分類：鍾靜教授

談數學素養評量

文／鍾靜（國北教大數資系退休教授）

　　十二年國教課程自108學年開始實施之際，國小數學教學者除關心素養教學外，更關心數學素養評量的問題。筆者認為一份數學試卷，20％～30％是素養評量題就好，還有70％～80％可以是傳統的選擇題、填充題、計算題、應用題等。因此，本文將從三方面來談談數學素養評量的一些想法和實務。

 

素養評量題不等於生活情境題

　　一些有關數學素養評量的說法，認為只要將評量題跟生活真實情境結合即可！這種擬PISA強調從生活情境中解決數學問題固然重要，但在國小端有其限制或不足之處；PISA是針對15足歲的學童，他們已有豐富的生活經驗、基本的數學知能，但國小6至12歲學童尚在充實數學知能階段，不能忽略基本概念的評量。基於，數學素養有「數學的思維」、「生活的應用」二個要素，基本概念的評量不能只是傳統紙筆測驗，也應有數學素養評量。好的數學素養題是在命題的內涵，不是在形式，例如「以某縣市真實人數取概數到十萬位」，雖有真實生活情境，但沒有數學概念的思考、推理、分析、溝通、應用等。

 

建構反應題是素養評量的利器

　　台北市從96學年度、新北市從102學年度起的國小基本學力檢測，都有加考建構反應題（非選題），基隆市國小數學輔導團也從106學年度進行研發及抽測分析；這些試題以小型且貼近教學內容的親民題為主，不以資優題、大型題等為訴求。教師要認識建構反應題，可從北北基考過的試題入手，這些試題的適用範圍包括三到六年級，且有評閱規準、解題分析、教學建議等可參考。建構反應題的評量目的，是為瞭解學生數學概念理解情形、解題思考歷程、解題推理能力、情境應用能力、數學表徵能力等；它不是課本的例行題，而是要求學生運用數學知能，進行理解和解題，學生無法使用模仿或熟記的解法，必須發揮並創造他們的回應，它是一種很不錯的素養評量題型。

 

先評量後討論是最佳評量模式

　　教師們可配合單元教學內容，選用北北基或自行研發的建構反應題（數學素養題），切勿將其以教學題來引導學童解題，而應以評量題來了解學童學習的狀況；教師將其作為總結性評量，它只是學習結果的評量，並不是促進學習的評量。若數學課室要進行促進學習的評量，則須有引發高階思維的挑戰性任務，且是持續性的過程與教學整合；此時，建構反應題可視為評量單式的小型任務。透過建構反應題的「先評量、後討論」活動，學生可以從錯誤例討論中修補概念和澄清迷思，從正確例分享中看到多元的解法，也可學習優良例的解題思維。這樣有評量且有豐富討論的素養評量與教學整合活動，不但是一種到位的形成性評量，也是數學課室中的高層次數學任務。

繪本教學　增添數學趣味與實用性

文／鍾靜（國立台北教育大學數學暨資訊教育學系教授）

　　數學是許多中高年級學生不喜歡的科目，但當數學與受歡迎的讀物「繪本」結合，成為兒童數學讀物「數學繪本」，就可透過豐富且簡明的圖文脈絡，呈現數學概念。數學繪本除了能讓學生感受到數學與生活的關聯，更能體會數學是有趣且實用的。

　　數學繪本的教學，可滿足數學素養中「數學的思維」和「生活的應用」兩種要素，尤其展現數學外部連結、水平數學化的部分。本文將從直接選用、關鍵圖文、教學安排，來談數學繪本教學的考量。

 

繪本當補充教材 須有閱讀與數學討論

　　就我所知，臺灣市面上能找到的數學繪本就超過兩百本，從學齡前到國小低、中、高年級都有適用的，基於「學以讀、讀以學」的重要性，數學繪本教學不能沒有閱讀成分。

 

　　數學繪本不只是文學作品，也是藝術作品，只是它在情境脈絡中，出現了數學概念、數學表徵、數學符號、數學問題、數學討論等，教師以數學繪本作為數學教學的補充材料，須兼顧繪本閱讀和數學討論。所以，教師要配合單元教學，選擇適用的繪本，但不必藉繪本情境大幅修編數學問題，小幅微調數字則無妨。

　　教師選用數學繪本，可以先了解該繪本所呈現的主要數學概念，與單元內容的相關性，相關性越高越適用。如《綠豆村的綠豆》故事中，兩位老爹比較誰買的綠豆多，由於綠豆不易數，因此用不同容器盛裝綠豆來比較；這雖是學前的繪本，但很適合國小容量單元。

　　《門鈴又響了》的故事中，由於客人一直來，招待客人的餅乾被平分給越來越多人。這個故事呈現的是平分概念，不是除的概念，教師可將該繪本連結平分單元，作為除法單元的前置經驗。

 

藉繪本關鍵圖文 探討和應用數學概念

　　數學繪本教學須有繪本閱讀，更要有數學探究，如果作為數學單元的補充教材，建議數學討論的時間要多一些，故事閱讀可以少一些。

　　教師想進行有效的數學學習，須先掌握繪本關鍵圖文，才能幫助學童探討和應用數學概念。教師如果能配合關鍵圖文，提出關鍵問話，則可引導學生數學思考和討論，藉以培養推理、辯證等能力，並增進數學知能和生活的關聯。

