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素養導向教學　如何落實於國小數學？

 

文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）

 

　　十二年國教新課程強調核心素養的養成，重視學生知能和態度的培養，延續和擴大九年一貫課程帶得走的能力。剖析數學領域國小階段三面九向的具體內容，以及分析國內外數學素養的相關文獻，數學核心素養不外乎與「數學的思維」、「生活的應用」有關；數學的思維就是對應內部連結的深度，生活的應用就是對應外部連結的廣度。

　　通常，課本教材只能靜態的線性呈現，教學卻是動態的師生互動、提問討論等。所以，學生舊經驗到新經驗的發展，具體活動到抽象概念的提升，數學概念和生活情境的關聯等，都是教學要考量的。

　　那什麼是「數學素養導向教學」呢？除了能落實以學生為中心的數學教學外，就是要加強數學思維、生活應用在教材和教學中的成分。

　　這些成分如果要有效的融入數學教學，或發展校訂課程，我推荐小而美的教學設計，就是以數學單元為背景，設計一節課教學。當然，數學素養導向教學可有不同的想法和作法，本文將介紹以探究教學深化數學的思維，以數學繪本擴展生活的應用，落實新課綱的數學素養教學理念。

 

以探究教學　深化數學的思維

　　探究教學強調以學生為主體，主動探尋問題，並尋求解決問題的過程。過程中提供充分探索和操作，發表和討論的機會。數學教學時，如果只有解題、發表、討論的樣態，雖然也有探究的味道，但這與所謂的「以學生為中心的數學討論教學」內涵，或與本文介紹的探究教學差異相當大。根據數學教學現場的實務和考量，探究教學的內容最好能和課本單元教學有關，且針對其重要概念，設計一節課的活動最佳。

　　在探究教學模式中，透過分析內涵，並強調以引導式教學為核心。

　　在國小階段，可實施Chapman數學探究模式，它透過「引入、探索、分享與討論、結論」四個階段進行。探究教學必須設計具有且須問題厚實的「主探究問題」，讓學生有興趣主動探索和發展概念。因此，探究教學是以數學思維為主，生活應用為輔的素養實踐。

　　在一節課中，經由四個階段的歷程，教師和學生的不同任務，與關鍵性問話，引導學生建構數學概念的發展。例如將報紙上對兒童節入園人數的報導設定為主探究問題，讓兒童在引入階段產生排序的需求；在探索階段教師提問什麼是「近兩萬」、「近四萬」，各組學生發展出不同的想法；在分享與討論階段，教師從學生的發表引出概數概念，並請學生再思考報導中的「二點三五萬」、「三點一萬」、「四點五萬」是精確數還是概數，教師下節課將教四捨五入的概念等；最後在結論階段，學生自行總結學到什麼，以及什麼是概數，也充分掌握對概數意義的了解。

 

以數學繪本　擴展生活的應用

　　數學給予學生許多抽象的觀念，兒童文學在數學教室有獨特的優勢，因為數學的觀念或想法能以故事脈絡、圖片呈現，用更多非正式或學生熟知的語言，來引導學生學習某個數學概念，並將數學概念連結學生的生活經驗。數學繪本充分展現生活的應用和關聯，提供數學的思維和視野，藉以培養學生的數學素養。

　　選一本合適的數學繪本進行教學，可配合某一單元安排一節課，發展先備知能或引起動機，了解其中數學概念及技能，提供回顧概念或延伸綜合的一項目的。

　　同一本繪本的內容可使用於不同的年級，只是教學時討論的重點、呈現的知能可能不同。

　　從〈親近數學，可從閱讀繪本開始〉一文，了解好的兒童文學作品能讓數學課非常的生動，創造積極的數學學習環境，也能將數學概念結合生活經驗。適合國小階段的數學繪本能有效提升、擴展，讓學生理解抽象的數學概念。

 

 

　　透過數學繪本，兒童在閱讀和討論的過程中自然增進其認知能力；尤其可以讓學生感受到數學有趣、有用，在生活中存在。

 

（本文原刊載於《國語日報》2019年10月2日13版）

 

建構反應題　有效評量國小數學素養

 

文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）

 

　　十二年國教新課程從一百零八學年度起逐年實施，親師生最關心的就是評量。

　　許多國小的親師都對數學素養導向評量有所誤解，認為一定要有生活情境，並以「國際學生評量方案」（PISA）的數學素養測驗為參照，卻忽略了該測驗是針對完成國民教育且年滿十五歲者，了解其在情境脈絡中使用數學，解決問題的狀況。

　　基於國小學生尚未完成九年的國民教育，也未具有豐富的生活經驗，而「數學的思維」、「生活的應用」都是數學核心素養的重要成分，這時學生能否具備數學知能更顯重要。雖然強調基本知能的評量，但是不能只用傳統的紙筆測驗，數學素養評量可有不同方式。

　　建構反應題已在教學現場現身多年，是掌握學生學習表現的利器，本文將以建構反應題為重點，談它在評量上的價值與功能，以及作為數學素養導向評量的作法。

 

