分類：小數-小故事

有趣的古埃及分數

配合：翰林國小數學4下第6單元「分數」

 

分數的發明

　　萊因德數學紙草書（又稱作林德數學手卷；Rhind Mathematical Papyrus），是古埃及時代（約前1650年）由僧侶在紙草上抄寫的一部數學著作，從紙草書中可知道古埃及人已經會使用分數的記法。有趣的是，古埃及人使用的分數都是分子為1的分數。

　　古埃及的分數表示法類似現在分數寫法，如下面的圖示。形狀像開口的符號表示分數的分子1，開口下的符號表示分數的分母。

 

認識古埃及分數

　　古埃及人會將一個真分數，記錄成單位分數相加的形式，例如：會記錄成。可以看成是「2個麵包等分給5人，每人會分到幾個麵包？」古埃及人是怎麼分的？

1. 先將每個麵包各分成3塊，分給每人1塊，就是每人分到個，還剩下個。　　

 

2. 將剩下的個麵包，再等分給5人，這次每人分到個麵包。

 

3. 每人1次分到個，第2次分到個，所以每人共分到個麵包。

 

利用古埃及分數分分看

　　小朋友，想想看「3條緞帶等分給4人，每人會分到幾條緞帶呢？」利用古埃及人的方法分分看。

 

中國算籌和馬雅數字

文/胡仁慈

圖1：在中國的甲骨文中發現的數字系統。（約4500年前）

 

　　傳說古代波斯王打仗時常用繩子打結來計算天數。用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地上計數也都是古人常用的辦法。

　　古代的中國人和南美洲的馬雅人甚至只用兩種符號來記數。它們雖然是不同的文明，但卻不約而同的發展出類似的數字系統。小朋友你說這是不是巧合呢？

 

中國的算籌

　　中國古代的算籌實際上是一根根同樣長短和粗細的小棍子，一般長為13～14公分，徑粗0.2～0.3公分，多用竹子製成，也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料製成的，大約二百七十幾枚為一束，放在一個布袋裏，繫在腰部隨身攜帶。需要記數和計算的時候，就把它們取出來，放在桌上、炕上或地上都能擺弄。籌算直到十五世紀元朝末年才逐漸為珠算所取代，中國古代數學就是在籌算的基礎上取得其輝煌成就的。

 

記數規則

　　記數時，「個位」用縱式，其餘縱橫相間，空一格表示「零」。

例如：

　　由於縱橫相間而且個位又必須是縱式，所以數字的位值不會弄錯。

 

自己做做看

 

失落的馬雅文明

圖２：馬雅文明代表每日的符號（馬雅文明每個月只有20天，分別用20個符號來代替。）

 

　　在3000年前，由簡樸的農漁社區發展出輝煌的文化，馬雅人以幾近零誤差和令人驚異的正確度來設計，建設太陽和月亮等神殿。古代馬雅人的數學和天文學的優越令人非常驚訝，世界上最早發明「零」的民族是馬雅人，比阿拉伯商隊橫越中東的沙漠把這個概念從印度帶到歐洲的時候早一千年。希臘人擅於發明，但他們必須用字母來寫數目；羅馬人雖然會使用數位，但只能用笨拙的圖解方式以四個數位來代表（Ⅷ）；而馬雅人卻能夠發明一種僅使用三個符號：一點、一橫、一個代表零的貝形符號，來表示任何數位的計算法，實在是不可思議！

 

馬雅文明的數字系統

　　馬雅在數學上十分先進卻也十分獨特，最為人樂道的是他們是世界上最先有「0」的概念的文明。

　　馬雅人不知為什麼選擇了20進制的運算，也許是覺得計數時只用十根手指有點浪費資源。馬雅數字中0以一個貝殼模樣的象形符號代表，1至19則以不同數目的圓點和橫線組成的符號代表，記數法跟今天的阿拉伯數字差不多。

 

記數規則

 

自己做做看

 

古希臘與古羅馬的記數

文/胡仁慈

 