　　此外，當教師掌握數學繪本的關鍵圖文，就能依據學習內容，決定要引發的討論重點。如《灰熊特報》一書，有三人要競選營隊的發言人，而營隊剛好有一百人，繪本中共出現四個圓形統計圖，這些圖的呈現內容雖然不同，但都出現人數和百分比。透過這些關鍵圖文的變化和比較，配合故事內容進行關鍵提問，可以引導尚未學圓形百分圖和圓形圖的學生，認識這種統計圖的特性，並建立初步概念。相同的數學繪本，可能因年級不同，而有不同的教學設計。

 

就教學時機不同 數學討論重點有差異

　　數學繪本以補充的方式和課程接軌，教師只要選定某繪本為核心，進行一節課的繪本閱讀和數學討論，就是閱讀課的概念了。這樣的方式也可為學童的數學學習增添色彩，繪本往往能減少教學時間，增加學習效果，使數學單元進行更順暢。

　　在數學單元中，數學繪本可以擔任許多不同的角色，包括引起動機配合的準備活動，概念教學配合的發展活動，彙整延伸配合的綜合活動等，只要教學時機不同，數學討論就會不同，教師可配合關鍵圖文和數學概念，決定最佳的教學安排。

　　以《慌張先生》一書為例，書中描述主角參加什麼活動都遲到，藉此引導學生了解守時的重要，並認識鐘面上幾時幾分的時刻概念。

　　教師如果用在「幾點鐘、幾點半」的教學前，可當作學習報讀時刻引起動機，但繪本中的時刻要略調為整點和整點半；如果教師用在教完幾時幾分的報讀之後，可當作學完鐘面時刻報讀的彙整延伸，讓學童了解會看時鐘的重要，並檢驗他們是否能正確報讀繪本中出現的鐘面。

　　總之，選用適合的數學繪本，不但能和部定數學課程銜接，也能做為學習輔助的補救教材；數學繪本有些數學概念超越課程，或是課程相關的補充，可作為課後或社團活動的材料。

數學繪本選用須考量概念與教學時機

文／鍾靜（臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）

　　數學繪本是數學讀物的一種，它具有豐富、簡明的圖和文，通常以故事情境和數學概念來呈現；它不是透過故事敘述的數學題目集，也不是有圖示的數學小百科。這種有情境和概念脈絡的圖畫書，更容易親近學生，感受數學和生活事件的關聯，體認數學不是用來考試而已。

　　這些數學繪本以九年一貫數學領綱的分年細目，或十二年國教數學領綱的學習內容，對應繪本中呈現的數學概念，可將數學繪本分成「數學概念點」、「數學概念串」、「數學小主題」三類。

　　本文將從這三種分類來談數、量、形，以及其他主題相關的繪本與教學。

 

以數學概念點為主 有利於課程接軌

　　學生的數學學習都是在某個主題下，由不同概念累積而成的，而這類數學繪本則是以故事脈絡和某個數學概念點呈現。

　　例如《小熊去爬山》一書，闡述十以內數的基數和序數概念；《螞蟻女王的冬被》是長度測量的個別單位概念；《我的比較好》是量與實測的面積概念；《檸檬汁大拍賣》是統計長條圖的概念。

　　這些繪本深入數學概念進行探討，只會對應一個學習內容或分年細目，有利於數學課程的接軌，很適合教師選用。

　　教師可以和學生一起閱讀繪本、討論數學，讓學生認識生活中可運用的數學，並從關鍵提問去思考。

圖1：《小熊去爬山》繪本封面

圖2：《螞蟻女王的冬被》繪本封面

　　再以《蜘蛛小姐的襪子鋪》來談，這是一本以十十乘法概念為核心的繪本，它不同於教科書，都按照被乘數2、5、4、……、10、1、0的順序發展教材，而是整合性的協助學生，了解「×」的意義，這些都是從「幾的幾倍」原型建立的。這本數學繪本以有趣的圖文，引導師生從故事脈絡中，思考乘法概念與生活問題的關聯。

圖3：蜘蛛小姐的襪子舖繪本封面

 

以數學概念串為主 可彈性討論概念

　　這類數學繪本在故事脈絡中，出現不止一個數學概念點，而是相關的數學概念串。

　　例如《我要當好爸爸》是時間概念中，日期、星期、月分、季節、年的概念串；《分數是分出來的》是分數概念中，單位分數、簡單同分母分數的概念串；《嘿，圖表真好用》是統計的正字表、實物（畫圈、打勾）圖表、長條圖的概念串；《魔法學校發生的事》則是幾何的線對稱、面對稱、鏡面反射的概念串。

　　這些數學繪本會對應兩個以上的學習內容或分年細目，也可能有一些延伸或擴展的數學概念，但都是配合故事情境自然出現的；教師可配合不同年級的課程選用，進行關鍵圖文討論，超過課程的部分帶過即可。

　　再以《貪心的三角形》來談，這本繪本中的數學概念，是平面圖形的三角形、四邊形、五邊形、六邊形、會滾的多邊形等。教師可利用繪本中呈現的各種形體，引起學童學習基本圖形、多邊形的動機，或彙整延伸，並以「多一個邊、一個角」的關鍵圖文，探討這些平面圖形間的關係。

 