雙北採建構反應題　評量學生學習狀況

　　國際的大型測驗包括「美國國家教育進展評測」（NAEP）和「國際數學與科學成就趨勢調查」（TIMSS），兩者都是以建構反應題，評量學生對數學知能的理解和應用能力。

　　臺北市國小基本學力檢測於九十六學年度起，每年以六題建構反應題抽測六年級學生，一百零二學年度起改為五年級，並自一百零三學年度起以兩題進行普測。新北市國小基本學力檢測自一百零二學年度起，也以每年兩題非選題普測五年級學生，此非選題就是建構反應題，並自一百零六學年度起每年增加六題抽測，以加速掌握學生的學習狀況。

　　建構反應題的評量目的，是了解學生數學概念理解情形、解題思考歷程、解題推理能力、情境應用能力、數學表徵能力等，一般選擇題、填充題、計算題和應用題並不能反映出這種現象。基本學力檢測的建構反應題，不以資優題、大型題等為訴求，而以小型且貼近教學內容的親民題為主。

　　從臺北市或新北市的檢測結果來看，普遍都不理想，例如臺北市一百零四學年度的普測，有關兩步驟併式的建構反應題，該題重點是：「8＋10＝18（公斤）、432÷18＝24（元），記成算式432÷8＋10＝24正確嗎？為什麼？」該題零分類型有百分之四十點六，一分類型有百分之十八點二，兩分類型有百分之四十一點二。但兩分類型中，不少學生只是用432÷8＋10重算，未指出併式和四則運算規則的關連。

　　在新北市一百零七學年度抽測，有關加油站降價的建構反應題，該題重點是「甲每公升降價零點八元、乙每公升降價百分之三，每公升三十二元需四十公升，用哪家信用卡較划算？說明理由」，該題零分類型有百分之三十九，一分類型有百分之四十八點四，兩分類型有百分之十二點六，許多學生混淆零點八和百分之三的意義。詳細的檢測分析和教學，兩個縣市均有相關報告出版。

 

以先評量、後討論　強化思維與辯證力

　　建構反應題不是課本的例行題，它要求學生運用知識和技能，進行思考和理解，學生無法模仿或熟記解題方法，尤其擴展或延伸式的建構反應題，學生必須發揮並創造他們的回應，而教師則能藉此測量學生數學概念的理解程度，以及課程目標的應用程度。

　　建構反應題可幫助學生深層思考，充分達成數學素養中「數學的思維」評量，至於「生活的應用」評量，則需有適當且自然的情境來結合。

　　教師如果為了提高學生檢測表現，直接將建構反應題拿來教學，則失去了解學生學習表現的意義；如果只做總結性評量，則只是學習結果的評量，並不是促進學習的評量。

　　透過評量單的小型任務，進行建構反應題的「先評量、後討論」活動，學生可以看到多元的解法，也可學習較佳的解題方式。在學生間交互辯證的溝通過程中，不但強化了他們的數學思維，也提升了評析辨證的能力。教師可經由檢視學生的解題歷程，了解學生錯誤的原因，再透過提問與學生進行對話，澄清學生的迷思。

 

 

　　如果是學生對於概念的理解有困難，教師可以立即調整教學，幫助學生解決學習困難。這樣有評量且有豐富討論的教學活動，不但是數學課室中到位的形成性評量，也是一種高層次的數學任務。

 

（本文原刊載於《國語日報》2019年10月9日13版）

 

十二年國教　國小數學課綱差異說明

 

文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）

 

　　十二年國民基本教育課程即將於107學年實施，國小從一年級開始逐年進入教學現場；此時，國小級任或數學老師一定很關心數學課程有何變革？本文將從課程理念、課程實施二個方向來說明。

 

國小數學課程理念的新重點

　　九年一貫數學課程不論是九二課綱還是九七課綱，都是強調五大主題：數與量、代數、幾何、統計與機率、連結，前四項是數學學習的內容、後一項是數學學習的過程；強調培養學生可以帶得走的數學能力（competence），是以能力指標和分年細目來呈現。現在十二年國教（國家教育研究院，2016）則以學習表現和學習内容來呈現，前者非內容向度，具體地展現或呼應核心素養（competency）；後者在國小階段是數與量、空間與形狀、關係、資料與不確定性的內容向度。並且，數學領域為落實基本理念與課程目標，強調數學素養的培養。

 

以數學素養呼應核心素養

　　總綱的核心素養是指一個人為適應現在生活及面對未來挑戰，所應具備的知識、能力與態度，它有自主行動、溝通互動、社會互動三面向，以及各有三項目。廣義的素養主要包括功能性知識外，還有溝通、問題解決、推理、創意、團隊合作等等的共通性能力（林永豐，2016）。簡言之，筆者根據相關文獻分析，認為在國小階段，可以數學的思維、生活的應用二向度（鍾靜，2016），從數學內部、數學外部的跨領域統整，來落實數學素養的實施。當然在跨領域外部統整時，適時、適機地考量性別平等教育、人權教育、環境教育與海洋教育等議題的融入，可豐富數學素養的涵育。

 

