分類：小數-小故事

博學多才祖沖之

博學多才祖沖之

文／林原宏（國立臺中教育大學數學教育學系教授）、李英（數學教育文教工作專任老師）

 

　　小朋友，你知道哪種人物可以出現在中國、香港及幾內亞共和國的郵票上？嗯，一定是位有重要貢獻，受到世人肯定與推崇的大人物。沒錯！你知道每年3月14日是什麼日子嗎？是一年一度全球數學界慶祝某個「數」的節日。許多大學的數學系所還會在這天舉辦派對慶祝呢！它就是「國際圓周率日」。那你知道有位人物因為圓周率而出名，而且重要到郵票上及紀念幣上都有他的人像嗎？他就是中國古代的優秀數學家祖沖之。

 

生平

　　祖沖之（西元429～500年）是南北朝時代的南宋數學家及天文學家。在數學、天文與機械製造三個領域均有卓越成就。因為祖父、父親都是官員，非常注重晚輩的教育，所以祖沖之從小就閱讀大量數學及天文方面的書籍。他最為人知的是將圓周率（以π表示）算出小數點後第7位的精確值，3.1415926＜π＜3.1415927（意思就是圓周率比3.1415926大，但是比3.1415927小），這個精確值的紀錄，一直等到一千多年以後才有其他數學家突破。（今日是3.141592653589793…）

 

圓周率

　　關於祖沖之是如何算出圓周率的詳細方法，據說記載在他的著作《綴術》中，只可惜此書已經失傳，所以沒有人能知道確實的方法。後人猜測祖沖之是利用劉徽的「割圓術」，將圓繼續分割到正二萬四千五百七十六邊形（正24576邊形）後，所算出來的。想必這個過程一定非常辛苦！因為當時還沒有發明計算機來當工具，要計算這麼大的位值，只能利用一根一根的算籌（小竹棍、細木棍）慢慢擺放；當時印度阿拉伯數字還沒有傳入中國，無法方便做紀錄，只能用毛筆沾墨慢慢寫；就這樣，一邊畫、一邊擺、一邊算、一邊記錄，可以想像那是一個多麼浩大的工程啊！除了數學好，還要很細心呢！

　　他也將圓周率以分數表示，其中一個為「約率」＝，另一個為「密率」＝。因為這個「密率」的表示方式，比歐洲人整整早了一千年提出，所以日本及西方數學界均將，這個代表圓周率的分數稱為「祖率」。還有一個關於數學方面的重要貢獻是，祖沖之與他的兒子祖暅共同算出了球的體積為（其中d為球的直徑），後人為紀念他們父子，稱此為「祖暅原理」。

　　祖沖之三十歲時，為改善舊曆（元嘉曆）的誤差，創製了「大明曆」，是中國曆法史上第一次將「歲差」引進曆法。定出一個「回歸年」（從一個冬至到下一個冬至所經歷的時間，也就是地球繞太陽一周的時間）是（＝365.24281481日），今天測得的是365.2421988日，竟然已經準確到小數點後第3位。這個新曆法也更能精準的預測出日蝕及月蝕的日期。是不是很厲害啊！西方的天文學界為了紀念他，還將月球上其中一個環形山，命名為祖沖之環形山。還有一個小行星叫做祖沖之小行星。

 

其他卓越成就

　　祖沖之晚年，花許多時間在機械設計及製作上，著名的有「指南車」（圖1），是一輛行進間不論如何轉彎，小銅人永遠指著南方的車；「千里船」，是一天可航行一百多里的船；以及「水碓磨」，是種利用水車帶動杵臼將穀殼去除的機械。小朋友，你說祖沖之是不是一位非常博學多才的數學家呢？

圖1：指南車

 

小故事大哉問

　　小朋友，聽完以上故事，我們一起來討論看看下列問題：

  1. 小朋友，請你將「約率」及「密率」兩個分數，以計算機各自分別換算成小數。（以四捨五入法取至小數點後第7位）
  2. 請問為什麼祖沖之算出3.1415926＜π＜3.1415927，我們就說他已經算出圓周率（π）的小數點後第7位的精確值？（而不是小數點後第6位的精確值）

 

有趣的古埃及分數

有趣的古埃及分數

配合：翰林國小數學4下第6單元「分數」

 

分數的發明

　　萊因德數學紙草書（又稱作林德數學手卷；Rhind Mathematical Papyrus），是古埃及時代（約前1650年）由僧侶在紙草上抄寫的一部數學著作，從紙草書中可知道古埃及人已經會使用分數的記法。有趣的是，古埃及人使用的分數都是分子為1的分數。