以數學小主題為主 從活動帶入概念

　　這類數學繪本不全以故事脈絡貫穿全文，有時會加上生活情境、操作活動、遊戲活動等，介紹某項數學小主題的概念。

　　例如《摺紙的幾何》是介紹平面圖形的直角、正方形、長方形、四邊形概念；《奇妙的三角形》是透過操作活動，認識三角形，以及三個角平分線相交、中垂線相交、中線相交的特性。

　　這些數學繪本呈現某一個小主題的相關數學概念，它會對應兩個以上的學習內容或分年細目，也可能有一些延伸或擴展的數學概念，甚至從國小端體驗相關的國中數學概念。教師可配合該年級課程，選用部分繪本內容，進行關鍵圖文的深入討論即可，其餘部分可鼓勵學童自我閱讀或小組共讀。

　　以《什麼是對稱》來談，它的數學概念有線對稱、點對稱、面對稱，教師可配合國小線對稱課程，進行前半段的閱讀和討論，從生活情境中，有系統的認識、製作、設計線對稱圖形，以及自然科學中有哪些對稱現象。至於後半段，生活情境中的點對稱、面對稱圖形，學童可自行閱讀認識就好。

　　本文是從配合單元教學的角度來討論，數學繪本的選用有其限制性，須同時考量數學概念和教學時機。要透過「讀以學」擴展學童的數學知能，還有補救教學、資優教學的話，數學繪本都是不錯的材料。

數學試題設計　反映學童學習狀態

　文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）

        一份好的總結性評量，要能測出學童真正的學習結果，並反映出學童的學習狀態；評量得分不宜偏高或偏低，可能七十分到一百分，對一般國小學童是不錯的分布。如果試題偏難、分數偏低，會使低成就的學童喪失學習的信心；如果試題偏易、分數偏高，會使高成就的學童降低學習動力。

       怎麼樣處理一份難易適中的試卷，且能考量學習的進程、學童的程度？建議在低年段學童的數學評量上，可介於九十到一百分，中年段介於八十到一百分，高年段介於七十到一百分。本文擬從五方面，來談在評量中關注學童數學學習的作法。

 

設計評量題數時 應考量時間和內容 　　

　　很多數學試卷會忽略試題數量與考試時間的合理性，這兩者和試題的難易度也有關聯。例如一份試卷有選擇題十三題、每題兩分；計算題八題、每題三分；應用題十題、每題五分。題目有公噸和公斤，公斤和公克，公頃和公畝，甚至還有平方公里、公頃、公畝和平方公尺等，很多超過相鄰二階單位的換算範圍；這些換算的題數不少，甚至許多選擇題的四個選項都須要換算。這份試卷看起來題量尚可，但應用題甚少例行題，也甚少基本題；如果考試時間不足，更是雪上加霜。  

 

評量對應學習時 勿忽略基本題題數        

　　試題品質都會用雙向細目表來控制和提升，而雙向細目表其中之一的向度為內容，主要在呈現評量內容，其範圍須能反映學童所學。

        往往相關的單元或小節，都會逐漸加強其概念的深度及應用，相較學習初期的基本題，題目也會越來越複雜。這些綜合性、擴展性題目，往往是教師青睞的試題，例如：有一座邊長二十公尺的正方形公園，小明跑了六圈，共跑了多少公尺？

        同樣的乘法，連乘兩步驟的基本題是：一包餅乾有二十片，一盒有四包，媽媽一次買了六盒，共有多少片餅乾？那麼基本題的題數或配分考量，應就「相關教學時數」占「這次評量內容（單元）總時數」的百分比來分配。

 

評量具認知向度 不可全都是例行題        

　　我國的國中會考、大學指考等檢測，在試題雙向細目表的認知向度，都採概念理解、程序知識、應用解題，這三部分的命題，都可以用選擇題、填充題、應用（文字）題等來呈現。計算題應該都屬於程序知識，但是應用（文字）題不一定屬於應用解題，例如：一盒雞蛋有八顆，媽媽買了三盒，媽媽共買了幾顆雞蛋？

        這題是例行題，雖然用乘法概念來解題，但是學童要自己列式和求解，屬於程序知識的成分較多。但題目若修改成：雞蛋有一盒六顆的，也有一盒八顆的，媽媽買了三盒相同顆數的雞蛋，如果媽媽想買多一點雞蛋，她總共會買到幾顆？這題學童需要思考才能解題，不能看到數字就進行乘法運算，可屬於應用解題；且這也不是難題，屬於不錯的非例行題。

        一份試卷不應該全部都是課本、習作上常見的題目，也不宜出現太多教材曾出現的複雜題或難題。最好有一成到兩成需要思考，又不會太難的非例行題。

 

評量有實作題時 容許誤差但須合理        

　　當評量的內容涉及量長度、畫角度等測量或實作題時，教師在檢核上，應基於學童會有工具的誤差、被測量物的誤差、報讀的誤差等，所以答案可能與預期的有所差異。例如：實測一條八點六公分的紙條，學童的答案是八點五公分或八點七公分，只要答案在合理的範圍內，都可算是正確的。

 

有建構反應題時 評量初期採加分題        

　　有些學校或教師會在定期評量時考建構反應題，而建構反應題是以非例行性、解題思維等為訴求的評量題，它可從答案、作法或理由中，了解學童解題的兩分、一分、零分類型。

        建構反應題不重分數、強調類型，主要是重在學童解題想法的分類。如果在建構題評量後只進行一般檢討，沒有針對錯誤例、正確例、優良例深入討論，修正學童錯誤的想法，分享多元解法，則對數學概念優化的助益不大。

