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作者：教學科-組別1
數學王子高斯
數學王子高斯
文／林原宏（國立臺中教育大學數學教育學系教授）、李英（數學教育文教工作專任老師）
小朋友，你有聽過「白馬王子」（在白雪公主故事中）、「英國王子」（在英國王室）……，你知道有位「數學王子」嗎？他是誰？哪國人？誰給的封號？為什麼他可以被稱為「王子」？而且還是「數學」王子呢？他就是數學王子高斯（Carl Friedrich Gauss,1777～1855）。
生平
高斯出身平凡家庭，爸爸是位水泥工工頭，媽媽是位家庭主婦。這位出生在德國布倫瑞克（Brunswick）城的高斯，從小就顯現出數學天份。3歲時，某天，爸爸在計算其他工人的工資，小小高斯趴在旁邊看，告訴爸爸算錯了。爸爸心想：「你怎麼可能知道我有沒有算錯？你才三歲，又沒有上過學。」但高斯爸爸重新計算一次，發現真的有錯誤，驚奇覺得這孩子怎麼可能會算？
快速求出和
9歲時，某天上數學課，小學老師在黑板上出了一個計算題：
老師預期學生們一定是1＋2＝3，再算3＋3＝6，再算6＋4＝10，……，依此類推，一定要算很久。
沒想到，一會時間，高斯直接將「5050」這個答案寫在小黑板上交給老師。老師問他怎麼算的？
他說：「我將題目倒過來列一遍，
這樣上下加起來都是101。
會有100組101，因為加了兩遍，所以還要再除以2。
因此答案是5050。」
老師聽了高斯的解法非常的驚訝！還問：「是誰教你的？」
高斯說：「是我自己想的啊！」
小朋友，高斯的這個方法是不是很簡單又很厲害呀！
其他卓越成就
之後，老師交給高斯幾本高深的數學書讓他閱讀，並推薦高斯進入更高學府學習，同時也幫他找到費迪南公爵出錢資助他念書及生活上的費用。如果沒有公爵的幫忙，高斯可是無法心無旁鶩的專心做數學研究，他很有可能需要接手父親的工作，用勞力賺錢過生活。
高斯真的是位名符其實的數學王子，很年輕的時候就有很高的成就。11歲時，高斯就發現了二項式定理(x＋y)n的一般展開式（小朋友，你們未來在國中會學到）。18歲時，他以尺規作圖法（沒有刻度的直尺＋圓規），畫出了「圓內接正十七邊形」。這可是數學史上一個驚天動地的大事，怎麼說呢？因為從古希臘時期開始，歷經了二千多年，許多數學家都想用尺規做出此圖，但沒有一人成功。竟然被一位年輕人給做出來了，從此高斯就名滿天下了。
高斯不僅在數學領域有卓越成就，他還能利用天文學家三次觀察到的彗星數據，就計算出彗星的橢圓軌道，並預估下次彗星再次現身的位置，天文學家們按照高斯算出的位置觀察，還真的看到那顆彗星。一位沒有天文望遠鏡的數學家，純粹只用數學計算就能精準預測彗星出現的位置，你說強不強？為此德國為了避免高斯被俄國挖角，特地為他在哥廷根建立一座天文台，還聘高斯為第一任天文台台長呢！
高斯一生對數論、代數、統計、分析、微分幾何、矩陣理論、大地測量學、地磁學、天文學以及光學均有貢獻，以他名字「高斯」來命名的成果高達110個。1855年的2月23日清晨，高斯在睡夢中安詳過世，享年77歲。後人為了表彰高斯的對數學的偉大貢獻，特別鑄造了一個直徑7公分的紀念金章給高斯家族，紀念章的邊緣還用拉丁文刻著「Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi」 （「Hanover君主喬治五世向數學家王子致敬」），從此，後人就尊稱高斯為「數學王子」了。
小故事大哉問
小朋友，聽完以上故事，我們一起來討論看看下列問題：
- 小朋友，你覺得高斯是個天才兒童嗎？為什麼你這樣覺得？
- 高斯計算1＋2＋3＋……＋98＋99＋100＝5050的方法你學會了嗎？請你用同樣的方法算出1＋2＋3＋……＋148＋149＋150＝？
- 高斯是哪一國人？他為何被稱為「數學王子」？
- 你最喜歡高斯的哪個事蹟？為什麼？
桌遊教學應用─用數學桌遊教質因數
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桌遊教學應用─用數學桌遊教質因數
桌遊教學應用─用數學桌遊教質因數
在進入到六年級後，學生馬上需要學習最大公因數、最小公倍數的單元，在此單元裡，學生是否能了解質因數是十分重要的概念。在翰林課本裡，每冊次每位學生皆有一套桌遊，透過翰林數學桌遊，以遊戲趣味性又具有教學性的方式為學生做來質因數的概念統整。
