作者：教學科-組別1

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“txt”: “【3年級】把1張圓餅平分成6份，如何幫助學生將5份轉換成5／6張？”
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“txt”: “【3年級】估算和概算有什麼不同？”
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“txt”: “【3年級】周長和面積怎麼教，學生才不會混淆？”
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兒童對全數的概念理解與解題

 

文/游自達(臺中教育大學教育學系副教授)

 

　　兒童植基於日常生活的經驗，自學前階段便透過口頭唱數、點數等活動逐步建立對數詞、數詞序等的認識，並透過一一對應、點數等活動發展對序列、多少、相等（一樣多）的理解，發展出「非正式算術」（informal arithmetic）。

　　基於學前階段的經驗，兒童進入國小後，累積點數活動發展對於基數的認識，並使用數詞的次序關係來標示個體的位置及個體間的先後次序關係，由此發展出序數的認識。接著透過量的比較、合成、分解等各式操作活動，逐步發展對全數（whole number，或稱「非負整數」）的理解。量的比較、合成、分解等活動協助學生的全數概念發展，而對全數的不同認識則使得兒童可以更有效、更有效率地解決所遇到的問題。學生的全數概念因經驗的累積和不斷的重構而逐漸複雜化與抽象化。

　　兒童對於全數概念的理解可說是在「單位與單位化」的活動下逐步發展。在幼兒及國小低年級階段，兒童透過點數的過程發展全數的概念。在此階段，一個全數是多個「一」的合成（亦即12是12個一的合成）。隨著經驗的累積與重構，兒童逐步發展出新的單位（累多個一構成一個異於一的新單位）。以12為例，兒童不只認知到它是12個一，它也是10和2的合成、一個10和2個一的合成等。隨著經驗的增加，兒童也認知到是12是6個二、4個三、3個四、2個六等。再者，兒童更認識到12也可以是個單位，進而形成1個十二、2個十二、3個十二的理解。如此不斷重構單位並再詮釋的歷程可說是一種單位化（unitizing）的歷程，乃是兒童數概念不斷發展的重要心理活動。新單位的形成讓兒童產生新的解題方式，可以用不同於以往的方式詮釋所面對的問題與解題。整數倍的概念由此逐步發展。

　　國小低年級數與計算教材所處理的內容大多在於發展新計數單位，並以新的計數單位解決新的問題。例如：兒童對構成12的單位之掌握不同而有不同的理解，解決相關問題的策略也會有差異。這些不同的結構可摘要如表1。

 

表1：兒童對全數12的不同認識與解題活動

對全數的認識	數的單位	解題活動
	數表示圖像或位置。	無法處理量的合成或分解活動。
	12是12個一的合成。	以具體物全部數（concrete counting all）策略解決量的合成問題。
	12是10又2。	以向上數（counting-on）策略解決量的合成問題。
	12是10和2合起來的。	運用部分和整體關係解決量的合成與分解問題（透過加10和加2解決加12的問題）。
	3、又3、又3、又3合起來是12。	以累加策略解決等群組的合成問題。
	4個三合起來是12。	以倍的語言和乘法解決等群組的合成問題。

　　綜合而言，「單位與單位化」的活動乃是發展數概念理解和形成新的解題工具不可或缺的一環。數與計算相關概念的教學便在於協助學生發展新單位，使其能以更有效、更有效率的策略解決所碰到的問題。國小階段數與計算的教材需要透過循序漸進的安排，引導兒童重組其數概念，形成新的單位與結構，逐步優化其解題思考與策略。這也是翰林版教材努力的目標。

 

提升學童對乘法啟蒙意義理解的策略

 

文/林原宏（國立臺中教育大學數學教育學系教授）

 

　　國小低年級學童學習了加減運算的語意結構和情境意義後，接下來所學習的乘法對學童而言，是另一個新的概念與認知的挑戰。乘法是加法意義轉化後簡記，根據教學實務現場的觀察，總有少部分學童無法將十十乘法熟背，將十十乘法成為事實性知識(fact knowledge)，因而影響後續數學計算的學習。以下簡要提出幾項提升學童對乘法啟蒙意義理解的策略。

 

1.形成等組型意義的表徵(representation)和心像(mental imagery)

　　乘法啟蒙概念是等組型，所謂「等組」是指「同樣的物件有多組」。例如：

圖1：國小數學翰林版二上第7單元

 

　　是指「2（個/盤）的壽司有6盤，共有12個壽司」，也就是「2有6個，共有12個」的意義。當沒有圖示時，學童要能自己表徵成如下，並記錄成「2×6=12」。

　　引導學童讀作「二乘以六等於十二」或記誦「二六十二」時，要協助學童形成2×6=12的心像，雖然沒有圖示且沒有畫出○，在腦海中要想像有上述圖1或○，並能默誦累數。等到記誦熟練了而形成事實性知識後，這些表徵和心像也自動內化成為學童的概念，十十乘法也會熟記。

 

2.建立「倍」的語言和概念

　　「倍」是生活語言也是重要的數學語言，對於學童而言卻相當抽象。「2×6=12」的剛開始可以是「2有6個，合起來是6」的用語，慢慢地要協助學童提升至「2的6倍是12」的語言，最後形成「倍就是乘」的意義。

 

3.察覺「個數或倍數」差異與乘法關係

　　透過個數或倍數差異，可以推算乘法的結果。例如：

圖2：國小數學翰林版二上第7單元

 

　　「4×7比4×6多幾個4？是多多少?」，這個布題的提問，是要學童察覺「4有7個比4有6個多幾個4？」，從算式和圖示中都可察覺多了1個4，1個4就是4。所以，已經知道4×6＝24，那麼4×7的結果就會多4，所以4×7=28。

　　能察覺這樣的差異和乘法關係，可以促進十十乘法的熟練。例如：當學童已並瞭解並能背誦8×5＝40、8×6＝48，但8×7卻不熟練，此時可以引導學童比較並察覺「8×7和8×5」或「8×7和8×6」的差異和乘法關係，即可瞭解「8×7比8×5多2個8」，或「8×7比8×6多1個8」，即能推算8×7=56。

 

4.善用十十乘法表與乘法交換律

　　乘法啟蒙概念是等組型，而在陣列型（如圖3）的語意結構中，可以讓學童瞭解「被乘數與乘數交換，積是一樣」的乘法交換律意義。在十十乘法表中（如圖4），學童也可察覺這樣的意義。學童並不需要知道「乘法交換律」這個名詞，但可以引導學童應用此乘法規律來熟練十十乘法。例如：當學童已瞭解並能背誦5×7＝35，但7×5卻不熟練、此時可以引導學童應用前述乘法交換律，即可瞭解「7×5和5×7」的結果相同，所以7×5=35。

圖3：國小數學翰林版二下第5單元

 

圖4：國小數學翰林版二下第5單元

 

　　熟練十十乘法是學童日後乘除計算、估商與估數等基礎，而熟練的活動必需建立在有意義的學習(meaningful learning)的基礎上，才能收到記憶保留之效。所以，本文從心像、表徵、關係和規律等心理層面，說明促進學童對乘法啟蒙意義理解的策略，希冀協助學童有意義地熟練十十乘法。