        因為數學課不常對建構題進行「先評量、後討論」的形成性評量，以促進學童學習；單靠建構題的幾分評定，未實施教學和評量的整合活動，其效果有限。

        所以，基於建構題的特性和功能，我建議在定期評量時，先以加分題出現，了解學童的學習狀況，不要造成學童評量時的壓力；等學校各班教學有此氛圍，才適合進行正式評量。

 

（本文原刊載於《國語日報》2020年8月19日教育版）

評閱數學題重理解　促進概念學習

　文／鍾靜（國立台北教育大學數學暨資訊教育學系教授）

　　數學的教學與評量雖是一體兩面，但要考慮學童學習的個別差異，以及評量內容的重點和方式，怎麼樣才是最適當的評閱處置。通常小考、段考等都是總結性評量，屬於「學習結果的評量」；而現今的評量趨勢重在「促進學習的評量」，要能掌握學生評量結果，並進行即時回饋的形成性評量。

　　本文將探討在總結性評量時，教師的命題或評閱，如何關注學生數學學習，也在促進概念學習上略為著力。

 

評量重解題時 首重正確而非格式

　　教師在教多位數直式乘法算則時，常會感到困惑，明明教學強調用個位、十位、百位等，去乘以幾倍、幾十倍等有效率的作法，但有些學童在乘以二位數時，直式不是寫出兩層，而是多層，還會將該省略的0寫出。以178×24的計算為例，但只討論20倍的部份，4倍的部份暫不討論，詳見算式1。

 

　　此題有效率的作答方式，是心中有清楚的位值概念，詳見算式2。

　　如果教師未從位值概念來說明，只有從計算來演示，會讓很多不理解的學童，碰到多次進位，或數字有0時錯誤百出；但學童剛理解算則時，可能會為安全計算，寫出多層或多個0，例如算式3。其實這樣的計算是正確的，教師不宜扣分，除非學童已練習一個月到兩個月，為鼓勵學童用簡潔有效的作法，才可斟酌扣一點分數。

　　學童在解多步驟問題時亦然，當學童在學併式時，常常先算部分加括號，所以此時容易會有多餘的括號，例如：100－（12×7）、（52＋43）－22，此時，教師評量上也不宜視為錯，當學童熟稔四則運算規則，自然會省略括號。

 

評量須圖示時 側重概念而非精準

　　很多教師不喜歡評閱作圖題，認為學童圖示不易精準，例如右下方這種提供圖片的題目。此題為TIMSS試題，目的在了解學童的百分比概念，該題在周界上沒有任何畫圖的參考點，作答重在概念的呈現。

　　圖中兩名學童雖然畫的不精準（詳見反應1與反應2），但可以看出50％約是長方形的一半，在剩下一半中，一半是25％，最後的四分之一中15％比10％大。

　　從這題的學童作答可知，若要求太過精確，會妨礙學童的思維，反而過於從面積、邊長的等分去解題。

　　此外，當學童要利用線段圖來表示文字題中一些數量的關係時，若要求學童畫出的線段圖長度，須和文中數量呈比例，會讓學童解題失去重點；學童要耗費更多心力，也不易畫出完美的線段圖，這會讓他們放棄解題。

 

評量涉定義時 更重理解容許彈性

　　學童解題若以概念取代定義，評量也不宜算錯。例如當評量題目為畫出三角形的高時，若學童未按照高的定義，畫出從頂點到底邊的垂線，而是從頂點先畫了和底邊平行的延長線，再從此延長線上任一點，畫出到底邊的垂線，這垂線當然也是此三角形的高。

　　總之，設計數學評量要減少限制、增加彈性（詳見《國語日報》一百零九年五月二十日、六月三日的十三版）外，在評閱時應以概念為重點，才能鼓勵學童勇於解題，不喪失學習的動力。

(本文原刊載於《國語日報》2020年8月12日教育版)

增加彈性　提升學童解題興趣與信心

　文／鍾靜（國立臺北教育大學數資系教授）

　　數學教學和評量雖是一體兩面，但怎麼教、怎麼評是很有學問的。教學講求目的性，希望充實學童數學概念，提升解題思維和策略；評量則講求確認性，了解學童學會什麼、理解多少，但是不可輕忽學童的學習有時間差和路徑差。不適當的評量，會抹煞學童學習的興趣和信心，教師只要小小的調整，在評量上增加彈性，就可令大多數學童受惠，在學習路上順暢不少。

　　本文擬從教學現場的實際和可行面，提出數學教學中常有的現象，並與讀者分享我的經驗和想法。

 

教學是逐步發展時 評量暫不強求

　　數學學習不是教師教完，學童就能熟記，完全進入自動化階段；尤其是概念的學習，希望兼顧理解和熟練，學童的概念需要逐步深化，要允許他們從解題中熟稔。

　　以二年級很重要的乘法學習為例，通常教材會安排成三個單元，在二上後半是2、5和4、8的九九乘法，以及3、6和7、9的九九乘法，到二下前半才是0、10的十十乘法。

　　這三個乘法單元背後的數學模型都是「幾的幾倍」，例如從4＋4＋4＋4＋4＝20中，察覺「4有5個」或「有5個4」，進而再次轉換語意為「4的5倍」，才引入乘法算式4×5＝20。