　　古埃及的分數表示法類似現在分數寫法，如下面的圖示。形狀像開口的符號表示分數的分子1，開口下的符號表示分數的分母。

 

認識古埃及分數

　　古埃及人會將一個真分數，記錄成單位分數相加的形式，例如：會記錄成。可以看成是「2個麵包等分給5人，每人會分到幾個麵包？」古埃及人是怎麼分的？

1. 先將每個麵包各分成3塊，分給每人1塊，就是每人分到個，還剩下個。　　

 

2. 將剩下的個麵包，再等分給5人，這次每人分到個麵包。

 

3. 每人1次分到個，第2次分到個，所以每人共分到個麵包。

 

利用古埃及分數分分看

　　小朋友，想想看「3條緞帶等分給4人，每人會分到幾條緞帶呢？」利用古埃及人的方法分分看。

 

中國算籌和馬雅數字

中國算籌和馬雅數字

文/胡仁慈

圖1：在中國的甲骨文中發現的數字系統。（約4500年前）

 

　　傳說古代波斯王打仗時常用繩子打結來計算天數。用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地上計數也都是古人常用的辦法。

　　古代的中國人和南美洲的馬雅人甚至只用兩種符號來記數。它們雖然是不同的文明，但卻不約而同的發展出類似的數字系統。小朋友你說這是不是巧合呢？

 

中國的算籌

　　中國古代的算籌實際上是一根根同樣長短和粗細的小棍子，一般長為13～14公分，徑粗0.2～0.3公分，多用竹子製成，也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料製成的，大約二百七十幾枚為一束，放在一個布袋裏，繫在腰部隨身攜帶。需要記數和計算的時候，就把它們取出來，放在桌上、炕上或地上都能擺弄。籌算直到十五世紀元朝末年才逐漸為珠算所取代，中國古代數學就是在籌算的基礎上取得其輝煌成就的。

 

記數規則

　　記數時，「個位」用縱式，其餘縱橫相間，空一格表示「零」。

例如：

　　由於縱橫相間而且個位又必須是縱式，所以數字的位值不會弄錯。

 

自己做做看

 

失落的馬雅文明

圖２：馬雅文明代表每日的符號（馬雅文明每個月只有20天，分別用20個符號來代替。）

 

　　在3000年前，由簡樸的農漁社區發展出輝煌的文化，馬雅人以幾近零誤差和令人驚異的正確度來設計，建設太陽和月亮等神殿。古代馬雅人的數學和天文學的優越令人非常驚訝，世界上最早發明「零」的民族是馬雅人，比阿拉伯商隊橫越中東的沙漠把這個概念從印度帶到歐洲的時候早一千年。希臘人擅於發明，但他們必須用字母來寫數目；羅馬人雖然會使用數位，但只能用笨拙的圖解方式以四個數位來代表（Ⅷ）；而馬雅人卻能夠發明一種僅使用三個符號：一點、一橫、一個代表零的貝形符號，來表示任何數位的計算法，實在是不可思議！

 

馬雅文明的數字系統

　　馬雅在數學上十分先進卻也十分獨特，最為人樂道的是他們是世界上最先有「0」的概念的文明。

　　馬雅人不知為什麼選擇了20進制的運算，也許是覺得計數時只用十根手指有點浪費資源。馬雅數字中0以一個貝殼模樣的象形符號代表，1至19則以不同數目的圓點和橫線組成的符號代表，記數法跟今天的阿拉伯數字差不多。

 

記數規則

 

自己做做看

 

古希臘與古羅馬的記數

古希臘與古羅馬的記數

文/胡仁慈

 

　　小朋友，你是否看過電視上的新聞報導「小狗做算術」呢？當記者出一題加法題，例如「2＋5」，由記者寫到黑板上。小狗看到後就會「汪汪汪……」叫7聲。當你看到時一定會感到驚歎和懷疑狗怎麼會這麼聰明？因為在一般人看來狗是不會有數量概念的。

　　人類在最初也完全沒有數量的概念。但人類發達的大腦對客觀世界的認識已經達到更加理性和抽象的地步。這樣，在漫長的生活經驗中，由於記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產生了數的概念。例如捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭，就放3塊石子。這些辦法用得多了，就逐漸形成數的概念和記數的符號。

　　數的概念最初不論在哪個地區都是1、2、3、4……這樣的自然數開始的，但是記數的符號卻是大大的不同呵！

 