在該概念教學結束後或單元教學的最後，可以利用一堂課的時間，透過數學桌遊「質因數對對碰」進行複習活動，使桌遊主要針對六年級的質因數做教學應用，學習合數與質因數的分辨，規則如同一般常見的撿紅點遊戲進行配對活動，簡單的講解向學生說明規則後，同學們皆興致勃勃的準備開始遊戲，針對同樣的合數、同樣的質因數分解、合數與對應的質因數分解進行配對，另外一種遊戲玩法，也可以使用抽鬼牌的方式，配對相同的合數與質因數，簡單容易了解的遊戲規則與內容，讓學生一玩就愛不釋手。
桌遊不只在課堂上能讓學生操作及做教學活動，在課餘之時，學生也會自己拿出自己的桌遊，三三兩兩的各自玩遊戲，更能在遊戲過程中對概念做複習，看著學生在下課時間拿出遊戲自己玩，慢慢的，在改習作、考卷能發現錯誤率有稍稍的變少，很開心能看到學生的進步。因翰林數學課本每冊次皆有數學桌遊，更可以蒐集每冊次的桌遊，選擇教室一角擺放，不僅是班級經營的方式、學生的遊戲區，也能讓學生透過遊戲去複習以前所學過的概念。
透過數學桌遊，讓原本對於數學興趣、學習成就較低落的學生，因為遊戲式的方式，讓原本對數學感到害怕的學生啟發學習興趣，也透過遊戲的過程中去學習數學概念，學數學也可以很有趣呵！
提升數學素養的後設認知教學策略
提升數學素養的後設認知教學策略
—讓後設認知贏在起跑點，從低年級開始做
文／林原宏（國立臺中教育大學數學教育學系教授）
一、造訪課綱中的數學素養
十二年國民基本教育課程即將於108學年度開始實施，而核心素養的課綱內容是這次新課綱的主軸。在總綱和數學領域課綱內容中，我們可以發現和九年一貫課程有一項不同的點，是強調了後設認知（meta-cognition）教與學。因此，本文想先從數學素養的論述，說明數學後設認知的教與學，並從數學課本的實例中來加以闡述。
圖1：核心素養的滾動圓輪意象
十二年國民基本教育課程以「核心素養」做為課程發展之主軸，「核心素養」是指一個人為適應現在生活及面對未來挑戰，所應具備的知識、能力與態度。十二年國教課綱以圖1的九大核心素養面向滾動圓輪意象來詮釋核心素養的意涵。所以簡而言之，數學素養是數學的知識、能力與態度在生活中的展現。
總綱的九大核心素養面向對應至各學習階段的數學領域核心素養具體內涵，以總綱核心素養「A2系統思考與解決問題」為例，其意義是「具備問題理解、思辨分析、推理批判的系統思考與後設思考素養，並能行動與反思，以有效處理及解決生活、生命問題。」。其中，後設思考素養被認為是數學素養的一部分。
二、後設認知知識與策略
在十二年國民基本教育課程綱要總綱裡，有關教學實施的教學模式與策略中，指出「教師應引導學生學習如何學習，包括動機策略、一般性學習策略、學習策略、思考策略，以及後設認知策略等。」（十二年國民基本教育課程綱要總綱，P.33）。同時也指出數學學習重點由「學習表現」和「學習內容」所組成，「學習表現」是以學生為中心，重視認知、情意態度與生活應用的學習展現，代表「非內容」向度，具體展現或呼應核心素養。而「學習內容」涵蓋數學基礎重要的事實、概念、原理原則、技能與後設認知等知識。綜合以上十二年國教課綱的論述以及國內外文獻，都可以看到後設認知是數學素養的成分之一。所謂後設認知後設，是指個人對自己的認知歷程和結果，能進行掌握、監控、支配和評鑑的一種知識和策略。後設認知包含了後設認知知識（knowledge of metacognition）和後設認知策略（strategy of metacognition)兩大部分(Schneider, & Artelt, 2010)。
後設認知知識可再細分成三種知識：
1.陳述性知識（declarative knowledge）：
是指知道那是什麼（knowing that）的知識，是對某概念或事實的瞭解。
2.程序性知識（procedural knowledge）：
是指知道如何去做（knowing how）的知識，是對程序步驟與規則的瞭解。
3.條件性知識（conditional knowledge）：
是指知道在某些條件下知道何時、為何來做（knowing when and why）的知識，也就是能夠辨認條件來選用策略的知識。
此外，後設認知策略包括了計畫（planning）、監控（monitoring）、評鑑（evaluating）等策略。
