作者：教學科-組別1

古希臘與古羅馬的記數

古希臘與古羅馬的記數

文/胡仁慈

 

　　小朋友，你是否看過電視上的新聞報導「小狗做算術」呢？當記者出一題加法題，例如「2＋5」，由記者寫到黑板上。小狗看到後就會「汪汪汪……」叫7聲。當你看到時一定會感到驚歎和懷疑狗怎麼會這麼聰明？因為在一般人看來狗是不會有數量概念的。

　　人類在最初也完全沒有數量的概念。但人類發達的大腦對客觀世界的認識已經達到更加理性和抽象的地步。這樣，在漫長的生活經驗中，由於記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產生了數的概念。例如捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭，就放3塊石子。這些辦法用得多了，就逐漸形成數的概念和記數的符號。

　　數的概念最初不論在哪個地區都是1、2、3、4……這樣的自然數開始的，但是記數的符號卻是大大的不同呵！

 

古希臘人的記數方法

　　古希臘人共用了27個符號來計算數字（你可以從下面的表中看出）

α

β

γ

δ

ε

ς

ζ

η

θ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

ι

κ

λ

μ

ν

ξ

ο

π

ϙ

10

20

30

40

50

60

70

80

90

 

ρ

σ

τ

υ

ϕ

χ

φ

ω

ϡ

100

200

300

400

500

600

700

800

900

記數規則

 規則 1 

大的數擺左邊；小的數擺右邊。
例如：αβ →（✘）。βα →（✔）。

 規則 2  

把所有符號所代表的數加起來。
例如：μθ＝40＋9＝49。

　　我們知道用太多的符號來記數是一件既麻煩又不好記的方法。所以我們應該用最少的符號來記數。

　　那麼15根羽毛應該怎麼記？你覺得下面哪一種記法比較好呢？

符號

ιε

θς

ηζ

計算

10＋5＝15

 

 

 

古羅馬人的計數方法

　　古羅馬的數字相當進步，現在許多鐘錶上還常常使用。

　　實際上，羅馬數字的符號一共只有7個：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C（代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。這7個符號位置上不論怎樣變化，它所代表的數位都是不變的。它們按照下列規則組合起來，就能表示任何數。

 

記數規則

 規則 1 

重複次數：一個羅馬數字符號重複幾次，就表示這個數的幾倍。
例如：「Ⅲ」表示「3」；「ⅩⅩⅩ」表示「30」。

 規則 2  

右加左減：一個代表大數位的符號右邊附一個代表小數位的符號，就表示大數位加小數位，如「Ⅵ」表示6，「DC」表示600。一個代表大數位的符號左邊附一個代表小數位的符號，就表示大數位減去小數位的數目。
例如：「IV」表示4，「XL」表示40，「VD」表示495。

 規則 3  

上加橫線：在羅馬數字上加一橫線，表示這個數位的一千倍。
例如：「XV」表示 15,000，「CLXV」表示165,000。

 

古羅馬數字（蘊含了左減右加的法則）

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

Ⅴ

Ⅵ

Ⅶ

Ⅷ

Ⅸ

Ⅹ

ⅩⅩ

L

C

D

M

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

20

50

100

500

1000

 

 

　　我們知道用太多的符號來記數是一件既麻煩又不好記的方法。所以我們應該用最少的符號來記數。

　　那麼15根羽毛應該怎麼記？你覺得下面哪一種記法比較好呢？

符號

ⅩⅤ

ⅤⅩⅩ

ⅤⅤⅤ

計算

10＋5＝15

 

 

 

黑洞數6174

黑洞數6174

配合：翰林國小數學3上第3單元「10000以內的加減」

 

　　在加減計算和數字排列的過程中，會發現許多有趣的數字，今天介紹的是黑洞數「6174」，讓我們一起來認識這個數吧！

 

6174為什麼是黑洞數？

　　任意寫一個四位數，這個四位數的數字不能都相同（例：2222、3333等），將這個四位數重新排列後，最大的數減最小的數，得到的差再用同樣規則計算，在8個步驟內，一定會得到6174這個數，從此就好像走進黑洞一樣，再也走不出這個數了，因此6174被稱為「黑洞數」。

 

舉例算算看

　　我們選一個四位數「8075」，開始進行計算。

第1步：

8075重新排列最大的數是8750，最小的數578，

最大的數減最小的數是8750－578＝8172。

第2步：

8172重新排列最大的數是8721，最小的數1278，

最大的數減最小的數是8721－1278＝7443。

第3步：

7443重新排列最大的數是7443，最小的數3447，

最大的數減最小的數是7443－3447＝3996。

第4步：

3996重新排列最大的數是9963，最小的數3699，

最大的數減最小的數是9963－3699＝6264。

第5步：

6264重新排列最大的數是6642，最小的數2466，

最大的數減最小的數是6642－2466＝4176。

第6步：

4176重新排列最大的數是7641，最小的數1467，

最大的數減最小的數是7641－1467＝6174。

第7步：

6174重新排列最大的數是7641，最小的數1467，

最大的數減最小的數是7641－1467＝6174。

　　再算下去都還是6174，難怪6174是黑洞數。

 