古希臘人的記數方法

　　古希臘人共用了27個符號來計算數字（你可以從下面的表中看出）

α

β

γ

δ

ε

ς

ζ

η

θ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

ι

κ

λ

μ

ν

ξ

ο

π

ϙ

10

20

30

40

50

60

70

80

90

 

ρ

σ

τ

υ

ϕ

χ

φ

ω

ϡ

100

200

300

400

500

600

700

800

900

記數規則

 規則 1 

大的數擺左邊；小的數擺右邊。
例如：αβ →（✘）。βα →（✔）。

 規則 2  

把所有符號所代表的數加起來。
例如：μθ＝40＋9＝49。

　　我們知道用太多的符號來記數是一件既麻煩又不好記的方法。所以我們應該用最少的符號來記數。

　　那麼15根羽毛應該怎麼記？你覺得下面哪一種記法比較好呢？

符號

ιε

θς

ηζ

計算

10＋5＝15

 

 

 

古羅馬人的計數方法

　　古羅馬的數字相當進步，現在許多鐘錶上還常常使用。

　　實際上，羅馬數字的符號一共只有7個：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C（代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。這7個符號位置上不論怎樣變化，它所代表的數位都是不變的。它們按照下列規則組合起來，就能表示任何數。

 

記數規則

 規則 1 

重複次數：一個羅馬數字符號重複幾次，就表示這個數的幾倍。
例如：「Ⅲ」表示「3」；「ⅩⅩⅩ」表示「30」。

 規則 2  

右加左減：一個代表大數位的符號右邊附一個代表小數位的符號，就表示大數位加小數位，如「Ⅵ」表示6，「DC」表示600。一個代表大數位的符號左邊附一個代表小數位的符號，就表示大數位減去小數位的數目。
例如：「IV」表示4，「XL」表示40，「VD」表示495。

 規則 3  

上加橫線：在羅馬數字上加一橫線，表示這個數位的一千倍。
例如：「XV」表示 15,000，「CLXV」表示165,000。

 

古羅馬數字（蘊含了左減右加的法則）

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

Ⅴ

Ⅵ

Ⅶ

Ⅷ

Ⅸ

Ⅹ

ⅩⅩ

L

C

D

M

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

20

50

100

500

1000

 

 

　　我們知道用太多的符號來記數是一件既麻煩又不好記的方法。所以我們應該用最少的符號來記數。

　　那麼15根羽毛應該怎麼記？你覺得下面哪一種記法比較好呢？

符號

ⅩⅤ

ⅤⅩⅩ

ⅤⅤⅤ

計算

10＋5＝15

 

 

 

黑洞數6174

黑洞數6174

配合：翰林國小數學3上第3單元「10000以內的加減」

 

　　在加減計算和數字排列的過程中，會發現許多有趣的數字，今天介紹的是黑洞數「6174」，讓我們一起來認識這個數吧！

 

6174為什麼是黑洞數？

　　任意寫一個四位數，這個四位數的數字不能都相同（例：2222、3333等），將這個四位數重新排列後，最大的數減最小的數，得到的差再用同樣規則計算，在8個步驟內，一定會得到6174這個數，從此就好像走進黑洞一樣，再也走不出這個數了，因此6174被稱為「黑洞數」。

 

舉例算算看

　　我們選一個四位數「8075」，開始進行計算。

第1步：

8075重新排列最大的數是8750，最小的數578，

最大的數減最小的數是8750－578＝8172。

第2步：

8172重新排列最大的數是8721，最小的數1278，

最大的數減最小的數是8721－1278＝7443。

第3步：

7443重新排列最大的數是7443，最小的數3447，

最大的數減最小的數是7443－3447＝3996。

第4步：

3996重新排列最大的數是9963，最小的數3699，

最大的數減最小的數是9963－3699＝6264。

第5步：

6264重新排列最大的數是6642，最小的數2466，

最大的數減最小的數是6642－2466＝4176。

第6步：

4176重新排列最大的數是7641，最小的數1467，

最大的數減最小的數是7641－1467＝6174。

第7步：

6174重新排列最大的數是7641，最小的數1467，

最大的數減最小的數是7641－1467＝6174。

　　再算下去都還是6174，難怪6174是黑洞數。

 

還有其他的黑洞數嗎？

　　黑洞數是在1955年，由印度數學家卡布雷卡(D.R.Kaprekar)所提出，又稱為「卡布雷卡數」，像這樣的黑洞數不只有6174呵！

　　小朋友，找一個三位數試試看，將這個三位數重新排列後，最大的數減最小的數，得到的差再用同樣規則計算，最後會得到哪一個數呢？五位數、六位數……利用相同的規則，可以找到其他的黑洞數嗎？