三、數學素養中的後設認知和實例
就數學學習而言，數學後設認知深深影響問題解決的成功以及數學素養的培養（Wilson & Clarke, 2004）。例如，Yore, Pimm, & Tuan（2007）指出後設認知的能力與推理是數學素養的共同元素，Schneider & Artelt（2010）指出學生擁有後設認知知識與策略，能有效促進其數學學習的成效。許多的文獻均指出，學生的數學後設認知策略是可以被教導的，而且應從低年級階段就可以進行。那麼，綜合前述的後設認知策略，有哪些提升學生數學後設認知的有效教學策略呢？臚列數點如下（Montague, Warger, & Morgan, 2000）。
1.監控閱讀理解與轉譯
引導學生自我評鑑（self-evaluation）是否瞭解問題中的內容？可否指出重要的關鍵訊息？利用放聲思考（aloud thinking）來監控並促進瞭解這關鍵訊息所表示的內容和意義。
2.以自己的話語重述題意
藉由老師提問來訓練學生自我提問（self-question），這個問題的意思是什麼？想像自己教自己，用自己的語言把問題的條件和重要內容說出來。
3.視覺化的表徵呈現
協助學童自我教導（self-instruction）用視覺化的圖或表把問題的畫出來，來協助瞭解問題並提出策略；同時也檢核畫出的圖或表是否符合題意。
4.提出解題策略與規劃
協助學生根據題意理解和學過的知識經驗，提出可行的解題策略。決定要怎麼做？先做什麼？再做什麼？要不要調整步驟順序？
5.合理答案的評估
協助學生評估這個答案的大約是多少？依據什麼理由來判斷這個答案大概是多少？
6.進行程序執行或計算
協助學生自我監控（self-monitoring）計算程序和步驟正確嗎？每一步驟計算的結果正確嗎？
7.檢核答案適合性
計算所得的結果是否符合題目求？要如何檢查計算結果是否正確？學會自我調整（self-regulation）策略，利用要其他不同的計算策略或方法，檢核計算和答案結果。
依據十二年國教素養導向課綱精神，以翰林版108年一上數學課本的「10以內的減法」單元中的如下布題為例，是具有提升後設認知的任務設計。所以，善用後設認知教學策略可提升學生的數學素養。
學習任務
低年級學童的識字量不多且閱讀理解能力尚在培養階段，此問題為拿走型問題的改變量未知問題，是學生較不熟悉的問題。布題設計透過視覺化圖示，教師可透過後設認知教學策略引導，可提升學生彈性思考的數學素養。
後設認知教學策略之提問與引導
1.監控閱讀理解與轉譯
請先把題目念出來，這題目問什麼？你可以用什麼方法問題表示出來？
2.以自己的話語重述題意
請你用自己的話把這個問題說說看？其他同學幫忙聽聽看，說出來的內容和題目意思有沒有一樣？
3.視覺化的表徵呈現
請你用畫○表示原來的氣球，指出哪些是沒飛走的氣球？哪些是飛走的氣球？
4.提出解題策略與規劃
題目請你用什麼表示飛走的氣球？要用哪一種計算方法？
5.合理答案的評估
飛走的氣球會比7多嗎？答案大約是多少？
6.進行程序執行或計算
列出的算式要如何算出答案？答案是指哪些氣球？
7.檢核答案適合性
要怎麼知道你的答案是對的？有沒有其他方法可以檢查。
四、總結
後設認知不是新的名詞，但近年來各國素養導向的數學課程改革，都可以看到數學後設認知再度受到重視。在教學現場，常可以聽過學生說：「老師，這題我會算，我只是算錯」。其實解題錯誤的原因之一，往往是因為解題者缺乏後設認知。其次，後設認知被被視為素養的成分之一。相當多的實證研究文獻有證實，低年級階段可以開始透過數學後設認知教學策略，讓學生學會後設認知知識與策略，進而提升數學素養。因此，讓我們宜從低年級開始培養學生數學後設認知，讓後設認知成為數學學習與素養涵育的墊腳石。
（本文原刊載於《翰林12年國教課綱期刊》）
參考文獻
教育部(2014)：十二年國民基本教育課程綱要總綱。臺北市：教育部
Yore, L. D., Pimm, D., & Tuan, H. L. (2007). The literacy component of mathematical and scientific literacy. International Journal of Science and Mathematics Education, 5, 559-589.