還有其他的黑洞數嗎？

　　黑洞數是在1955年，由印度數學家卡布雷卡(D.R.Kaprekar)所提出，又稱為「卡布雷卡數」，像這樣的黑洞數不只有6174呵！

　　小朋友，找一個三位數試試看，將這個三位數重新排列後，最大的數減最小的數，得到的差再用同樣規則計算，最後會得到哪一個數呢？五位數、六位數……利用相同的規則，可以找到其他的黑洞數嗎？

 

錢幣的由來

錢幣的由來

配合：翰林國小數學3上第2單元「10000以內的數」

 

　　我們幾乎每天都需要用到「錢幣」購買物品，它是我們生活上不可或缺的工具。小朋友，你知道「錢幣」是怎麼發明的嗎？還沒發明「錢幣」的時候，人們要怎麼買東西呢？讓我們來看看「錢幣」的發明故事。

 

沒有錢怎麼買東西？

　　在人們還沒發明「錢幣」之前，不是「買」東西，而是「換」東西。人們會用以物易物的方式，交換自己所需要的物品，例如：拿一隻羊換一簍魚、拿米換油等。

　　後來，為了方便交易買賣，人們開始利用大家公認有價值，且可以接受的東西，當作買賣的交易工具。早期被拿來當作貨幣的物品，包括：貝殼、鹽、礦石、皮草、牲畜、珍貴金屬（如黃金、白銀）等，這些不容易大量獲取的物品，都曾經作為「錢幣」使用過。

 

各種材質的錢幣

　　隨著人們交易活動變多和活動範圍變大，但可當作錢幣的物品中，常有不能切割（如貝殼、牲畜）與不方便攜帶（如礦石）等問題，所以作為錢幣使用的物品逐漸被金屬所取代。

　　使用金屬錢幣的好處是它的製造需要人工，無法從自然界大量獲取，同時還易儲存。於是，人們發明了標準化的金屬貨幣，並由政府規定作為貨幣的金屬重量、顏色與每個單位的價值，例如：中國古代所使用的元寶、銀錠、銅幣等。標準化的錢幣讓大家可以方便且放心的交易。

 

攜帶方便的紙幣

　　隨著經濟的進一步發展，金屬錢幣也出現使用上的不便，加上印刷技術發達，人們進一步發明了「紙幣」。西元十世紀北宋初期時，四川商人共同發行一種紙券「交子」，就是人類最早的紙幣紀錄。

　　直到十八世紀，英國英格蘭銀行（就是英國的中央銀行）發行了標準化面額的銀行券，現代的紙幣才開始流通。

　　小朋友，我們每天都會使用到的錢幣，是經過幾千年才誕生的呵！

 

臺灣通用的錢幣有哪些？

　　小朋友，下面哪些錢幣是臺灣現在所使用的錢幣？這些臺灣的錢幣合起來是多少元呢？

 

永遠的1089

永遠的1089

配合：翰林國小數學3上第3單元「10000以內的加減」

 

　　小朋友，在加減計算和數字排列的過程中，可以發現數學有很多神奇的數，今天要介紹的是永遠的「1089」，讓我們一起探索這個有趣的數！

 

怎麼算出1089？

選一個三位數：
任意寫出一個三位數，這個三位數的個位數字不是0，而且百位和個位數字不可以相同。

先相減：
將原來三位數的百位數字和個位數字互換得新三位數，並將原三位數和新三位數相減（大數減小數），得一個差。

再相加：
將這個差的百位數字和個位數字互換又得新三位數，再將差和新三位數相加，奇妙的事發生，兩數相加都會是1089，不管你一開始寫的是什麼三位數，都會計算出1089。

 

舉例算算看

例1

選一個三位數：
選一個三位數「527」，開始計算。

先相減：
將527的百位數字和個位數字互換得新三位數725，原三位數527和新三位數725相減（大數減小數），725－527＝198。

再相加：
將198的百位數字和個位數字互換得新三位數891，原三位數198加上新三位數891，198＋891＝1089，得到的結果是1089。

 

例2

選一個三位數：
選一個三位數「685」，開始計算。

先相減：
將685的百位數字和個位數字互換得新三位數586，原三位數685和新三位數586相減，

685－586＝99。

再相加：
將99的百位數字（0）和個位數字互換得新三位數990，原數99加上新三位數990，99+990=1089，得到的結果也是1089。

小朋友，選一個三位數，按照上面的規則算算看，可以得到1089嗎？

 

還有像1089的數嗎？

　　小朋友，選一個四位數，按照上面的規則算算看（千位數字要和個位數字互換），可以得到哪一個數？

 

多才多藝阿基米德

多才多藝阿基米德

文／林原宏（國立臺中教育大學數學教育學系教授）、李英（數學教育文教工作專任老師）

 