　　小朋友，你是否看過電視上的新聞報導「小狗做算術」呢？當記者出一題加法題，例如「2＋5」，由記者寫到黑板上。小狗看到後就會「汪汪汪……」叫7聲。當你看到時一定會感到驚歎和懷疑狗怎麼會這麼聰明？因為在一般人看來狗是不會有數量概念的。

　　人類在最初也完全沒有數量的概念。但人類發達的大腦對客觀世界的認識已經達到更加理性和抽象的地步。這樣，在漫長的生活經驗中，由於記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產生了數的概念。例如捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭，就放3塊石子。這些辦法用得多了，就逐漸形成數的概念和記數的符號。

　　數的概念最初不論在哪個地區都是1、2、3、4……這樣的自然數開始的，但是記數的符號卻是大大的不同呵！

 

古希臘人的記數方法

　　古希臘人共用了27個符號來計算數字（你可以從下面的表中看出）

α

β

γ

δ

ε

ς

ζ

η

θ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

ι

κ

λ

μ

ν

ξ

ο

π

ϙ

10

20

30

40

50

60

70

80

90

 

ρ

σ

τ

υ

ϕ

χ

φ

ω

ϡ

100

200

300

400

500

600

700

800

900

記數規則

 規則 1 

大的數擺左邊；小的數擺右邊。
例如：αβ →（✘）。βα →（✔）。

 規則 2  

把所有符號所代表的數加起來。
例如：μθ＝40＋9＝49。

　　我們知道用太多的符號來記數是一件既麻煩又不好記的方法。所以我們應該用最少的符號來記數。

　　那麼15根羽毛應該怎麼記？你覺得下面哪一種記法比較好呢？

符號

ιε

θς

ηζ

計算

10＋5＝15

 

 

 

古羅馬人的計數方法

　　古羅馬的數字相當進步，現在許多鐘錶上還常常使用。

　　實際上，羅馬數字的符號一共只有7個：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C（代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。這7個符號位置上不論怎樣變化，它所代表的數位都是不變的。它們按照下列規則組合起來，就能表示任何數。

 

記數規則

 規則 1 

重複次數：一個羅馬數字符號重複幾次，就表示這個數的幾倍。
例如：「Ⅲ」表示「3」；「ⅩⅩⅩ」表示「30」。

 規則 2  

右加左減：一個代表大數位的符號右邊附一個代表小數位的符號，就表示大數位加小數位，如「Ⅵ」表示6，「DC」表示600。一個代表大數位的符號左邊附一個代表小數位的符號，就表示大數位減去小數位的數目。
例如：「IV」表示4，「XL」表示40，「VD」表示495。

 規則 3  

上加橫線：在羅馬數字上加一橫線，表示這個數位的一千倍。
例如：「XV」表示 15,000，「CLXV」表示165,000。

 

古羅馬數字（蘊含了左減右加的法則）

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

Ⅴ

Ⅵ

Ⅶ

Ⅷ

Ⅸ

Ⅹ

ⅩⅩ

L

C

D

M

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

20

50

100

500

1000

 

 

　　我們知道用太多的符號來記數是一件既麻煩又不好記的方法。所以我們應該用最少的符號來記數。

　　那麼15根羽毛應該怎麼記？你覺得下面哪一種記法比較好呢？

符號

ⅩⅤ

ⅤⅩⅩ

ⅤⅤⅤ

計算

10＋5＝15

 

 

 

黑洞數6174

配合：翰林國小數學3上第3單元「10000以內的加減」

 

　　在加減計算和數字排列的過程中，會發現許多有趣的數字，今天介紹的是黑洞數「6174」，讓我們一起來認識這個數吧！

 

6174為什麼是黑洞數？

　　任意寫一個四位數，這個四位數的數字不能都相同（例：2222、3333等），將這個四位數重新排列後，最大的數減最小的數，得到的差再用同樣規則計算，在8個步驟內，一定會得到6174這個數，從此就好像走進黑洞一樣，再也走不出這個數了，因此6174被稱為「黑洞數」。