Schneider, W., & Artelt, C. (2010). Metacognition and mathematics education. ZDM , 42 (2), 149-161.
Wilson, J., & Clarke, D. (2004). Towards the modelling of mathematical metacognition.
Mathematics Education Research Journal, 16 (2), 25-48.
Montague, M., Warger, C., & Morgan, T. H. (2000). Solve it! Strategy instruction to improve mathematical problem solving. Learning Disabilities Research & Practice, 15 (2), 110-116.
親近數學 可從閱讀繪本開始
親近數學 可從閱讀繪本開始
文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）
你對數學的印象是什麼？大部分的人都認為，學數學必須要背很多公式，做很多計算練習，總之，就是為了考試才學習。其實，生活中處處可發現數學的美，例如高鐵、電影院的坐位號碼都有規律可循；用一個公式（底×高÷2＝面積）就可以算出大小不同的三角形面積；1×1＝1、2×2＝4、3×3＝9、4×4＝16、25、36、49……這些數都稱為正方形數；數學例子還有很多。
數學可以培養邏輯思考、推理探究、問題解決等能力。不過，數學真的只能透過課本、習作、參考書來學習嗎？事實上，在圖文繪本中，也能看到與數學有關的故事和想法。
圖文繪本 充滿數學元素
很多圖畫故事書含有數學元素，目前坊間出版社已經出版了不同主題的數學繪本。舉例來說：兩個老爹要比誰買的綠豆多，一顆一顆數要花費許多時間，就算村民提供了大大小小的木桶，還是無法解決，那麼，最後他們要怎麼比出來？你收到朋友生日派對的邀請卡，但是門牌號碼其中一個數字不見了，你要怎麼找到派對地點？有隻厲害的小蜘蛛，牠可以猜出客人要買哪種糖果，牠是如何辦到的？企鵝裴利想要一輛滑板車，牠必須花九個蛤蜊才能買到，在籌措的過程，牠經歷到自己賺來的、花掉的、找到的、遺失的、借來的蛤蜊，並從中認識了什麼是負數。生活中有很多用點和線組成的網路圖，從奇線點和偶線點的介紹，可學會一筆畫問題，同時也破解古老的七橋問題。
讀了這些故事簡介，是不是讓人覺得數學有趣又有用？這類的繪本，很適合從幼兒園到小學高年級的學生逐年閱讀。
多重功能 解決數學問題
在學習數學的過程中，學童會接收到許多抽象的觀念，如果能透過兒童文學把數學的觀念或想法，以故事脈絡及圖片呈現，用更多學童熟知的語言來表達，就更能讓學童感受到數學真實存在生活裡。
數學繪本能有效提升、擴展抽象的數學概念，從閱讀中增進學童的觀察、預測、應用、表達及評斷等能力，同時提供有意義的學習脈絡，有助了解數學概念，加強數學溝通能力，並鼓勵他們成為數學問題的解決者，提升解題的自信心。
數學繪本透過不同的生活事件來引導學習某個數學概念，也可將數學概念連結兒童的生活經驗。數學繪本充分展現生活的應用和關聯，提供數學的思維和視野，它可用來培養學童的數學素養。因此，數學繪本是：
1. 具有親和力且輕鬆的數學教材；
2. 加強數學概念溝通討論的工具；
3. 連結數學概念和生活情境的教材；
4. 提供傾聽、寫作及討論數學概念的機會；
5. 在有意義的情境中運用數學知識；
6. 改變學童對數學的看法；
7. 擴展學童的數學知識。
故事情境 探索數學內涵
相較於一般數學文字題，數學繪本的故事情境更易於操作，使親師改變數學的難度及傳達方式。
對年幼的孩子可採大聲朗讀的方式，從故事的人、事、時、地、物來討論；對中年級的學童可用共讀或輪讀的方式，討論故事中發現的數學概念，故事能怎麼繼續發展，並確認數學的概念、過程與類型。