　　小朋友，你最喜歡做什麼事？喜歡到會讓你廢寢忘食，喜歡到無時無刻都想與它為伴！今天要講一個瘋狂喜愛數學、喜愛思考的數學大師—阿基米德（Archimedes，西元前287年～西元前212年），古希臘時期成就最高的數學家、物理學家、天文學家、工程師及大發明家。

 

生平

　　阿基米德出生於希臘西西里島東南端的敘拉古城，家境富裕。父親是一位天文學家，從小非常重視他的教育，在阿基米德11歲時，即帶著他到當時的經濟與文化中心—埃及的亞歷山大城去學習，其中一位老師是著有《幾何原本》的有名數學家歐幾里德，這奠定了他往後從事科學研究的基礎。

 

鑑定偷工減料的皇冠

　　學成歸國回到敘拉古的阿基米德，除了每天沉醉於研究各種數學及科學問題，還非常受到當時幾任國王的重用，常常找他來解決各種疑難雜症，其中最有名的就是「真假皇冠」事件。

　　國王指派工匠製作純金皇冠，雖然送回來的皇冠重量與當初給的黃金重量一樣，但是國王懷疑工匠私藏部分黃金，而將比較便宜的金屬（例如：銀或銅）混入皇冠內部。所以，國王請阿基米德在不破壞皇冠的情況下，鑑定出皇冠是不是純金的？他為此想破頭，好幾天廢寢忘食，最後終於在泡澡的時候想出方法，興奮得沒穿衣服就直接跑到皇宮找國王，一路大叫「我想出來了！我想出來了！」。

 

 

　　小朋友，你知道他的方法是什麼嗎？

　　因為他坐進裝滿水的澡盆，溢出來的水讓他想到：「重量相同的黃金，雖然外觀改變，但體積是不會改變的。而且重量相同的不同種類金屬（例如：金、銀、銅、鐵），它們的體積是不一樣的。」

　　所以，阿基米德拿了與皇冠一樣重的金塊、銀塊及皇冠，分別放入三個相同大小、有刻度並裝有等量水的容器內。結果，三個容器的水位上升高度不同！上升最高的是裝銀塊的容器，第二高是裝皇冠的，上升最少的則是裝金塊的。工匠立刻被抓進大牢，聰明的阿基米德當然又獲得獎賞囉！

 

數學幾何成就

　　另外，小朋友，你知道全世界第一位算出圓周率（以π表示）的近似值是誰嗎？就是阿基米德。

　　他非常擅長使用「窮盡法」，去計算各種幾何形體的體積、面積以及它們之間的關係。利用畫出「圓內接正九十六邊形的周長」及「圓外切正九十六邊形的周長」他算出π的近似值介於＜π＜，也就是3.140845＜π＜3.142857。這個「窮盡法」對歐洲的數學發展幫助很大。同時，他還算出「球的表面積＝最大內接圓面積的4倍（也就是4πr2）」以及推導出「圓柱內切球的體積＝圓柱體體積」（這是阿基米德最喜愛的定理，被刻在他的墓碑上呢！）

　　小朋友，你們最喜歡玩的七巧板拼圖遊戲，他也很會玩！利用14片小幾何圖形拼出一個大正方形，總共有17152種不同的方法，厲害吧？

 

 

其他卓越成就

　　厲害的事跡還有幾個，年少求學時為解決埃及農夫取水不易，他發明了「阿基米德螺旋提水器」，直到相隔2200多年的現在，埃及當地還有人在使用這種機器喔！

 

 

　　阿基米德因為非常熟悉「槓桿原理」及「力矩」的觀念，說出：「給我一個支點，我可以舉起整個地球」。

 

 

　　因此被國王授命建造一艘巨無霸船（類似近代的鐵達尼號），作為送給埃及王的禮物，他成功達成任務。後來羅馬軍隊常常從海上攻擊他們的國家，相傳阿基米德發明幾種大型武器，例如「石砲彈弓」每次可發射500磅的石頭砲彈，攻擊靠近岸邊的船艦。「巨大起重機」可以將羅馬的戰船高高舉起再重重摔下。以及利用多面鏡子將太陽光反射聚焦在敵船上使其著火。當時敵方的將軍才會說：「這是一場羅馬艦隊與阿基米德一人的戰爭！」

　　這位大師一輩子都在做研究及解決問題，你知道他是怎麼離開人間的嗎？某天，羅馬大軍攻進城了，當時他正在地上畫幾何圖形並沉思中，一個羅馬兵進門踩到他的圖形，他大喊：「不要踩我的圖！」，結果，羅馬兵一劍刺向他，熱愛數學到生命最後一刻的偉大阿基米德，就此跟世界說再見了。

 

小故事大哉問

　　小朋友，聽完以上故事，我們一起來討論看看下列問題：

  1. 有一個容量是50毫升的容器，此容器已裝30毫升的水，接著放入一個不規則形狀的鐵塊，水位上升後溢出了15毫升的水。請問這個鐵塊的體積是多少立方公分？
  2. 你最喜歡阿基米德的哪個事蹟？為什麼？
  3. 你最想向阿基米德學習的地方是什麼？

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