以關係突顯在國小的代數內容

　　十二年國教的數學學習內容，在國小階段的四類中，不再強調「代數」，而是恢復「關係」的說法；這一類相關的數學內容，在國高、中階段才稱為代數、函數。筆者最認同的是將等量公理，明確延後到七年級和移項法則一起；還有，加減互逆延後至二年級、乘除互逆延後至三年級，如此學童才不會混淆加法和減法、乘法和除法的問題。另外，在關係的數學內容中，三、四年級還增加了數量模式與推理。

 

 

以解題和操作活動增強解題表現

　　描述解題表現的專有名詞，有關認識/理解/熟練、情境、具體情境、報讀等，都是在九二和九七課綱中出現的語詞，現在則用來描述學習表現；而解題、操作活動則是新增的語詞，具體情境、操作活動則是小學階段更重要的語詞。在十二年國教數學領域課綱中，數學的解題泛指能應用數學概念與程序，解決日常、數學、其他領域的應用問題。在小學階段宜著重其數學解題經驗之建立，其所面臨的解題初步應以日常生活問題為主，低年級更應該多用活動方式引導；在學習內容中特別標出解題，提醒老師處理這些體材時，應從解題的精神出發，並掌握它的應用性。至於，操作活動泛指由操作中察覺、形成概念，甚至簡單連結各概念的各種活動；在低、中年段必須藉生活情境來引導，許多題材的教學宜先以操作活動進行。而且，在低、中年段具體情境與生活情境不做區分；從高年段起，學童學習數學所依賴的具體情境，就可不限於生活情境。

 

 

國小數學課程實施的新重點

　　國小的數學教學大都是由級任老師擔任，有關教學時數、教學內容、教學方式是教學者最關心的問題。不論課程如何變革，教師教學應以學生為主體、考量學生數學能力的發展、鼓勵學生提出多元的解法，並能與他人溝通解題想法。課綱雖未預設特定的教學法，但引導學童合作解題、探究討論等是被例舉的；尤其在國小階段更需培養。教師還應提供學童有啟發性的練習，而非機械式反覆練習，讓學童從這些實作中，沉澱自己新學的概念，並能夠與原先的數學知識相連結。

 

各年段教學時間均為四節課

　　在九二課綱和九七課綱時期，各領域的教學節數是各年段總節數的10％~15%，大多數學校的數學課是低年段排3節、中年段排4節、高年段排4節，有不少學校的高年段再用彈性節數加1節；這與早期數學課程標準規範低、中、高年段分別排3、4、5節一致，也是老師們習慣的節數。現在十二年國教，各年段的數學課節數都是4節；低年段增加一節，老師有較充足的時間，可把學童的數學基本概念扎根，並能在數學內部、數學外部的題材增加討論機會。

 

連結的想法持續被重視

　　九年一貫課程數學領域跟之前數學課程最大不同處，就是重視學童數學學習的歷程，增加了連結主題；連結主題有察覺、轉化、溝通、解題、評析等五項內涵，透過數學內部連結、外部連結來達成。這些與國際間，重視培養學生的解題、溝通、推理、聯結、表徵等能力相關；也與素養的共通性能力有交集。因為連結不是內容目標，而是過程目標；十二年國教數學課綱自然無法將其放入學習內容。所以在十二年國教的實施要點，特別指出教科用書在題材呈現上，要能反應出各數學概念的內在連結外；也能引導學生體驗日常生活、其他領域/科目素材與應用的外部連結。

 

數學奠基與探索活動的實施

　　十二年國教課綱的教學實施，特別提及國小及國中階段，除原定課程內容外，教師可於彈性學習課程規劃數學奠基與探索活動，讓學生探索、討論、培養對數學的喜好，奠立學習的先備基礎，以進行有意義的學習。課綱進而說明教師也可運用數學奠基與探索活動，鼓勵學生利用數學解決生活中的實際問題。筆者認為，好的數學教學就是要從學童的舊經驗開始，透過討論和探究建立新概念；處處在奠基及探索。所以，針對數學是有系統和脈絡的學科，應藉由有內、外部連結的教材，且具數學素養的教學，在日常數學教學活動中落實即可！

 

 

　　整體而言，十二年國教數學領域課綱相較九年一貫課綱，雖然有上述六個新重點，但是國小階段的數學內容、教學本質相差不大；老師們只要能掌握十二年國教數學課程的新觀念，選擇不錯的教科用書一定能勝任愉快。

 

參考文獻

林永豐（2016.12）。核心素養與素養導向教學。發表於國立臺北教育大學與中華民國教材研究發展學會共同主辦之「十二年國教課程」系列研討會，臺北市。

國家教育研究院（2016）。十二年國民基本教育課程綱要國民中小學暨普通型高級中等學校數學領域（草案）。新北市：作者。

鍾靜（2016.12）。國中小數學素養之教學與評量。發表於國立臺北教育大學與中華民國教材研究發展學會共同主辦之「十二年國教課程」系列研討會，臺北市。

 

乘法表與圖形的美麗相遇

 

文／黃琡懿（臺北市文山區武功國小教師）

 