 

舉例算算看

　　我們選一個四位數「8075」，開始進行計算。

第1步：

8075重新排列最大的數是8750，最小的數578，

最大的數減最小的數是8750－578＝8172。

第2步：

8172重新排列最大的數是8721，最小的數1278，

最大的數減最小的數是8721－1278＝7443。

第3步：

7443重新排列最大的數是7443，最小的數3447，

最大的數減最小的數是7443－3447＝3996。

第4步：

3996重新排列最大的數是9963，最小的數3699，

最大的數減最小的數是9963－3699＝6264。

第5步：

6264重新排列最大的數是6642，最小的數2466，

最大的數減最小的數是6642－2466＝4176。

第6步：

4176重新排列最大的數是7641，最小的數1467，

最大的數減最小的數是7641－1467＝6174。

第7步：

6174重新排列最大的數是7641，最小的數1467，

最大的數減最小的數是7641－1467＝6174。

　　再算下去都還是6174，難怪6174是黑洞數。

 

還有其他的黑洞數嗎？

　　黑洞數是在1955年，由印度數學家卡布雷卡(D.R.Kaprekar)所提出，又稱為「卡布雷卡數」，像這樣的黑洞數不只有6174呵！

　　小朋友，找一個三位數試試看，將這個三位數重新排列後，最大的數減最小的數，得到的差再用同樣規則計算，最後會得到哪一個數呢？五位數、六位數……利用相同的規則，可以找到其他的黑洞數嗎？

 

錢幣的由來

配合：翰林國小數學3上第2單元「10000以內的數」

 

　　我們幾乎每天都需要用到「錢幣」購買物品，它是我們生活上不可或缺的工具。小朋友，你知道「錢幣」是怎麼發明的嗎？還沒發明「錢幣」的時候，人們要怎麼買東西呢？讓我們來看看「錢幣」的發明故事。

 

沒有錢怎麼買東西？

　　在人們還沒發明「錢幣」之前，不是「買」東西，而是「換」東西。人們會用以物易物的方式，交換自己所需要的物品，例如：拿一隻羊換一簍魚、拿米換油等。

　　後來，為了方便交易買賣，人們開始利用大家公認有價值，且可以接受的東西，當作買賣的交易工具。早期被拿來當作貨幣的物品，包括：貝殼、鹽、礦石、皮草、牲畜、珍貴金屬（如黃金、白銀）等，這些不容易大量獲取的物品，都曾經作為「錢幣」使用過。

 

各種材質的錢幣

　　隨著人們交易活動變多和活動範圍變大，但可當作錢幣的物品中，常有不能切割（如貝殼、牲畜）與不方便攜帶（如礦石）等問題，所以作為錢幣使用的物品逐漸被金屬所取代。

　　使用金屬錢幣的好處是它的製造需要人工，無法從自然界大量獲取，同時還易儲存。於是，人們發明了標準化的金屬貨幣，並由政府規定作為貨幣的金屬重量、顏色與每個單位的價值，例如：中國古代所使用的元寶、銀錠、銅幣等。標準化的錢幣讓大家可以方便且放心的交易。

 

攜帶方便的紙幣

　　隨著經濟的進一步發展，金屬錢幣也出現使用上的不便，加上印刷技術發達，人們進一步發明了「紙幣」。西元十世紀北宋初期時，四川商人共同發行一種紙券「交子」，就是人類最早的紙幣紀錄。

　　直到十八世紀，英國英格蘭銀行（就是英國的中央銀行）發行了標準化面額的銀行券，現代的紙幣才開始流通。

　　小朋友，我們每天都會使用到的錢幣，是經過幾千年才誕生的呵！

 

臺灣通用的錢幣有哪些？

　　小朋友，下面哪些錢幣是臺灣現在所使用的錢幣？這些臺灣的錢幣合起來是多少元呢？