開始,歷經了二千多年,許多數學家都想用尺規做出此圖,但沒有一人成功。竟然被一位年輕人給做出來了,從此高斯就名滿天下了。

  高斯不僅在數學領域有卓越成就,他還能利用天文學家三次觀察到的彗星數據,就計算出彗星的橢圓軌道,並預估下次彗星再次現身的位置,天文學家們按照高斯算出的位置觀察,還真的看到那顆彗星。一位沒有天文望遠鏡的數學家,純粹只用數學計算就能精準預測彗星出現的位置,你說強不強?為此德國為了避免高斯被俄國挖角,特地為他在哥廷根建立一座天文台,還聘高斯為第一任天文台台長呢!

  高斯一生對數論、代數、統計、分析、微分幾何、矩陣理論、大地測量學、地磁學、天文學以及光學均有貢獻,以他名字「高斯」來命名的成果高達110個。1855年的2月23日清晨,高斯在睡夢中安詳過世,享年77歲。後人為了表彰高斯的對數學的偉大貢獻,特別鑄造了一個直徑7公分的紀念金章給高斯家族,紀念章的邊緣還用拉丁文刻著「Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi」 (「Hanover君主喬治五世向數學家王子致敬」),從此,後人就尊稱高斯為「數學王子」了。

 

小故事大哉問

  小朋友,聽完以上故事,我們一起來討論看看下列問題:

  1.  小朋友,你覺得高斯是個天才兒童嗎?為什麼你這樣覺得?
  2.  高斯計算1+2+3+……+98+99+100=5050的方法你學會了嗎?請你用同樣的方法算出1+2+3+……+148+149+150=?
  3.  高斯是哪一國人?他為何被稱為「數學王子」?
  4.  你最喜歡高斯的哪個事蹟?為什麼?

桌遊教學應用─用數學桌遊教質因數

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桌遊教學應用─用數學桌遊教質因數

  在進入到六年級後,學生馬上需要學習最大公因數、最小公倍數的單元,在此單元裡,學生是否能了解質因數是十分重要的概念。在翰林課本裡,每冊次每位學生皆有一套桌遊,透過翰林數學桌遊,以遊戲趣味性又具有教學性的方式為學生做來質因數的概念統整。

 

 

  在該概念教學結束後或單元教學的最後,可以利用一堂課的時間,透過數學桌遊「質因數對對碰」進行複習活動,使桌遊主要針對六年級的質因數做教學應用,學習合數與質因數的分辨,規則如同一般常見的撿紅點遊戲進行配對活動,簡單的講解向學生說明規則後,同學們皆興致勃勃的準備開始遊戲,針對同樣的合數、同樣的質因數分解、合數與對應的質因數分解進行配對,另外一種遊戲玩法,也可以使用抽鬼牌的方式,配對相同的合數與質因數,簡單容易了解的遊戲規則與內容,讓學生一玩就愛不釋手。

  桌遊不只在課堂上能讓學生操作及做教學活動,在課餘之時,學生也會自己拿出自己的桌遊,三三兩兩的各自玩遊戲,更能在遊戲過程中對概念做複習,看著學生在下課時間拿出遊戲自己玩,慢慢的,在改習作、考卷能發現錯誤率有稍稍的變少,很開心能看到學生的進步。因翰林數學課本每冊次皆有數學桌遊,更可以蒐集每冊次的桌遊,選擇教室一角擺放,不僅是班級經營的方式、學生的遊戲區,也能讓學生透過遊戲去複習以前所學過的概念。

  透過數學桌遊,讓原本對於數學興趣、學習成就較低落的學生,因為遊戲式的方式,讓原本對數學感到害怕的學生啟發學習興趣,也透過遊戲的過程中去學習數學概念,學數學也可以很有趣呵!

 

  

 

邊玩邊學,玩桌遊也能學概數!

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邊玩邊學,玩桌遊也能學概數

  桌遊教學一直是很熱門的話題,透過桌遊融入教學,提升學生的學習趣味度與學習動機,更能達到教育意義的層次。學校老師們一直對桌遊教學感到興趣,特別邀請翰林業務來學校舉辦桌遊研習,透過數學桌遊的研習,帶領著老師們一同研究桌遊的樂趣,大家一同學習如何將桌遊帶入數學教學中,讓教學與學習能更加趣味。

 

 

  此次研習所教學的數學桌遊是「阿拉丁神燈尋寶遊戲」,主要應用於四年級的概數教學上,透過桌遊遊戲的過程練習如何取概數,進行無條件進位、無條件捨去、四捨五入的教學。不只是單純趣味性,桌遊加入了針對學生的教學性的輔助,從開頭帶入的閱讀遊戲故事的引導,讓學生能進入故事情境;課本中的自我練習習題,讓學生能對取概數概念先進行練習與複習的活動,概念了解後,再進入桌遊遊戲中進行概念統整與應用。

  桌遊以類似大富翁的方式進行,規則淺顯易懂,透過是否能回答正確的概數答案,進行前進或停留原地,運用在實際教學上,學生能很快地了解遊戲規則及內容,不太需要擔心花費太多時間在解釋規則,即能進入遊戲中的競爭與趣味性,享受遊戲的樂趣。從故事遊戲引導、概數題目練習到實際操作桌遊遊戲,讓老師教學上具有教學連貫性,因有進行概念概念的再次複習,學生在進入遊戲後能對數學概念及遊戲更融入其中,對數學能力較差的學生一開始可能對遊戲中的題目較不熟練,透過一次次遊戲的操作與討論,更能熟悉取概數的方式,班上的孩子們都玩得非常得盡興。在遊戲進行熟悉後,學生們下課能自己操作,許多孩子也會慢慢發揮自己的創意,修改遊戲的規則讓遊戲更有趣、更刺激,身為老師非常樂見學生這樣的舉動,透過桌遊不僅能享受遊戲的樂趣,還能從中學習數學概念。

  玩是孩子的天性,在教學上透過桌遊當作教學的統整活動,讓「學習得易,教學得意」,遊戲中的交流與互動更能凝聚師生間的情感,更可當成班級經營的一大利器,無形中讓那些對數學感到害怕的學生,也能夠過遊戲增加對數學的學習動機,讓桌遊成為學生的學習動力以及老師的教學助力!