　　乘法表的背誦是每個二年級學生共同的任務。如何讓學生在學習乘法表時，除了理解其意義、熟練其應用，更要進一步思考，如何讓學生學得「有感覺」、學得「有熱情」。筆者結合乘法表與圖形的繪製，讓學生感受到數學的規律之美。

 

乘法表的規律　在圖形中美麗相遇

　　二年級的數學教學中，十十乘法表的理解與熟練，乃是日後學習除法、分數和因數等概念的基礎。筆者參考韓國的教科書（교육부，2013），設計乘法圖形的繪製活動—「美麗的乘法花」，可以讓學生在學會乘法表後，一邊背誦乘法表一邊繪製成一幅美麗的圖案。在華德福教材（vivi_sato，2011）及網路文章《有趣的數學圖案》（蔡欣翰，2008）也有相關的活動。

　　先將圓形平分成10等分，分別標示0、1……到9（如圖1）。然後從0開始，順時針隔2格連線，就是加1個2，再繼續隔2格連線，就是再加一個2，也就是2有2個，是2×2，會停在數字4的點上，以此類推。因此，往上累加2也可以看成是2的倍數變化。再引導學生觀察乘法表中，個位數字的變化，就會發現所連的線都按此規律繼續下去。連線間隔相同的數，就是往上累加的概念，也就是乘法倍數的概念。

 

圖1：乘法花底圖

 

　　接著，讓學生一邊背誦乘法表，一邊在學習單上，根據積的個位數變化，完成其他乘法表的乘法花（如圖2）。

 

圖2：乘法花學習單學生作品

 

在驚嘆中　發現乘法規律之美

　　根據行動研究（黃琡懿，2018）發現：當學生完成學習單後，再讓學生統整討論從圖案可以發現的規律。教師不用急著告訴學生結果及原理，學生自會驚訝的發現：用乘法表的個位數變化，所畫出來的圖形是如此規律、如此的美。教師只需要提示學生：「仔細觀察，說說看你發現了什麼？」當學生更深入的觀察與討論，就能從相同的圖形中加以推論，發現合起來是10的數，所畫乘法花的圖形相同。這時教師再引導學生探究其原理，可以回到乘法的累加性質。因為共是10個點，順時針加3的點，也就是逆時針加7的點，所以3的乘法表變化，就會和7的乘法表變化一樣，只是連線順序的方向相反。

　　探究不同的乘法花，學生也會發現：所有的乘法花都會經過0，因為任何數乘以0都是0，也可以說，任何數乘以10，個位數都是0。所有乘法花都會經過本身數的點，因為任何數乘以1都是他自己，也可以說，任何數乘以11，個位數都是他自己。透過乘法花的觀察與討論，整合了乘法中0、1、10乘法表的規律。

　　在學生理解乘法花的原理後，教師可以反向操作，呈現某一個乘法花，讓學生猜猜這是哪一個乘法表的乘法花。學生可以從0開始，以一筆畫，畫圖形的概念來進行推理，看看數字是如何變化，進而反向推論出應該是哪一個乘法表。這個活動可以進一步培養學生邏輯推理與分析的能力。

 

透過統整　體驗數學規律之美

　　乘法花的統整活動，不僅可引導學生察覺數學的規律之美，涵養數學美學，更可以培養學生從觀察規律性，進行推論的能力，亦是跨領域的連結。利用乘法花「體驗」數學之美，提供學生有意義的練習「從做中學」，讓數學不再只是重複運算枯燥的類似題型。這不僅符合素養導向的教學模式，更使學生能從中培養不斷內化的數感以及探索數學奧祕的精神。

 

（本文節錄自《台灣教育雙月刊》2018年12月15日第714期 教育新知專欄）

 

參考資料

黃琡懿（2018）。以素養為導向的二年級乘法教學行動研究。臺北市第十九屆中小學教育專業創新與行動研究徵件行動研究論文發表類。未出版，臺北市。

蔡欣翰（2008年10月6日）。有趣的數學圖案【部落格文字資料】。2018年9月2日取自http://shinhann.blogspot.com/2008/10/blog-post_1430.html。

vivi_sato（2011年8月3日）。華德福教育…乘法的藝術【部落格文字資料】2018年9月2日取自https://blog.xuite.net/vivi_sato/twblog/116496272。

Good Simple Life（2011年9月26日）。淑照老師跟我說乘法幾何圖形好好玩【部落格文字資料】2018年9月2日取自http://goodsimplelife2009.blogspot.com/2011/09/blog-post_26.html。교육부（2013）。초등 학교 2 학년 수학2-2。

 

數學語文齊步走　跨領域學習效果佳

 

文／黃琡懿（臺北市文山區武功國小教師）

 

　　我們常聽到一種說法：「孩子不會寫數學應用題，有時不是因為不會計算，而是因為語文能力不好，讀不懂題目。」怎麼會這樣？數學的學習內容包含數、量、幾何、統計、代數等範疇，必須達到概念的認識、理解與應用，而單純的計算只是一種程序性知識的熟練，還需要理解情境、轉化成數學語言、擬定解題策略等能力，才能成功解題。因此，筆者希望透過跨領域的學習活動，協助學生提升數學能力、語文能力，並能感受到數學的生活功能，培養對數學及語文的學習興趣。