　　第一個單元重在學童從情境中，將自發性解題的加法算式，經過兩次語意轉換引出乘法算式。第二個單元，教師可以嘗試讓學童記錄問題，學童此時已有乘法算式的經驗，他們是有能力將新情境寫成有括號的算式，例如7×6＝（　），但學童尚不知答案，教師可鼓勵學童用已會的加法或乘法算式：7＋7＋7＋7＋7＋7＝42或7＋7＝14、14＋14＝28、28＋14＝42或是7×5＝35、35＋7＝42或7×3＝21、21＋21＝42找出答案；如此一來，學童更能掌握乘法概念，也適合進階教學7的6倍是42，再多1個7就是7的7倍，也就是49。

　　至此，親師一定在想，那麼早些讓學童背九九乘法不就好了？其實，學童在不理解乘法的概念下死背，反而會影響學童的學習態度，因為他看見算式就知道答案，以為自己懂了，對教師講解乘法模型，以及被乘數、乘數固定時積的變化等都可能忽略，沒學到重要內涵。

　　乘法單元的學習一般都採分布學習，不會連著安排，教師教過後會要求學童熟背，但要到自動化的反應需假以時日；所以不論是哪一單元的內容，學生在解題或評量時，親師暫時不用要求學童一定要直接背出九九乘法的答案，而是允許學童尚不熟記時，可以用自己有把握的方法找出答案。透過遊戲、解題、乘法表等方式，幫助學童有思考的背誦九九乘法，絕對比死背口訣好。

 

教學有不同層次時 評量不可忽略

　　有時候我們會看到類似的數學問題在不同年級出現，親師往往會以自己認同的解法去指導，可是學童的數學學習有系統性和脈絡性，如果沒注意他們的學習內容，評量超前要求，會造成他們的挫折感與不理解。

　　例如今天是11月23日，再過8天就是媽媽生日，媽媽是幾月幾日過生日？這題是跨月的時刻和時間量問題。這題如果出現在低年級的解題或評量活動，親師一定要提供月曆，讓學童透過點數日子來解題，此時也不宜要求學童熟背每個月有幾天。此題學童要先從語意確定23日要不要算？還有跨月會比不跨月難。

　　如果這題出現在中、高年級，學童須學過時間線段圖（數線），從線段圖上認識時刻、時間量的表徵和關聯，並了解只有時間量才能進行加減、乘除運算。最後，用算式23＋8＝31、31－30＝1表示解法，知道媽媽生日是12月1日。

　　再舉有關周長和面積的問題，例如有一正方形花圃的面積是36平方公尺，這個正方形花圃的周長是多少？大人看到這題會覺得很容易，就是6×4＝24（公尺）。但是由面積求周長對學童而言是逆推的問題，學童如何得知正方形的邊長是6公尺？中年級學童可以透過方格紙操作、嘗試錯誤，並配合九九乘法的事實，找出正方形的邊長。

　　而高年級學童可以利用學過的因數分解，並配合正方形邊長的性質，找出36=6×6，得知正方形的邊長是6公尺。學童到國中學過開方根，就可直接√36＝6，再算6×4＝24（公尺）。

　　所以，評量的重點必須符合學童當下學習的內容，並根據學童理解的概念，指導他們解題及進行評量。

（本文原刊載於《國語日報》109年6月 3日教育版）

 

減少限制　提升解題動力與靈活度

　文／鍾靜（國立臺北教育大學數資系教授）

 

　　親師通常會認為「教什麼就考什麼」是天經地義的事；可是，親師如果能從學童學習的角度來思考，再從各種大型測驗，例如會考、學測、PISA、TIMMES 等評閱標準來觀察，就會發現評量和教學雖然是一體兩面，但仍有不同的考量之處。

　　本文將分別從教學有高階解法時，或以鷹架提升時，這兩類具有特殊目的的評量觀點，來談我的想法和實務經驗。

 

教學有高階解法時 評量不宜規範

　　教師在提升學童數學概念或解法時，經常會出現高階解法的教材，最具代表性的例子就是：學童學過多步驟問題後，教師引用一個算式記錄解題，例如「同樂會有8名男生和16名女生參加，每人繳了100元，共花了1680元，每人可退回多少元？」這項費用問題的解題步驟如解法：引導學童將8＋16＝24（人）、1680÷24＝70（元）、100－70＝30（元）這三個算式寫成一個算式時，要和學童約定運算順序，先算8＋16加括號外，並用（8＋16）替換1680÷24中的24人，記成1680÷（8＋16）＝70（元），再將1680÷（8+16）來替換100－70中的70元，形成併式100－1680÷（8＋16）＝30（元）。

　　最後，教師還須讓學童認識括號先算、先乘除後加減、由左到右三種運算規則，並配合題意，指導學童檢查算式中是否有可省略的括號。但學童在面對新的應用題時，要先掌握解法，才可能以「一個算式」解題，再用逐次減項及四則運算求答案，如算式：100－1680÷（8＋16）＝100－1680÷24＝100－70＝30（元）。

　　通常，國際性或國內大型評量很少規範解法，只分析學童能否成功解題；「解題」是數學教育重視的核心能力之一，所以從評量觀點來看，成功解題比規範解法重要。

　　從國小教育現場的實務考量，教師以教「一個算式」提升學童用高階解法；我的建議是，段考時，酌量一、兩題要求即可，而且剛學時有多的括號也無妨，這樣可鼓勵大多數的學童勇於解題，也區分成就稍高者。因為讓學童評量成績有成就感，絕對比讓學童害怕和排斥數學更重要。