至於高年級的學童，可鼓勵他們獨自或在小團體中閱讀，說明從故事裡學到哪些數學概念，並反思故事的目的、結果與過程，將所學應用於專題報告與創意活動中。故事的結局也可以是開放的，允許學生繼續建構故事線，以便發展符合他們自身情境的數學問題。甚至可假想情境改變，故事的走向又會如何轉變等。
根據筆者的研究，親師在指導學童閱讀數學繪本時，最常用的閱讀理解策略是「解釋閱讀材料提出理由支持」，其次是「比較自己的經驗」，以及「歸納和推論」。而數學解題策略的分布較平均，前三者是「模擬與操作」、「歸納或演繹」和「猜測與嘗試」，低年級也重「尋找樣式或規律」。不管使用哪種策略，學童透過閱讀數學繪本，都能慢慢親近、理解數學。
（本文原刊載於《國語日報》2018年10月17日13版）
寫下數學想法 提升思考與表達
寫下數學想法 提升思考與表達
文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）
學童的數學學習，究竟是概念比較重要，還是熟練比較重要？因為知識形成的過程是經驗、理解、內化、自動化，所以一般人通常先理解概念，再經由練習到熟練；但也有學者認為熟能生巧，可透過多練習而習得概念。
學習數學 概念與熟練並重
現代的學習並不鼓勵「死背硬記」，但在追求創意之際，還是要具備基本能力。因此，不要輕忽熟練，而只強調概念，熟練和概念一樣重要。以學習九九乘法的4×3＝12為例：學童的舊經驗和自發性解題是4＋4＋4＝12，經由察覺「4有3個」；教師再引導語意，將之轉化為「4的3倍」；進而理解乘法公式，再透過解決4×4＝16、4×5＝20等問題而熟練。如果只有死背九九乘法公式，一般的學童並無法從8×9＝72和72＋8＝80兩算式，推理得知8×10＝80。
國際越來越重視推理、解題、溝通、連結、表徵的數學能力；九年一貫和十二年國教數學領域課程，也重視察覺、轉化、溝通、解題、評析的內部和外部連結能力。因此，從數學學習角度來看，提升學童思考力和表達力是這些數學能力的基本核心。
教學本質 重知識形成過程
數學教學的本質是思維的過程，本應讓學童參與知識形成過程；尤其在國小階段，學童的數學知識是從具體活動到抽象化。具體活動不只是教具操作，還包括圖示或算式的自發性解題表徵，例如：一排畫4個○、畫3排，或是4＋4＋4＝12，經由察覺、轉化、推理等思考活動，形成抽象的4×3＝12乘法算式，並能與人溝通4代表什麼，3代表什麼，以及12的意義。接下來，學童即能評析4×3＝12及3×4＝12的不同意義，也可從解應用題連結到擬文字題。
這些經由語言、文字來說明想法的活動，可帶領學童思考和表達，進行有意義的數學學習。等到學童理解乘法概念，再熟悉十十乘法算式後，基本乘法就可成為學生解複雜數學問題的工具。數學學習是這樣逐步發展的。
強化思考 擴展建構反應題
現在的國中會考，數學考非選題兩題，在會考網站上說明非選題是建構反應題；臺北市五年級上學期的基本學力檢測普測含建構反應題兩題，新北市五年級下學期的基本學力檢測普測含非選題兩題。非選題雖然可以是開放型問題，但要評量學童對數學知能的理解和應用，國際的大型測驗，包括「美國國家教育進展評測」（NAEP）和「國際數學與科學成就趨勢調查」（TIMSS）都是以建構反應題來了解學童溝通、推理和連結的能力。
另外，「國際學生評量方案」（PISA）的數學素養測驗是針對完成國民教育且滿十五足歲者，了解學生是否能在情境脈絡中使用數學，成為問題的解決者；學生需要將真實世界和數學世界相互連結，藉由轉化、解題的數學歷程，形成數學建模循環。因此，在強調數學素養評量的風潮下，國小階段更適合「擴展式建構反應題」來評量；它可以幫助學童深層思考，學童必須整合自己的知識內容，以文字或圖表等方式，呈現解題思考過程。教師進行數學課室形成性評量，可以從學童解題和同儕討論的過程來確認、延伸、綜合學童的數學知能，並能強化其思考力，也有助於提升表達力。
數學寫作 培養學童表達力
學童的數學表達力，包含口語的發表、討論和溝通，也包括文字的說明和寫作。建構反應題屬於非例行問題，通常會請學童寫出或畫出他的解題想法、判斷理由等，為了有效掌握課堂進度，不建議使用與教學內容無關或大型的題目，藉由錯誤例的概念修補、正確例的多元分享，才能讓小型任務形成性評量的學生反應和教師回饋聚焦。