 

閱讀數學繪本　連結生活經驗

　　閱讀是培養語文能力的重要環節，如果閱讀的是數學繪本，透過繪本的故事脈絡和精緻圖畫，再加上教師的引導，可以激發學生用數學語言作為討論內涵。

　　以二年級數學單元「認識公尺」為例。筆者搭配數學繪本向學生說明，在需要測量時，如果沒有尺，也可用身體的部位來測量。例如：要量衣服有多長，可以將手掌打開，用拇指尖和小指尖的距離來測量；或是用食指、拇指打開的距離來測量。想知道沙發有多長，可以數有幾個腳掌長。要量花園的長度時，數腳掌可能太慢，跨大腳步，數數有幾步就方便多了。這是培養學生靈活思維與生活應用的能力，不讓他們執著在工具上，甚至誤以為沒有工具，就無法測量長度。

　　閱讀數學繪本的過程中，學生順著故事情境，自然引發數學概念的討論，每個人量自己的桌子長度，為什麼一樣的桌子，有人得出五個手掌長？有人只有四個半手掌長？「原來是每個人的手掌不一樣長，手掌越大，測量的個數就越少。」這是學生討論後的結果，不用教師宣告，透過操作與討論就能發現數學的關係。事實上，這即是十二年國教素養導向的學習精神。

 

練習數學書寫　應用在生活中

　　我們從問路這件事，可以約略看出西方人和臺灣人在數字應用的不同。在臺灣，如果你向路人問路，得到的回覆通常是：「前面過兩個紅綠燈右轉，再過一個紅綠燈……」但是，如果你曾經在歐洲、美國問路，可能會得到這樣的回答：「往前走兩百公尺右轉……」這顯示長度量感在我們的心中並不明確，也沒有內化到我們的語言中。

　　在閱讀完關於長度的數學繪本後，筆者告訴學生：「有一隻小熊想到班上來陪大家上課，但是牠不知道我們的教室在哪裡。請大家寫一封邀請函，告訴牠如何從校門口走到教室。因為熊的腳步長度和我們不一樣，所以要用『公尺』來描述呵。」接下來，我一步步引導學生理解「一公尺」的概念，並寫成邀請函。

 

●　用身體記住一公尺

　　首先，筆者先在教室地上，以寬膠帶貼了一段一公尺的長度，然後讓學生分別用一公分長白色積木、十公分長的橘色積木，兩公分長的紅色積木、五公分長的黃色積木排成一公尺的長度，再讓他們跨步走一走，用身體去記憶一公尺有多長。

●　小組合作實際測量

　　接著，分組從校門口實際走到教室，有人用剛剛記憶的一公尺跨步走，有人負責指引方向，有人幫忙記錄，小組分工完成測量工作。

●　寫一封邀請函

　　運用學生實測到的數據，結合國語課邀請卡的內容，讓每名學生寫一封圖文並茂的邀請函，之後還要上臺念給同學聽。他們為了要發表，會很仔細的檢查句子是否通順、內容是否完整，這也可培養學生寫作後要再讀過的習慣。

 

圖1：學生的邀請函

 

融合數學語文　提升學生素養

　　十二年國教課綱強調跨領域學習，在這個教學活動中，筆者先以數學繪本作為語文與數學融合教學的媒材，讓學生認識「身體尺」及其應用。而為了邀請小熊，每個學生都躍躍欲試，興奮且認真的測量，甚至還討論小熊究竟會在哪一天來訪。他們真心誠意的寫出邀請函，不僅強化了完整語句表達的能力，同時也將「公尺」的量感深化在心中。

　　相信每個學生都能在這個過程中，培養帶得走的能力，還有充滿感動與觸發的素養。

 

（本文原刊載於《國語日報》2018年10月10日 13版）

 

數學繪本帶領孩子讀故事學數學

 

文／黃琡懿（臺北市文山區武功國小教師）

 

　　「老師今天要講一個……的故事……」每當用這樣的句子作為一堂課開場，孩子的眼睛馬上亮了起來。如果能善用孩子愛聽故事的天性，將數學融入故事中，一堂美妙的數學閱讀課就此展開……。

　　數學繪本中饒富趣味的故事情境和圖畫包裝著嚴肅的數學知識，會讓孩子更輕鬆的親近數學、學習數學。

　　數學繪本需要靠教師引導對話，才能讓孩子察覺蘊含在故事中的數學概念，透過數學繪本來做數學概念的加深加廣與生活連結，搭配不同的教學策略協助學生學習，可以提高學習的興趣與成效，展現數學素養。

 

數學繪本運用的時機　視目的而不同

　　數學繪本的使用時機可根據教學目的做不同的安排。

　　課本教學前，可以選擇比課本概念淺顯一些的繪本作為學習單元內容的前奏。例如：二年級的孩子正要學習二位數的直式加法運算，筆者先進行臺灣麥克出版社《私房藍莓派》的繪本教學，透過點數堅果和果實時10個一堆，加總四隻小熊所採集的數量自然引發進位的需求感，再銜接課本的直式算則教學，讓孩子有意義的理解加法直式計算。