 

教學以鷹架提升時 評量不宜限制

　　重視以學生為中心的教學，就會關注學習的近側發展區，以鷹架教學來提升學童的知能。學童學習加法、減法、乘法、除法算式時，都是從結果量未知的問題開始；當面對起始量或改變量未知的問題，大多數的學童是無法直接求解的，例如加數未知問題：「小明存了17元，還要存多少元，才有25元可以得到一張獎卡？」這雖與典型的拿走型問題解法一樣，都是25－17＝8，但是大多數學童心中的減法算式，對應結果量未知的拿走型問題，就是從整體量中取走、用掉、吃掉等部分量。

　　現因追加型問題的總量是抽象的，須從依題意記錄問題17＋（　）＝25入手，讓部分量17和整體量25在有括號的算式（算式填充題）中呈現，這時才能協助學童從兩量之間的部分和整體關係，明白為什麼是25－17＝8，明白還要存8元。

　　除此之外，17＋（　）＝25和25－17＝（　）這兩個有括號的算式之間，還有「加減互逆」的關係，這對多數學童而言是抽象的；所以親師不能認為追加型問題，學童不需引導就能直接用減法算式來求解。

　　碰到起始量或改變量未知的問題，教師引入「先記錄問題，再算算看」，就是要透過依題意記錄的有括號算式，來察覺兩量關係進行解題，這是鷹架教學的作法。

　　因為部分學童經過學習，已能看到題目中的加減互逆關係，所以這些學童的記錄問題，可能會按解法寫出有括號的算式，如前述追加型問題25－17＝（　）；但大多數學童還是要依題意將問題寫成17＋（　）＝25，再從兩量關係中進行解題。

　　因此「記錄問題」從嚴的說法是依題意記錄，從寬的說是融入解題想法也可以，學童能掌握問題且正確解題最重要。所以評量時，教師對「先記錄問題，再解題」不宜限制作法，但教學時須確定，學童都會依題意記錄問題，以利未來代數列式和解題的學習。

　　總之，學童在評量時受到不當的規範和限制，往往會讓他們學習受挫、喪失信心；以本文討論的案例來看，如果過於強調「先用一個算式解題，再求答」，這會讓成就較低的學童失去主動解題的動力；如果過於強調「先依題意記錄問題，再解題」，則會讓成就稍高的學童喪失解題的靈活。

　　親師要了解學童的數學學習有路徑差和時間差，教師雖有教學的目的，但學童會以較有把握的解法處理，別讓評量變成學習的絆腳石。

 

（本文原刊載於《國語日報》2020年5月27日教育版）

親近數學　可從閱讀繪本開始

 

文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）

 

　　你對數學的印象是什麼？大部分的人都認為，學數學必須要背很多公式，做很多計算練習，總之，就是為了考試才學習。其實，生活中處處可發現數學的美，例如高鐵、電影院的坐位號碼都有規律可循；用一個公式（底×高÷2＝面積）就可以算出大小不同的三角形面積；1×1＝1、2×2＝4、3×3＝9、4×4＝16、25、36、49……這些數都稱為正方形數；數學例子還有很多。

　　數學可以培養邏輯思考、推理探究、問題解決等能力。不過，數學真的只能透過課本、習作、參考書來學習嗎？事實上，在圖文繪本中，也能看到與數學有關的故事和想法。

 

圖文繪本　充滿數學元素

　　很多圖畫故事書含有數學元素，目前坊間出版社已經出版了不同主題的數學繪本。舉例來說：兩個老爹要比誰買的綠豆多，一顆一顆數要花費許多時間，就算村民提供了大大小小的木桶，還是無法解決，那麼，最後他們要怎麼比出來？你收到朋友生日派對的邀請卡，但是門牌號碼其中一個數字不見了，你要怎麼找到派對地點？有隻厲害的小蜘蛛，牠可以猜出客人要買哪種糖果，牠是如何辦到的？企鵝裴利想要一輛滑板車，牠必須花九個蛤蜊才能買到，在籌措的過程，牠經歷到自己賺來的、花掉的、找到的、遺失的、借來的蛤蜊，並從中認識了什麼是負數。生活中有很多用點和線組成的網路圖，從奇線點和偶線點的介紹，可學會一筆畫問題，同時也破解古老的七橋問題。

　　讀了這些故事簡介，是不是讓人覺得數學有趣又有用？這類的繪本，很適合從幼兒園到小學高年級的學生逐年閱讀。

 

多重功能　解決數學問題

　　在學習數學的過程中，學童會接收到許多抽象的觀念，如果能透過兒童文學把數學的觀念或想法，以故事脈絡及圖片呈現，用更多學童熟知的語言來表達，就更能讓學童感受到數學真實存在生活裡。

　　數學繪本能有效提升、擴展抽象的數學概念，從閱讀中增進學童的觀察、預測、應用、表達及評斷等能力，同時提供有意義的學習脈絡，有助了解數學概念，加強數學溝通能力，並鼓勵他們成為數學問題的解決者，提升解題的自信心。

　　數學繪本透過不同的生活事件來引導學習某個數學概念，也可將數學概念連結兒童的生活經驗。數學繪本充分展現生活的應用和關聯，提供數學的思維和視野，它可用來培養學童的數學素養。因此，數學繪本是：