如果想培養學童對所學的數學內容有結構性的整理和反思，對學習數學過程有情感性的感受和啟發，甚至體驗到數學在生活上的關係和應用，就可鼓勵學童撰寫數學小日記。
數學小日記可以從幾句話開始，或是以圖配文；撰寫的內容包含從數學課學到什麼、在數學課的發現、學習單元的困難、容易出錯的地方、不懂的地方、想問的問題、數學內容和生活的關聯等。透過這種不一樣的數學作業，可以加深學童對所學內容的印象，也可加廣學童對所學知能的應用。
（本文原刊載於《國語日報》2018年10月17日13版）
數學課重討論 需時長但成效大
數學課重討論 需時長但成效大
文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）
現代教育思潮強調由教師為中心，轉成以學生為中心的教學。教師為中心的講述式教學雖有優點，但缺乏師生和同儕間的互動，無法培養學生主動思考和自發學習。學生為中心的討論式教學雖然被重視，但教學時間有限、低成就學生不會發表、學生不擅提問等現象，如何實施有效能的討論，成為教學者的重要課題。
十二年國教課程綱要強調核心素養，數學領域更重視數學素養，且現在盛行的學習共同體、合作學習、探究教學都是以討論為核心。因此，本文將從建構學習與鷹架學習、理想課室樣貌與有效討論兩方面，進行分析和探討。
教師引導與提問 助學生建構學習
數學學習重視概念的認知發展，除了數學知識本身具有系統性和結構性外，學生在新概念的學習上，會受到近側發展區的影響。學生在近側發展區較能參與學習，讓學習穩固；而和稍高成就的同儕互動討論，也會促進學生的學習發展。所以，近二十年的教學趨勢非常強調學生的建構學習。
早年曾有建構數學、建構教學的說法，其實正確的說法應該是「建構導向數學教學」。建構主義是學習理論，不是教學理論，建構是指學生在學習概念時，從不明白到清楚，從粗糙到精緻的逐步形成過程。對應學習面的建構理論，教學面就是鷹架理論。教師除了要扮演稍高成就的同儕以參與學生的討論之外，還應根據學生的學習軌跡進行提問或追問，協助學生往教學目標邁進。
乘法從加法引導 將解法由繁化簡
很多人對建構導向數學教學有所誤解，認為是把數學的學習化簡為繁，例如九九乘法要從加法教起，實則是從兒童解法提升到專家解法，將解法由繁化簡。
通常，學生首次接觸乘法情境問題，如「一隻青蛙4條腿，3隻青蛙幾條腿？」時，他們的舊經驗會透過具體物、畫圈、數字等具體操作活動表徵題意，經過溝通和討論會出現如算式一（4＋4＋4＝12）的加法共識。這時教師的關鍵提問是「你怎麼知道有三隻青蛙？」學生大多會指出「一個4是一隻青蛙」，並回答「4有3個」或「3個4」。
乘法教學最重要之處，是由教師指導並協助學生將「4有3個」的語意，轉換為「4的3倍」。這對學生而言，不是一兩題就能夠學會，而是要在不同情境、不同數字間建立模型或基模，才能發展相關概念的認知學習。學生有「4的3倍」這樣的概念，教師就可以引進乘法，如算式二（4×3＝12），學生是從解題中學會乘法算式的。
提醒親師，學生應該先有概念再求熟背；而認識近側發展區者，也都知道熟背是需要時間才能成熟。因此，當學生還沒有全部熟背九九乘法表時，親師應允許學生在使用乘法表述問題時，可用加法來解題。以上這一連串乘法概念的發展和提升，充分說明了學生的建構學習、教師的鷹架教學，兩者間的交互作用，以及學生的認知發展。
與同儕互動討論 學習保存率更高
根據學習金字塔理論，學習者在兩週以後還記得的學習內容，聽教師講述者只剩百分之五，閱讀的保存率為百分之十，透過視聽的效果為百分之二十，就算有示範或展示也只有百分之三十，但經過小組討論可記住百分之五十，透過做中學或實際演練可達到百分之七十五，在金字塔底部的學習方式是教別人或馬上應用，其成效為百分之九十。這也與訊息溝通理論相呼應，學生接收上位者教師的訊息只能記住兩成到三成，但接收平行者學生的訊息卻能記住八成到九成。