　　在課本教學進行中，穿插數學繪本的教學，則可以讓孩子的學習更加深化，同時檢驗迷思概念。例如：配合二年級的「時間」單元，孩子正在學習時鐘報讀幾點幾分，搭配信誼基金出版社《慌張先生》，讓孩子一邊撥鐘，一邊聽故事，將故事文字中出現的時間語詞「4點10分」、「晚上6點鐘」、「5點15分」……等，轉化成鐘面上的指針，故事中令人意想不到的結局，也為數學課增添不少趣味。

　　在單元教學後，也可以配合數學繪本讓孩子做加深加廣的學習，例如：四年級的孩子學完面積與周長單元後，配合遠流出版社《義大利麵與肉丸子》，讓孩子從故事中具象的桌面和座椅，體會有相同的面積可能組合出不同的周長，藉以澄清孩子常將周長與面積混淆的迷思。

 

同一本數學繪本　年級不同重點不同

　　數學繪本挑選和使用並沒有絕對的標準，同一本繪本因為所偏重的概念不同，可以應用在不同年級的學習概念中。例如：信誼基金出版社《門鈴又響了》的故事中原有的24片餅乾隨著平分的人越多，每個人得到的餅乾就越來越少，二年級的孩子可以搭配教具操作平分概念；三年級的孩子可以用來學習除法計算；四年級的孩子可以討論以一盤餅乾為整體量時，每個人得到的是幾盤餅乾的分數概念；五年級的孩子則可以討論24片餅乾可以有多少種平分方式的因數概念，端看老師的引導重點不同而有不同的討論深度。

 

教師引導數學繪本討論是學習關鍵

　　平面的故事，讓孩子自己讀，不容易讀出深刻的的數學味兒。一邊說故事，透過教師的關鍵提問，才能引動師生的對話與思考。靖傑說：「老師講的數學故事很有趣，又可以學數學，希望可以常常聽到！」庭儀說：「老師說的故事都讓我印象深刻，像是慌張先生慌慌張張趕去上臺結果出糗，真好笑！數學繪本對我幫助很大，可以增加數學知識和靈感，我最喜歡數學課！」湘婷說：「老師說給我們聽的數學繪本既好聽又可以幫我學會很多課本裡沒教的東西。希望老師可以常常講數學繪本給我們聽。」老師說過的故事，孩子會想要再三翻閱，讓數學繪本中的故事與數學概念在孩子心中留下深刻的印象。孩子因為喜歡數學繪本，不再覺得數學是那樣可怕，甚至愛上數學課。挑選搭配課本教材內容的數學繪本，讓學生透過數學繪本的閱讀，啟發思考、創造學習、鞏固概念，就能與課程教材的學習相輔相成。

 

 

(本文原刊載於《國語日報》2019年3月23日14版)

 

校園探索數學趣

 

文／黃琡懿（臺北市文山區武功國小教師）

 

　　學生在學校最快樂的時光，莫過於下課時在校園自由探索、盡情嬉戲，如果，我們可以把上課時間也用來探索校園，那該是多快樂的事！十二年國教數學課綱中強調，數學應提供每位學生有感的學習機會，因此，筆者帶領學生走出教室，在校園中探索數學的奧妙。

 

轉角書房有多少本書

　　學生下課時常去借書、看書的轉角書房，是我們學校的圖書二館，看起來小小一間並不起眼，比半間教室還小，裡面放了多少本書呢？配合三年級學習整數的估算與乘法計算，請學生估算看看轉角書房大約有多少本書。

　　估算並非毫無根據的亂猜，估算需要有策略、有參考值，得出來的答案才會合理。書本整齊的放在書櫃裡，ㄧ格ㄧ格的，如果知道ㄧ格書櫃裝了多少本書，再乘以書櫃的數量，不是就可以簡單得出全部有多少本書了嗎？這是教學習題中常出現的理想情境，然而，現實狀況可沒那麼簡單！

 

 

真實情境遇到難題

　　每個書櫃裡的書厚薄不一，厚的書放比較少本；薄的書放比較多本，有的書櫃有裝滿，有的書櫃空一半……甚至有的書櫃比較大格；有的書櫃比較小格，那該怎麼辦？這時，自然引發學生解決問題的動機與需求。一本一本數嗎?全班異口同聲：「這樣數太久了！」「能不能選一格當代表，以這一格放的書量，再乘以格數，會不會簡單一點？」「要選哪一格呢？」數學的討論與腦力激盪正再發生。

 

這就是數學素養！

　　數學的美，在於它能以簡馭繁，當學生想出用某一個書格來代表全部的書格，學生學會了簡化問題。要選擇一個大家都認同的格子，需要有理由來說服同學，語恩說：「要選的格子是裡面的書不能太厚，這樣太少本；也不能太薄，右太多本，要剛剛好！」三年級的孩子不懂什麼叫做「平均」，於是用「剛剛好」來表達，學生學會了數學的溝通。