1. 具有親和力且輕鬆的數學教材；

2. 加強數學概念溝通討論的工具；

3. 連結數學概念和生活情境的教材；

4. 提供傾聽、寫作及討論數學概念的機會；

5. 在有意義的情境中運用數學知識；

6. 改變學童對數學的看法；

7. 擴展學童的數學知識。

 

故事情境　探索數學內涵

　　相較於一般數學文字題，數學繪本的故事情境更易於操作，使親師改變數學的難度及傳達方式。

　　對年幼的孩子可採大聲朗讀的方式，從故事的人、事、時、地、物來討論；對中年級的學童可用共讀或輪讀的方式，討論故事中發現的數學概念，故事能怎麼繼續發展，並確認數學的概念、過程與類型。

 

 

　　至於高年級的學童，可鼓勵他們獨自或在小團體中閱讀，說明從故事裡學到哪些數學概念，並反思故事的目的、結果與過程，將所學應用於專題報告與創意活動中。故事的結局也可以是開放的，允許學生繼續建構故事線，以便發展符合他們自身情境的數學問題。甚至可假想情境改變，故事的走向又會如何轉變等。

　　根據筆者的研究，親師在指導學童閱讀數學繪本時，最常用的閱讀理解策略是「解釋閱讀材料提出理由支持」，其次是「比較自己的經驗」，以及「歸納和推論」。而數學解題策略的分布較平均，前三者是「模擬與操作」、「歸納或演繹」和「猜測與嘗試」，低年級也重「尋找樣式或規律」。不管使用哪種策略，學童透過閱讀數學繪本，都能慢慢親近、理解數學。

 

（本文原刊載於《國語日報》2018年10月17日13版）

 

寫下數學想法　提升思考與表達

 

文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）

 

　　學童的數學學習，究竟是概念比較重要，還是熟練比較重要？因為知識形成的過程是經驗、理解、內化、自動化，所以一般人通常先理解概念，再經由練習到熟練；但也有學者認為熟能生巧，可透過多練習而習得概念。

 

學習數學　概念與熟練並重

　　現代的學習並不鼓勵「死背硬記」，但在追求創意之際，還是要具備基本能力。因此，不要輕忽熟練，而只強調概念，熟練和概念一樣重要。以學習九九乘法的4×3＝12為例：學童的舊經驗和自發性解題是4＋4＋4＝12，經由察覺「4有3個」；教師再引導語意，將之轉化為「4的3倍」；進而理解乘法公式，再透過解決4×4＝16、4×5＝20等問題而熟練。如果只有死背九九乘法公式，一般的學童並無法從8×9＝72和72＋8＝80兩算式，推理得知8×10＝80。

　　國際越來越重視推理、解題、溝通、連結、表徵的數學能力；九年一貫和十二年國教數學領域課程，也重視察覺、轉化、溝通、解題、評析的內部和外部連結能力。因此，從數學學習角度來看，提升學童思考力和表達力是這些數學能力的基本核心。

 

 

教學本質　重知識形成過程

　　數學教學的本質是思維的過程，本應讓學童參與知識形成過程；尤其在國小階段，學童的數學知識是從具體活動到抽象化。具體活動不只是教具操作，還包括圖示或算式的自發性解題表徵，例如：一排畫4個○、畫3排，或是4＋4＋4＝12，經由察覺、轉化、推理等思考活動，形成抽象的4×3＝12乘法算式，並能與人溝通4代表什麼，3代表什麼，以及12的意義。接下來，學童即能評析4×3＝12及3×4＝12的不同意義，也可從解應用題連結到擬文字題。

　　這些經由語言、文字來說明想法的活動，可帶領學童思考和表達，進行有意義的數學學習。等到學童理解乘法概念，再熟悉十十乘法算式後，基本乘法就可成為學生解複雜數學問題的工具。數學學習是這樣逐步發展的。

 

強化思考　擴展建構反應題

　　現在的國中會考，數學考非選題兩題，在會考網站上說明非選題是建構反應題；臺北市五年級上學期的基本學力檢測普測含建構反應題兩題，新北市五年級下學期的基本學力檢測普測含非選題兩題。非選題雖然可以是開放型問題，但要評量學童對數學知能的理解和應用，國際的大型測驗，包括「美國國家教育進展評測」（NAEP）和「國際數學與科學成就趨勢調查」（TIMSS）都是以建構反應題來了解學童溝通、推理和連結的能力。

　　另外，「國際學生評量方案」（PISA）的數學素養測驗是針對完成國民教育且滿十五足歲者，了解學生是否能在情境脈絡中使用數學，成為問題的解決者；學生需要將真實世界和數學世界相互連結，藉由轉化、解題的數學歷程，形成數學建模循環。因此，在強調數學素養評量的風潮下，國小階段更適合「擴展式建構反應題」來評量；它可以幫助學童深層思考，學童必須整合自己的知識內容，以文字或圖表等方式，呈現解題思考過程。教師進行數學課室形成性評量，可以從學童解題和同儕討論的過程來確認、延伸、綜合學童的數學知能，並能強化其思考力，也有助於提升表達力。

 

數學寫作　培養學童表達力

　　學童的數學表達力，包含口語的發表、討論和溝通，也包括文字的說明和寫作。建構反應題屬於非例行問題，通常會請學童寫出或畫出他的解題想法、判斷理由等，為了有效掌握課堂進度，不建議使用與教學內容無關或大型的題目，藉由錯誤例的概念修補、正確例的多元分享，才能讓小型任務形成性評量的學生反應和教師回饋聚焦。