可見學生需要主動學習和參與，且學生能和同儕互動討論或教導他人，其本身就必須透過個體思維，將內容轉化為別人能理解的表達方式；在這同時，也提升了學生潛在智能的發展。數學課室應是共同學習的社群，透過小組或全班討論，進行新概念或複雜問題的探究，培養學生思考、推理、溝通等能力。初期側重心理性層面勇於發言的引導，中期則重視社會性層面合作討論的培養，後期著重科學性層面推理辯證的厚實。總之，數學課室討論文化的建立，雖然需要時間累積，但成效將加倍呈現。
建構導向數學教學中，九九乘法應從加法引導，教師透過提問引導學生，助學生建立相關概念，讓數學解法由繁化簡。
（本文原刊載於《國語日報》2019年3月27日13版）
建立討論文化 打造理想數學課室
建立討論文化 打造理想數學課室
文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）
十二年國教欲培養學生適應現在生活及面對未來挑戰的能力，所需具備的核心素養分別為：自主行動、溝通互動與社會參與，其在各學習領域的具體內涵，包括知識、能力與態度都應具有「學習遷移」的成效。因此，數學教學必須落實學生為中心的教學，培養學生有學科素養、溝通素養、工具素養及應用素養。
學生為中心的數學教學，最重要的是培養學生能主動思考與解題，互動討論與溝通，擴展觀點與應用，以上並非在課室採用分組教學，讓學生解題、發表想法就可達成。本文將從數學教學的理想樣貌，發表和討論能力的精進，辯證和質疑能力的建立，來談教師如何經營數學課室的討論文化。
培養教學理想樣貌 需有實質群體討論
數學課室中，無論以排排坐還是分組坐的形式都不是重點，重點是要有實質上的小組或全班群體討論產生。
教師在教學上，要將個別學生聚在一起的上課方式，轉為數學學習社群的形態；將提供正確答案給學生，轉為由學生邏輯思考和驗證解題；將重視計算過程，轉為讓學生表達數學推理想法；將教導學生公式化的尋找答案，轉為由學生運用推想和創意解題技能，並且引導學生將這些獨立概念和作法，與生活應用產生連結。
基本上，教師如果能著重舊經驗與新目標的連結，讓學生主動解題和探索，引導小組與全班群體討論和辯證，就可逐步培養學生群體討論文化的發展。
理想的數學課室目標是，教師能提問更多開放式問題，促進學生間對話，學生能對同儕所發表的解法提問，仔細聆聽彼此間的討論；教師更深入了解學生的解法並細緻處理學生的描述，學生能說明他們的解法並辯護他們的答案和做法；教師能利用學生的解法作進一步的教學，運用學生錯誤的解法作為學習的強化，學生解法與他人不同時也能展現自信，澄清自己和其他人想法的差異。
教師耐心引導學生 精進發表和討論力
許多教師認為高成就學生比較會發表，較低成就學生不願意發表，而中成就學生就看他當下解題的信心來決定是否要發表。實際上，不論哪一類學生要進行有意義的發表，都需要經過時間的培養。
高成就學生的發表，教師應引導至能讓同儕理解的程度，發揮教學相長的功能；中成就學生通常只能將寫出的解題方法念一遍，教師應引導他們說出算式中數字所代表的意義；較低成就學生只要能上臺，在教師的引導下說出他解題的想法即可。重要的是關注所有學生是否都認真聆聽，而非只是發表者和教師的互動，僅有少數學生參與討論。學生能聆聽同儕的發表和討論十分重要，可以了解多元解法外，還可以增進自己的批判分析能力，這也是一種學習中的學習。
學生不是上臺朗讀解法就好，而是要引導他們深入說明解題想法和題目情境的關聯。通常，低年級要培養學生敢說、願意說的心理層面；中年級要引導學生小組或全班討論的社會層面；高年級要鼓勵學生用數學語言溝通的科學層面。但是，新接一個班級時，要經營討論文化必須歷經這三個階段，只是不同年級在心理性、社會性、科學性的著重有所差異。
數學思維連結生活 建立辯證和質疑力
以學生為中心的教學，雖然發表和討論是核心，但也必須提升學生主動參與和思考的能力；學生不僅要學會數學思維，更要透過數學學會思維，並能將數學在生活中連結和應用。尤其，學生到了中、高年級，如何從聆聽、發表、提問，進階到說理、辯證、質疑呢？以下，筆者分享一名有討論式教學經驗的高年級教師，新接五年級班級時的教學策略。