　　在圖書館裡的書櫃，有幾種不同的款式，大小並不一樣，如果都當成一樣來計數，學生也覺得不恰當，因此，將圖書館的書櫃分類，全班分工合作分別選不同的代表書格，是不是可以估算得更快也更接近正確的數？學生體會到分類的便利性與合作的重要性。

　　學生發現：有些櫃子的書裝得很滿，有些只裝一半，如果點數全部的格子數並不合理。羿晨提出：「假裝把這些書搬動補在空的格子裡。」這樣空出來的格子就可以不用計算。學生學會批判與彈性解決問題。

 

過程比答案更重要

　　筆者帶領孩子在校園裡探索，升旗臺究竟是不是半圓形？校園裡的老榕樹到底有多高？武功國小的校門上有幾個長方形？……當找到答案時，學生往往會「哇！」的一聲，原來每天所見，習以為常的校園，有那麼多驚奇之處。

　　引導學生做校園數學的關鍵，是帶領孩子探索校園，運用已經學會的數學知識解決校園生活中的問題，促進學生思考、解題、溝通與討論的過程，一個合邏輯的解題策略才是我們關注的重點，至於答案，只要合理，都應該是值得鼓勵的！

 

 

（本文原刊載於《國語日報》2019年3月24日14版）

 

讓「迷」路的「思」考，找到正確的路

—淺談學生數學迷思診斷與教學

 

文／黃琡懿（臺北市文山區武功國小教師）

 

　　「奇怪！我上課明明講得很清楚，怎麼這些人還會寫錯！還錯得都一樣！」老師們一邊改數學作業，常會忍不住這麼想！這時，可以試試放慢改作業的步調，仔細的探討一下，學生怎麼會寫出這樣的答案呢？學生在解數學題目時會寫錯，一種是粗心大意，計算錯誤；另一種則是思考路徑走岔了，形成迷思概念（misconceptions）。要有效澄清迷思概念，再把先前上課的內容重複教一次，往往達不到效果，若是能讓孩子察覺到自己的思考是從哪裡走岔了，恍然大悟後，經過修正與調整，未來就不容易再錯。

 

化抽象為具體　操作教具

　　低年級的課程較簡單，然而當學生沒有建立正確的概念時，也會產生迷思概念。要破解迷思概念，教具操作是一個很有用的方法，可以讓抽象的數學概念變得具體。例如：學生在認識1000以內數的單元中，對於數字超過9要往上進入下一個數時，常會發生錯誤。例如：888→889→（    ），學生常會寫成880、990……，這時讓學生操作積木，拿出8個百格板、8條橘色積木和8個白色積木代表888，加1個白色積木，學生可以看到積木所表示的889。再加1個小白積木後，共有10個小白積木，可以換成1條橘色積木。現在學生可以看到有8個百格板、9條橘色積木和0個白色積木，合起來就是890。這樣動手操作的過程，可以使抽象的數概念具體化，多操作幾次，讓整個過程形成心象，學生就不容易再錯這類的題目了。

 

鞏固基礎概念　一脈相承

　　中年級的分數單元，是學生學習時覺得最困難的部分。教學時，除了要善用教具，讓學生從整體一，平分成數份，認識單位分數，概念漸進且多元的分數表徵，可以讓學生對分數形成心象。在進行同分母分數的加法計算時，例如：時，學生常見的錯誤是將分子相加的同時，分母也相加，寫成錯誤答案，這時表示學生對分數失去了整體量的概念，只是做數字的計算，要破除這樣的迷思，須回到基礎分數概念的鞏固，一條蛋糕是整體1，則表示將一條蛋糕平分成6份後取其中的2份，是2個；表示將一條蛋糕平分成6份後取其中的三份，是3個，表示將2個和3個合起來，共是5個，也就是。也可以進一步讓學生檢視代表的是一條蛋糕被平分成12份，取其中的5份，和題目所代表的意思不同，進而破除迷思概念。

 

製造認知衝突　豁然開朗

　　高年級的數學內容更為抽象，學生錯誤的情況較多且複雜，學生在學習時，若是知其然而不知其所以然，常會產生迷思概念。例如在學習小數的除法時，計算1.57÷0.25，常將答案寫成1.57÷0.25＝6…7，這時可以用情境引入，讓學生想想：有1.57公斤的麵粉，每0.25公斤裝一袋，共可裝6袋，剩下7公斤合理嗎？學生大概會哈哈大笑，只有1.57公斤的麵粉，如何剩7公斤呢？製造認知衝突的方式，會讓學生更專注於釐清自己錯誤的地方，0.25公斤裝6袋後，剩下的應該是0.07公斤。學生進而可察覺到小數點的位置和被除數的小數點位置一樣，而不是靠老師的宣告和記憶，這樣有意義的理解，才能有效破除迷思概念。

　　各式各樣的數學迷思概念可能在學生學習的過程中產生，老師應該敏覺到學生的錯誤解題究竟是粗心大意，還是根源於迷思概念，積極掌握學生學習難點，透過教具、概念澄清、認知衝突等方法，讓學生迷路的思考歷程，找到正確的路。

 

（本文原刊載於《翰林不一樣 數學特刊》）

 

小熊爬山學數數

翰林版一上數學繪本教學(一)