　　如果想培養學童對所學的數學內容有結構性的整理和反思，對學習數學過程有情感性的感受和啟發，甚至體驗到數學在生活上的關係和應用，就可鼓勵學童撰寫數學小日記。

　　數學小日記可以從幾句話開始，或是以圖配文；撰寫的內容包含從數學課學到什麼、在數學課的發現、學習單元的困難、容易出錯的地方、不懂的地方、想問的問題、數學內容和生活的關聯等。透過這種不一樣的數學作業，可以加深學童對所學內容的印象，也可加廣學童對所學知能的應用。

 

（本文原刊載於《國語日報》2018年10月17日13版）

 

數學課重討論　需時長但成效大

 

文／鍾靜（國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授）

 

　　現代教育思潮強調由教師為中心，轉成以學生為中心的教學。教師為中心的講述式教學雖有優點，但缺乏師生和同儕間的互動，無法培養學生主動思考和自發學習。學生為中心的討論式教學雖然被重視，但教學時間有限、低成就學生不會發表、學生不擅提問等現象，如何實施有效能的討論，成為教學者的重要課題。

　　十二年國教課程綱要強調核心素養，數學領域更重視數學素養，且現在盛行的學習共同體、合作學習、探究教學都是以討論為核心。因此，本文將從建構學習與鷹架學習、理想課室樣貌與有效討論兩方面，進行分析和探討。

 

教師引導與提問　助學生建構學習

　　數學學習重視概念的認知發展，除了數學知識本身具有系統性和結構性外，學生在新概念的學習上，會受到近側發展區的影響。學生在近側發展區較能參與學習，讓學習穩固；而和稍高成就的同儕互動討論，也會促進學生的學習發展。所以，近二十年的教學趨勢非常強調學生的建構學習。

　　早年曾有建構數學、建構教學的說法，其實正確的說法應該是「建構導向數學教學」。建構主義是學習理論，不是教學理論，建構是指學生在學習概念時，從不明白到清楚，從粗糙到精緻的逐步形成過程。對應學習面的建構理論，教學面就是鷹架理論。教師除了要扮演稍高成就的同儕以參與學生的討論之外，還應根據學生的學習軌跡進行提問或追問，協助學生往教學目標邁進。

 

乘法從加法引導　將解法由繁化簡

　　很多人對建構導向數學教學有所誤解，認為是把數學的學習化簡為繁，例如九九乘法要從加法教起，實則是從兒童解法提升到專家解法，將解法由繁化簡。

　　通常，學生首次接觸乘法情境問題，如「一隻青蛙4條腿，3隻青蛙幾條腿？」時，他們的舊經驗會透過具體物、畫圈、數字等具體操作活動表徵題意，經過溝通和討論會出現如算式一（4＋4＋4＝12）的加法共識。這時教師的關鍵提問是「你怎麼知道有三隻青蛙？」學生大多會指出「一個4是一隻青蛙」，並回答「4有3個」或「3個4」。

 

 

　　乘法教學最重要之處，是由教師指導並協助學生將「4有3個」的語意，轉換為「4的3倍」。這對學生而言，不是一兩題就能夠學會，而是要在不同情境、不同數字間建立模型或基模，才能發展相關概念的認知學習。學生有「4的3倍」這樣的概念，教師就可以引進乘法，如算式二（4×3＝12），學生是從解題中學會乘法算式的。

　　提醒親師，學生應該先有概念再求熟背；而認識近側發展區者，也都知道熟背是需要時間才能成熟。因此，當學生還沒有全部熟背九九乘法表時，親師應允許學生在使用乘法表述問題時，可用加法來解題。以上這一連串乘法概念的發展和提升，充分說明了學生的建構學習、教師的鷹架教學，兩者間的交互作用，以及學生的認知發展。

 

與同儕互動討論　學習保存率更高

　　根據學習金字塔理論，學習者在兩週以後還記得的學習內容，聽教師講述者只剩百分之五，閱讀的保存率為百分之十，透過視聽的效果為百分之二十，就算有示範或展示也只有百分之三十，但經過小組討論可記住百分之五十，透過做中學或實際演練可達到百分之七十五，在金字塔底部的學習方式是教別人或馬上應用，其成效為百分之九十。這也與訊息溝通理論相呼應，學生接收上位者教師的訊息只能記住兩成到三成，但接收平行者學生的訊息卻能記住八成到九成。

　　可見學生需要主動學習和參與，且學生能和同儕互動討論或教導他人，其本身就必須透過個體思維，將內容轉化為別人能理解的表達方式；在這同時，也提升了學生潛在智能的發展。數學課室應是共同學習的社群，透過小組或全班討論，進行新概念或複雜問題的探究，培養學生思考、推理、溝通等能力。初期側重心理性層面勇於發言的引導，中期則重視社會性層面合作討論的培養，後期著重科學性層面推理辯證的厚實。總之，數學課室討論文化的建立，雖然需要時間累積，但成效將加倍呈現。

　　建構導向數學教學中，九九乘法應從加法引導，教師透過提問引導學生，助學生建立相關概念，讓數學解法由繁化簡。

 

（本文原刊載於《國語日報》2019年3月27日13版）