雖然師生都有數學課堂討論的經驗，但不代表討論活動就能自然發生。學期初的課堂中，學生舉手發言者不多，這名教師決定由心理層面入手，師生共同訂定數學討論規範，並引導學生說出解題的想法，當學生無法明確表達時，教師會逐步示範。開學一個月後，為解決教學進度落後，各組討論狀況不均的問題，這名教師重新採用異質性分組，促進群體討論的有效進行；此階段只要學生的討論未偏離主題，教師就不介入。開學三個月後，課堂氣氛熱絡，師生間默契十足，學生可以主動發表討論，進行質疑辯證，教師更注意數學概念的探討。
（本文原刊載於《國語日報》2018年4月3日13版）
素養導向教學 如何落實於國小數學？
素養導向教學 如何落實於國小數學？
文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）
十二年國教新課程強調核心素養的養成，重視學生知能和態度的培養，延續和擴大九年一貫課程帶得走的能力。剖析數學領域國小階段三面九向的具體內容，以及分析國內外數學素養的相關文獻，數學核心素養不外乎與「數學的思維」、「生活的應用」有關；數學的思維就是對應內部連結的深度，生活的應用就是對應外部連結的廣度。
通常，課本教材只能靜態的線性呈現，教學卻是動態的師生互動、提問討論等。所以，學生舊經驗到新經驗的發展，具體活動到抽象概念的提升，數學概念和生活情境的關聯等，都是教學要考量的。
那什麼是「數學素養導向教學」呢？除了能落實以學生為中心的數學教學外，就是要加強數學思維、生活應用在教材和教學中的成分。
這些成分如果要有效的融入數學教學，或發展校訂課程，我推荐小而美的教學設計，就是以數學單元為背景，設計一節課教學。當然，數學素養導向教學可有不同的想法和作法，本文將介紹以探究教學深化數學的思維，以數學繪本擴展生活的應用，落實新課綱的數學素養教學理念。
以探究教學 深化數學的思維
探究教學強調以學生為主體，主動探尋問題，並尋求解決問題的過程。過程中提供充分探索和操作，發表和討論的機會。數學教學時，如果只有解題、發表、討論的樣態，雖然也有探究的味道，但這與所謂的「以學生為中心的數學討論教學」內涵，或與本文介紹的探究教學差異相當大。根據數學教學現場的實務和考量，探究教學的內容最好能和課本單元教學有關，且針對其重要概念，設計一節課的活動最佳。
在探究教學模式中，透過分析內涵，並強調以引導式教學為核心。
在國小階段，可實施Chapman數學探究模式，它透過「引入、探索、分享與討論、結論」四個階段進行。探究教學必須設計具有且須問題厚實的「主探究問題」，讓學生有興趣主動探索和發展概念。因此，探究教學是以數學思維為主，生活應用為輔的素養實踐。
在一節課中，經由四個階段的歷程，教師和學生的不同任務，與關鍵性問話，引導學生建構數學概念的發展。例如將報紙上對兒童節入園人數的報導設定為主探究問題，讓兒童在引入階段產生排序的需求；在探索階段教師提問什麼是「近兩萬」、「近四萬」，各組學生發展出不同的想法；在分享與討論階段，教師從學生的發表引出概數概念，並請學生再思考報導中的「二點三五萬」、「三點一萬」、「四點五萬」是精確數還是概數，教師下節課將教四捨五入的概念等；最後在結論階段，學生自行總結學到什麼，以及什麼是概數，也充分掌握對概數意義的了解。
以數學繪本 擴展生活的應用
數學給予學生許多抽象的觀念，兒童文學在數學教室有獨特的優勢，因為數學的觀念或想法能以故事脈絡、圖片呈現，用更多非正式或學生熟知的語言，來引導學生學習某個數學概念，並將數學概念連結學生的生活經驗。數學繪本充分展現生活的應用和關聯，提供數學的思維和視野，藉以培養學生的數學素養。
選一本合適的數學繪本進行教學，可配合某一單元安排一節課，發展先備知能或引起動機，了解其中數學概念及技能，提供回顧概念或延伸綜合的一項目的。
同一本繪本的內容可使用於不同的年級，只是教學時討論的重點、呈現的知能可能不同。
從〈親近數學，可從閱讀繪本開始〉一文，了解好的兒童文學作品能讓數學課非常的生動，創造積極的數學學習環境，也能將數學概念結合生活經驗。適合國小階段的數學繪本能有效提升、擴展，讓學生理解抽象的數學概念。
透過數學繪本，兒童在閱讀和討論的過程中自然增進其認知能力；尤其可以讓學生感受到數學有趣、有用，在生活中存在。
（本文原刊載於《國語日報》2019年10月2日13版）