 

文／黃琡懿（臺北市文山區武功國小教師）

 

　　數概念的建立是一年級學生學習的第一個重點，其中，數概念分成基數和序數兩種意義，基數是指一個群體的量，例如：桌上有5顆蘋果，這個數字5，代表的是蘋果的數量；而序數是指某一個序列下的位置，例如：排隊搭車，皮皮排在第5個，這是表示排隊的人的順序，從頭數來，數到5，是皮皮排隊的位置。多數學生在入學前就已經會唱數，然而一對一對應的點數則需要教師在教學中加以檢驗其是否具備，接著認識序數，開始有學生混淆基數與序數概念，此時，在課本的教學之外，還可以利用數學繪本《小熊去爬山》來做檢驗與澄清。

　　10隻小熊去爬山，小熊時而聚在一起，時而排成一列，不管怎麼數，小熊的數量都是10隻。有5隻小熊戴帽子，有6隻小熊穿背心，學生看著繪本的圖，一對一點數小熊的數量。

 

 

　　此時，5隻戴帽子的小熊，是從排頭數來的前5個，學生可以依序點數；6隻穿背心的小熊則是穿插在隊伍中，學生一邊點數，可以察覺到數量和位置是沒有關係的。「戴著帽子，又穿著背心的小熊有幾隻呢？」在這裡，學生可以透過觀察圖片，考慮小熊的條件，增加思考的難度，帶給孩子挑戰的樂趣。

　　貼心的小熊提醒同伴要小心，是哪一隻小熊呢？為了溝通的需要，而引出前面數來第2隻和倒數第2隻的不同，序數的要件在於有方向性，一樣是第2隻，指的是同一隻嗎？

 

 

　　有一隻小熊跌倒了，第1隻小熊說是第4隻小熊跌倒了，最後一隻小熊卻說是第7隻小熊跌倒了，怎麼會這樣呢？引發孩子對序數的衝突與思考。

 

 

　　小熊來到山谷，一次只能5隻熊過橋，第6隻小熊說他要等第1隻小熊下橋，他才能上橋，為什麼呢？學生在數量與序數之間的轉換常感到困難，透過繪本討論第6隻前面有幾隻小熊？1隻下橋後，還有幾隻小熊在橋上？他變成第幾隻要過橋的小熊？

 

 

　　在故事情境中，學生自然而然能練習在數量與序數間的思考與轉換，在閱讀與對話中，可以看到學生保持著高度的興趣，充分發表自己的想法，這就是數學繪本引動孩子數學素養的展現。

 

狐狸約會學看鐘

翰林版一上數學繪本教學(二)

 

文／黃琡懿（臺北市文山區武功國小教師）

 

　　為什麼要學如何看鐘面呢？學生的生活經驗中，都看過時鐘或手錶，卻不見得會報讀鐘面。一年級上學期，進行整點和半點的鐘面報讀教學，此時，僅就鐘面的結構來報讀時間，不涉及時間的量感，因此學生需要對指針的位置加以判斷，這是一種操作性的工具使用，需要記憶步驟：先看短針位置，判斷「時」；再看長針位置，判斷「分」，就能知道鐘面所指的是幾時（點）幾分。透過數學繪本《狐狸先生的晚餐》就可以進行時鐘整點、半點的時刻報讀教學與熟練。

　　數學繪本教學可搭配數學課程，作為數學課程的橫向與縱向的推廣與延伸，應用的時機有三個：一是單元教學前，這時教師還未引入課本的教學內容，可以把數學繪本當成引起動機，教師順著繪本內容說故事，討論為什麼狐狸先生沒辦法和狐狸小姐見面呢？因為狐狸先生沒在邀請卡上寫時間，狐狸小姐就不知道該在什麼時間赴約，後來寫了時間，狐狸先生卻因為不會看鐘，又錯失了和狐狸小姐見面的機會，讓學生體會到，會看時鐘是一件多麼重要的事，進而對這個單元接下來的教學充滿期待。

 

 

　

 

　　二是在課程進行中安排繪本閱讀，教師以數學繪本當作教學的材料之一，以繪本來介紹數學概念，認識鐘面的報讀方法。此時，教師須掌握課本單元的教學重點，掌握繪本中的數學概念，再加以介紹，更可以搭配教具鐘讓學生撥轉，觀察指針旋轉的方向與距離。

　　三是單元課程進行後再介紹《狐狸先生的晚餐》這本繪本，當教師以課本進行單元教學後，學生已經認識時鐘鐘面報讀的方法，但是可能還不夠熟練，此時，配合繪本頁面，針對每一頁出現的鐘面，請學生說說看，現在幾點鐘？還是幾點半？是怎麼看的？讀完整本繪本，就有充分的練習機會，幫助學生熟練鐘面時刻的報讀。

 

 

　

 

　　跟著繪本內容學數學，在輕鬆有趣的學習氣氛下，可做為引起動機、概念教學，或是統整複習，都是從學生的生活經驗出發，讓學生學習生活應用，還可以學習邀請卡的寫法，做跨領域學習，體現了素養導向教學的意義。